1、線性代數下頁結束返回第第5 5節節 用正交變換化二次型為標準形用正交變換化二次型為標準形 一、正交變換一、正交變換二、利用正交變換化二次型為標準形二、利用正交變換化二次型為標準形下頁線性代數下頁結束返回 定義定義1 設設a a= =(a1, a2, , an )T與與b b= =(b1, b2, , bn )T是兩個是兩個n維向量，維向量，則實數則實數稱為向量稱為向量a a和和b b的內積，記為的內積，記為(a , b a , b ). . 或或a aT Tb b . .內積的定義內積的定義(復習復習)例如，設例如，設a a= =(- -1, 1, 0, 2)T，b b= =(2, 0, -

2、-1, 3)T , 則則a a和和b b 的內積為的內積為(a a , , b b ) = = (- -1) 2+ +1 0+ +0 (- -1)+ +2 3= =4 . .1 1221.,niinniababa ba b=+下頁內積的性質內積的性質(復習復習) 設設a a，b b，g g 都都為為 n維向量，維向量，k為常數為常數. (1) ( a,ba,b ) =(=(b,ab,a ) ； (2) (ka,ba,b ) = = k ( a,ba,b ) ； (3) (a+b,ga+b,g ) = = ( a,ga,g ) + + ( b,b, g g ) ； (4) ( a,aa,a )

3、0，當且僅當，當且僅當a a= =o時，有時，有( a,aa,a ) = =0 .線性代數下頁結束返回下頁向量的長度向量的長度(復習復習)定義定義2 對于向量對于向量a a= =(a1, a2, , an )T，其長度，其長度(或模或模)為為22212|( , ).naaaaa a=+例如，向量例如，向量a a= =(- -3, 4)T的長度為的長度為22|( , )( 3)45.aa a=-+=定義定義3 長度為長度為1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量. . 向量的單位化（標準化）向量的單位化（標準化） (復習復習)若若a a 為為非零向量，則非零向量，則0|aaa=為單位向量，稱此過程

4、為向量的標準化為單位向量，稱此過程為向量的標準化.線性代數下頁結束返回正交向量組正交向量組(復習復習)下頁 定義定義4 設向量設向量a a，b b都為都為n維為維為向量，若向量，若(a a ,b b )=)=0，則稱向量，則稱向量a a與與b b互相互相正交正交(垂直垂直). 定義定義5 如果如果m個非零向量組個非零向量組 a a1，a a2， ，a am 兩兩正交，即兩兩正交，即 (a ai ,a aj )= =0(i j), 則稱該向量組為則稱該向量組為正交向量組正交向量組. .如果正交向量組如果正交向量組a a1，a a2， ，a am的每一個向量都是單位向量的每一個向量都是單位向量,則

5、稱該向量組為則稱該向量組為標準正交向量組標準正交向量組. .即即1,(,),1,2,0,ijiji jmija a=線性代數下頁結束返回 證明證明: (反證反證) 設設a a1，a a2， ，a am線性相關，則其中至少有一向量可由其余向線性相關，則其中至少有一向量可由其余向量線性表示，不妨設量線性表示，不妨設a a1可由可由a a2， ，a am線性表示，即有一組數線性表示，即有一組數k2， ，km，使，使 a a1k2a a2+ + + +kma am ，于是，于是 (a a1 , a a1)= (a a1 , k2a a2+ + + +kma am) = (a a1 , k2a a2)+

6、 + + (a a1 , kma am) =k2 (a a1 , a a2)+ + + km (a a1 , a am)=0這與這與(a a1 , a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2， ，a am線性無關線性無關. . 定理定理1 正交向量組是線性無關的向量組正交向量組是線性無關的向量組.下頁5.1 5.1 向量組的正交化標準化向量組的正交化標準化線性代數下頁結束返回 定理定理2 對于線性無關的向量組對于線性無關的向量組a a1,a a2, ,a am，令，令則向量組則向量組b b1,b b2, ,b bm是是正交向量組正交向量組. .下頁施密特正交化方法施密特正交化方法11b

7、a=2122111(,)(,)abbabb b=-313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbb bbb=-121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmabababbabbbb bbbbb-=- 另外：另外：很明顯，向量組很明顯，向量組a a1,a a2, ,a am可由向量組可由向量組b b1,b b2, ,b bm線性線性表示表示. .線性代數下頁結束返回下頁11ba=2122111(,)(,)abbabb b=-313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbb bbb=- 由此可知，由此可知，若向量組若向量組a a1

8、,a a2, ,a am為為AX=o的一個基礎解系，則向的一個基礎解系，則向量組量組b b1,b b2, ,b bm也為也為AX=o的一個基礎解系的一個基礎解系. . 向量組向量組b b1,b b2, ,b bm也可由向量組也可由向量組a a1,a a2, ,a am線性表示，因為：線性表示，因為：112211(,)(,)abab ba=-2313231111122121(,)(,)(,)(,(,)(,)ababab bbbabaaab b-=1211222112111(,)(,)(,)(,)(,),)mmmmabaaabababbab bbbb-=-線性代數下頁結束返回 例例1已知向量組已知

