1、混沌理論綜述摘要：混沌運動是非線性動力學系統所產生的復雜的不規則行為，它普遍存在于自然界的各個領域中。該文介紹了混沌的產生、特點及混沌控制的發展以及研究思想，給出了混沌的定義及其相關概念，深入淺出地闡明了混沌運動的基本性質和基本規律，概括介紹了混沌學及混沌控制，最后論述了混沌應用的巨大潛力。關鍵詞：混沌 混沌運動 混沌控制 引言混沌是非線性系統所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式,其覆蓋面涉及到自然科學和社會科學的幾乎每一個分支。混沌運動的早期研究可以追溯到1963年美國氣象學家Lorenz對兩無限平面間的大氣湍流的模擬。在用計算機求解的過程中,Lorenz發現當方程中的參數取適當值時,解是非

2、周期的且具有隨機性,即由確定性方程可得出隨機性的結果,這與幾百年來統治人們思想的拉普拉斯確定論相違背(確定性方程得出確定性結果)。隨后, Henon和Rossler等也得到類似結論。Ruelle,May,Feigenbaum等對這類隨機運動的特性進行了進一步研究,從而開創了混沌這一新的研究方向。近二三十年來,近似方法、非線性微分方程的數值積分法,特別是計算機技術的飛速發展,為人們對混沌的深入研究提供了可能,混沌理論研究取得的可喜成果也使人們能夠更加全面透徹地認識、理解和應用混沌。本文將介紹與混沌有關的基本概念和基本理論以及混沌應用研究的最新進展,希望能起到拋磚引玉的作用2。背景我國著名的混沌學

3、家、中國科學院院士郝柏林指出:“混沌,這個在中外文化淵源悠久的詞兒,正在成為具有嚴格定義的科學概念,成為一門新科學的名字,它正在促使整個現代知識體系成為新科學。”他還指出:“越來越多的人認識到,這是相對論和量子力學問世以來,對人類整個知識體系的又一次巨大沖擊。這也許是20世紀后半葉數理科學所做的意義最為深遠的貢獻。”作為一門新科學的混沌學(Chaology),一般認為始于李天巖和約克(Yorke)的著名論文“周期3蘊含混沌”,因為正是在該文中“混沌”(Chaos)首次被作為科學詞兒使用。該文在美國數學月刊上正式發表是1975年12月.20年來,混沌學作為一門新科學傳播速度之快,波及空間之廣,恐

4、怕是前所未有的。李天巖和約克的論文發表后大約過了10年,國際上便形成了一支可觀的混沌學專家隊伍。與此同時,許多研究中心與研究所則專門冠之以“非線性動力學”、“非線性科學”、“非線性數學”等名稱4。目錄1混沌的基本概念12混沌運動的基本性質23關于混沌系統的控制63.1 混沌控制的目標和方法73.1.1 OGY方法73.1.2 連續反饋控制法83.1.3 自適應控制法83.1.4 智能控制法83.2 混沌控制理論的應用93.2.1 非線性時間序列預測93.2.2 信息存儲,語音、圖像壓縮93.2.3 信號檢測、估值93.2.4 優化94 混沌的發展與前景展望11參考文獻1211混沌的基本概念混沌

5、：目前尚無通用的嚴格的定義,一般認為,將不是由隨機性外因引起的,而是由確定性方程(內因)直接得到的具有隨機性的運動狀態稱為混沌。相空間：在連續動力系統中,用一組一階微分方程描述運動,以狀態變量(或狀態向量)為坐標軸的空間構成系統的相空間。系統的一個狀態用相空間的一個點表示,通過該點有唯一的一條積分曲線。混沌運動：是確定性系統中局限于有限相空間的高度不穩定的運動。所謂軌道高度不穩定,是指近鄰的軌道隨時間的發展會指數地分離。由于這種不穩定性,系統的長時間行為會顯示出某種混亂性。分形和分維：分形是n維空間一個點集的一種幾何性質,該點集具有無限精細的結構,在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質,具有

6、小于所在空間維數n的非整數維數。分維就是用非整數維分數維來定量地描述分形的基本性質。不動點：又稱平衡點、定態。不動點是系統狀態變量所取的一組值,對于這些值系統不隨時間變化。在連續動力學系統中,相空間中有一個點x0,若滿足當t時,軌跡x(t)x0,則稱x0為不動點。吸引子：指相空間的這樣的一個點集s(或一個子空間),對s鄰域的幾乎任意一點,當t時所有軌跡線均趨于s,吸引子是穩定的不動點。奇異吸引子：又稱混沌吸引子,指相空間中具有分數維的吸引子的集合。該吸引集由永不重復自身的一系列點組成,并且無論如何也不表現出任何周期性。混沌軌道就運行在該吸引集中。分叉和分叉點：又稱分岔或分支。指在某個參數或某組

7、參數發生變化時,長時間動力學運動的類型也發生變化。這個參數值(或這組參數值)稱為分叉點,在分叉點處參數的微小變化會產生不同性質的動力學特性,故系統在分叉點處是結構不穩定的。周期解：對于系統xn+1=f(xn),當n時,若存在N=xn+i=xn,則稱該系統有周期i解N。不動點可以看做是周期1解,因為它滿足xn+1=xn5。2混沌運動的基本性質Logistic映射9是非線性方程中出現的一個能成功地進行實驗數學研究的不尋常的實例,它雖然簡單卻能體現出所有非線性現象的本質。以Logistic映射這只“小麻雀”為例來說明混沌運動的基本性質。Logistic映射如式(1),最初用來描述昆蟲數目的世代變化規

8、律:xn+1=f(L,xn) =Lxn(1 -xn)n= 0,1,2,(1)其中L為控制參量;有限差分方程(1)可以看做是一個動力學系統。L值確定后,由任意初值x00,1,可迭代出一個確定的時間序列x1,x2,x3,。對于不同的L值,系統(1)將呈現不同的特性,如圖1所示。圖1(a)如下繪制:縱坐標為變量x,所屬區間為0,1,橫坐標為控制參量L,所屬區間為1,4。把參量空間分成500步,對每個固定的參量值L,變量x從某一個初值(統一用x0= 0.123)開始迭代,舍去最初暫態過程的300個迭代值,再把后繼400個軌道點都畫到所選參量的縱方向上,這樣掃過全部的參量范圍。圖1(b)為圖1(a)中小

9、矩形區域的放大圖。由圖1(a),當1L<L1= 3.0時,系統(1)的穩態解為不動點,即周期1解;當L=L1= 3.0時,系統(1)的穩態解由周期1變為周期2,這是一個一分為二的分叉過程;當L=L2=3.449489時,系統(1)的穩態解由周期2分叉為周期4;當L=L3=3.544090時,系統(1)的穩態解由周期4分叉為周期8;當L達到極限值L= 3.569945時,系統(1)的穩態解是周期2解,即系統(1)進入混沌狀態。從以上分析可知,隨著參數L的增加,系統(1)不斷地經歷倍周期分叉,最終達到混沌。稱當L= 4時由系統(1)產生的序列xn為混沌變量,混沌變量xn的運動形式有如下特征:

10、a.隨機性。當L=4時,Logistic映射在有限區間0,1內不穩定運動,其長時間的動態行為將顯示隨機性質,圖2為當x0=0.1時的運動軌跡,迭代次數為100。從圖2可以明顯地觀察到其隨機性,事實上當x0取其他初值時,系統(1)一般都能體現這樣的隨機性。 圖2隨機性Fig.2The stochastic propertyb.規律性。盡管xn體現出隨機性質,但它是由確定方程(1)導出的,初值確定后xn便已確定,即其隨機性是內在的,這就是混沌運動的規律性。c.遍歷性。混沌運動的遍歷性是指混沌變量能在一定范圍內按其自身規律不重復地遍歷所有狀態,如圖3所示。該圖分別以x10= 0.165432和x20

11、=0.234561為初值迭代1000次,得到2個混沌序列x1n和x2n,圖中小圓圈表示空間中的一點,其坐標為(x1j,x2j)。圖3遍歷性Fig.3The ergodicityd.對初值的敏感性。初值x0的微小變化將導致序列xn遠期行為的巨大差異,如圖4所示。圖4是令x10=0.123456,x20=0.123457,以x10和x20為初值迭代100次得到序列x1n和x2n。可以看出,雖然初值相差1.0e - 6,但迭代10多次后兩個序列便完全不一樣了。對初值的敏感性是混沌的一個十分鮮明的特征,Lorenz曾十分形象地稱其為蝴蝶效應:“僅僅是蝴蝶翅膀的一次小小扇動,就有可能改變一個月以后的天氣

12、情況”。圖4對初值的敏感性Fig.4The property of sensitive to initial valuee.具有分形的性質。如圖1(b)所示,混沌的奇異吸引子在微小尺度上具有與整體自相似的幾何結構,對它的空間描述只能采用分數維。f.普適性。是指混沌系統中存在著一些普遍適用的常數。如在Logistic映射的倍周期分叉點Lm有如下一個普適常數:被稱為Feigenbaum數。Feigenbaum數是如同圓周率一樣的常數,對于許多由分叉導致混沌的系統,其值不變。如果在某次實驗中,當參數在時出現一分為二的分叉,在時出現2分叉為4,若Feigenbaum數起作用,則參數大約再改變的13%左

13、右,可預期發生混沌。此外,圖1的分叉高度也在不斷縮小,且縮小的比例也趨于一個極限:A= 2.5029078976。3關于混沌系統的控制混沌系統的特征表明,無法精確預測混沌系統的長時間的行為。但是新近研究表明:混沌系統是可以控制的,可以利用的。混沌已被用來增強激光器的功率;調整電子線路的輸出,使之同步;控制化學反應的波動;穩定動物心臟的異常心律;編碼電子信息以保證通訊安全。我們知道,混沌系統的行為是許多有序行為的集合。若以適當的方式干擾一個混沌系統,就能促使該系統的某種有序行為起主導作用,從而使其不同行為之間進行轉換4。另一方面,混沌系統長遠行為不可預測,但它是確定的。如果兩個極為相似的混沌系統

14、受到同一信號驅動,可以產生相同的輸出。這是實驗已證實的，它可以產生新的通訊技術。用數學描述的混沌系統中有狀態變量和參數。狀態變量組成狀態空間，狀態空間中的一個點代表系統在某一時刻的一個狀態，當系統發生變化時,它就在狀態空間中的各點之間發生移動,定義出一條軌線。混沌系統在狀態空間的軌線十分復雜,但并非隨心所欲，可以讓其通過某些區域而避開一些區域,例如把它拉向混沌吸引區，吸引區總是保持不變的。因此,只要搞清混沌吸引區,就可以設法將混沌系統控制到混沌吸引區12。控制混沌系統的關鍵之一在于認識到混沌吸引區是一個不穩定的周期行為的無窮集合,或者說是一些不穩定周期軌道的集合。當混沌系統的參數被改變時,混沌

15、吸引區也要發生遷移。因此可以通過控制參數產生所需要的吸引區，這個過程很像在馬鞍上平衡一個玻璃球。如果這顆玻璃球一開始是置于馬鞍中央,它趨于向兩側滾動。為了讓其不動,就需迅速擺動馬鞍.混沌吸引區遷移的道理是類似的。控制混沌系統并不容易,但實驗證明可以在一個相當簡單的系統中成功地控制混沌。混沌控制的首項技術是在生物系統中實現的。先是在一只兔子心臟上試驗,并取得了成功。有人預測,在不久的將來,有可能研制成采用混沌控制技術的心臟整律器和去纖維顫動器4。3.1 混沌控制的目標和方法混沌控制的方法有兩種,一是通過合適的策略、方法及途徑,有效地抑制混沌行為,使李雅普諾夫指數下降進而消除混沌。二是選擇某一具有

16、期望行為的軌道作為控制目標一般情況下,在混沌吸引子中的無窮多不穩定的周期軌道常被作為首選目標,其目的就是將系統的混沌運動軌跡轉換到期望的周期軌道上。不同的控制策略必須遵循這樣的原則:控制律的設計須最小限度的改變原系統,從而對原系統的影響最小7。3.1.1 OGY方法綜觀混沌發展的歷史, 起初人們認為混沌是不可控的,直到1990 年OGY方法的提出才徹底改變了這種觀點。OGY控制法是一種參數微擾控制方法,利用混沌運動對很小參數擾動的敏感性,選擇一個易調節的參數進行微小擾動,將混沌吸引子中無窮多個不穩定周期軌道中所需要的周期軌道穩定住,使系統進人需要的周期狀態,達到控制混沌的目的。由于在雙曲不動點

17、附近存在局部穩定和局部不穩定流形,可以將當前狀態與目標的偏差及參數的攝動看成微小量,將下一步狀態與目標的偏差按以上兩個微小量做線性化展開,并使得下一步狀態和目標的偏差矢量與不穩定流形方向垂直,即可得到當前參數的調節值。這類控制不需要知道混沌系統的確切動力學行為,只需要使用微小的控制信號,從而降低控制代價,把系統的混沌狀態控制在任意周期軌道上,基本不受噪聲的影響,不改變系統本身的結構。但這種方法必須有一個確定的目標函數或給定軌道,只適用于離散動力學系統及可用龐加萊映射表征的連續動力學系統,通常只能控制低周期軌道。例含控制參數的n維映射描述的有限動力系統:并且利用OGY方法可以實現混沌軌道的同步化

18、,其控制參量的擾動大小與系統狀態輸出量成正比,從控制理論角度來說屬于線性反饋方法6。3.1.2 連續反饋控制法盡管 OGY 方法及其改進法對混沌的有效控制使其廣泛地應用于力學、光學和環境科學等領域中,但由于它必須獲得龐加萊截面,并且需要確定所需的不穩定周期軌道及不動點的特征值和特征向量,這使它的應用受到一定的限制。在OGY 控制方法的基礎上,德國科學家K. Pyragas 在1993 年提出了外力反饋控制法和延遲反饋控制法。這兩種方法都可以實現對混沌吸引子的連續控制,使不穩定周期趨于穩定13。3.1.3 自適應控制法基于OGY 方法存在的不足及實際問題需要, 很多學者嘗試用傳統的控制手段實現混

19、沌控制,自適應控制混沌運動是根據自適應原理發展而來,由赫伯曼等人提出的一種方法。在控制系統運動過程中,系統自身來識別被控的狀態、性能或參量,將系統當前的運行指標與期望的指標加以比較,改變控制器的結構、參量或控制作用,使系統運行在其所期望的指標下的最優或次優狀態。這種方法是通過參量的調整來控制系統,使其達到所需要的運動狀態,調節是依靠目標輸出與實際輸出之間的差信號來實現的。例如連續時間混沌系統的參數自適應控制;離散混沌系統的自適應軌道控制1。3.1.4 智能控制法混沌系統以及控制的復雜性,使人們自然考慮智能方法引入到混沌控制中,采用模糊邏輯控制器和神經網絡對混沌系統進行建模和控制已做了一些探索研

20、究。3.2 混沌控制理論的應用3.2.1 非線性時間序列預測本征混沌具有正的李亞普諾夫指數,使其不能進行長期預測。但許多混沌時間序列預測的研究顯示了其短期預測的可靠性,利用電力負荷的時間序列,不直接考慮與負荷相關的隨機因素,而對負荷的歷史數據進行分析,建立數學模型,并進行預測與傳統的預測方法相比,其收斂性和適應性均有不同程度的提高,且精度高,通用性強。3.2.2 信息存儲,語音、圖像壓縮許多語音、圖像信號中存在著混沌和分形特征, Kumar等通過對語音信號的吸引子重構,求得元音和爆破音的關聯維數小于3,摩擦音的關聯維數略大于5,揭示了語音信號的混沌本質。語音信號的低維吸引子意味著我們可以用少數

21、幾個獨立變量來重構聲道模型。其預測誤差比線性預測編碼小一個數量級。混沌理論提供了一個簡單、有效的描述語音信號的數學方法,在語音存儲和傳輸數據壓縮領域有很好的應用前景。3.2.3 信號檢測、估值現有的信號檢測理論多數以線性理論為基礎,線性理論所強調的是穩定、平衡和均勻性,而利用混沌軌跡對初始條件的敏感性,可使系統識別出只有微小差別的不同模式,且混沌控制理論的非線性觀點從不穩定、非平衡的狀態中來提取信息、處理信息,從而顯示它特有的優點。混沌信號檢測具有極高的靈敏度和分辨率,而且還具有極強的適應能力。3.2.4 優化利用混沌變量的隨機性、遍歷性、規律性可以進行優化搜索。混沌優化方法一般分為兩個階段進

22、行:首先,在整個空間內按照混沌變量的變化規律依次考察經過的各點,接受較好點作為當前最優點;其次,一定步數以后,認為當前最優點已在系統固有的最優點附近,然后以當前最優點為中心,附加一混沌小擾動,進行細搜索尋找最優點。混沌優化與遺傳算法、模擬退火算法等優化方法的結合,可以減少計算量,提高求得全局最優解的計算效率,克服了標準遺傳算法、模擬退火算法中的“早熟”現象,并具有更快的收斂速度。可用于機電系統的系統辨識、參數優化設計等方面6,8。4 混沌的發展與前景展望人們已經對混沌學進行了大量的研究,并已取得了許多結果,但是混沌學仍是一個全新的科學前沿,很多系統的理論和有效的方法尚待發展。混沌學作為一門科學畢竟只有20余年，因此遠未成為一門成熟的科學。人們記得，19世紀末凱萊曾致力于研究復的牛頓迭代法，1930年左右朱莉亞(Julia)和法都研究了復多項式和有理函數的迭代并發明了朱莉亞。但是,直到1980年并沒有什么進展，這一年曼德爾布諾特(Mandlbrot)用計算機繪出了第一張曼氏集的圖像。今天，這個集成了混沌學的公認的標志，混沌圖像也成為極精致的工藝品，并一度風靡全世界。可以斷言，混沌的應用前景無限廣闊5。混沌學