9、向量組a a1= =(1,1,1,1)T, a a2= =(3,3,-1,-1)T, a a3= =(-2, 0, 6, 8)T,線性無關，試將它們正交化、標準化線性無關，試將它們正交化、標準化. .解解:(1)(1)先先利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令b1=a1=(1, 1, 1, 1)T=(3, 3, -1, -1)T=(2, 2, -2, -2)T =(-1, 1, -1, 1)T = (-2, 0, 6, 8)T412-(1, 1, 1, 1)T1632-(2, 2,-2,-2)T 2122111abbabbb=-（， ）（ ， ）313

10、233111222ababbabbbbbb=-（， ）（， ）（ ， ）（， ）(1, 1, 1, 1)T44-此時此時 b b1, b b2, b b3 為正交組為正交組. .下頁線性代數下頁結束返回1111|2Tbb= （1,1,1,1）2221|2Tbb= （1,1,-1,-1）333|12Tbb= （-1,1,-1,1）(2)(2)再將再將正交化后的向量組標準化，即令正交化后的向量組標準化，即令此時此時 1, 2, 3 即為所求標準正交組即為所求標準正交組. .說明：說明：求標準正交組的過程為，先正交化，再標準化求標準正交組的過程為，先正交化，再標準化. .下頁線性代數下頁結束返回例如

11、，單位矩陣例如，單位矩陣E為正交矩陣為正交矩陣. -=cossinsincoscossinsincosQQT10.01E= 定義定義6 如果如果n階實矩陣階實矩陣A滿足滿足 ATA= =E 或或 AATE，則稱則稱A為為正交矩陣正交矩陣.下頁5.2 5.2 正交矩陣正交矩陣cossinsincosQ-=再如，矩陣再如，矩陣也為正交矩陣也為正交矩陣. 正交矩陣的概念正交矩陣的概念線性代數下頁結束返回正交矩陣具有如下性質：正交矩陣具有如下性質： 1A為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是A- -1 = = A AT； 2. 正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣； 3. 兩個

12、正交矩陣的乘積是正交矩陣；兩個正交矩陣的乘積是正交矩陣； 4. 正交矩陣是滿秩的且正交矩陣是滿秩的且|A|=1或或-1； 5. A為正交矩陣的充分必要條件是其列為正交矩陣的充分必要條件是其列(行行)向量組是標準向量組是標準正交向量組正交向量組. . （證明見下頁）（證明見下頁）下頁正交矩陣的性質正交矩陣的性質線性代數下頁結束返回 性質性質5 設設A為為n階實矩陣，則階實矩陣，則A為正交矩陣的充分必要條件是其為正交矩陣的充分必要條件是其列列(行行)向量組是標準正交向量組向量組是標準正交向量組. 證明：證明：設設A= =(a a1，a a2， ，a an)，其中，其中a a1，a a2， ，a a

13、n為為A的列向的列向量組，則量組，則AT的行向量組為的行向量組為a a1T，a a2T， ，a anT，于是，于是T1TT212T( , , )nn A A=111=TTT11121TTT21222TTT12nnnnnn = 顯然，若顯然，若A為正交矩陣，則為正交矩陣，則a a1，a a2， ，a an為標準正交向量組；為標準正交向量組；若若a a1，a a2， ，a an為標準正交向量組，則為標準正交向量組，則A為正交矩陣為正交矩陣.A的行向量組的證明類似，略的行向量組的證明類似，略.下頁線性代數下頁結束返回5.3 5.3 正交變換的概念與性質正交變換的概念與性質定義定義1 設設P為為n階正

14、交矩陣，階正交矩陣，X,Y是都是是都是n維向量維向量，稱線性變換稱線性變換 性質性質1 正交變換是可逆線性變換；正交變換是可逆線性變換； 性質性質2 正交變換不改變向量的內積正交變換不改變向量的內積. .下頁XPY為正交變換為正交變換.正交變換的概念正交變換的概念正交變換的性質正交變換的性質證明：證明：因為因為(,)(,)X XPY PY=() ()TPYPY=TTY P PY=()TTYP P Y=TY Y=( , ).Y Y=線性代數下頁結束返回222122TnnyyyYY+=1二次型=X 能用正交變換X=PY化為標準型f=121,P,TnAP APP AP-= =對于實對稱矩陣求一個正交

15、矩陣使問題：問題：（1）n元二次型的矩陣（即實對稱矩陣）元二次型的矩陣（即實對稱矩陣）A是否存在是否存在n個實特征值個實特征值?（2）A的特征值是否對應的特征值是否對應n個標準正交的特征向量個標準正交的特征向量?下頁線性代數下頁結束返回5.4 5.4 實對稱矩陣的性質實對稱矩陣的性質定理定理2 實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量是正交的實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量是正交的. 定理定理1 實對稱矩陣的特征值是實數；實對稱矩陣實對稱矩陣的特征值是實數；實對稱矩陣A的的 ti 重特重特征值征值 i 對應對應ti 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量.下頁定理定理3 設設A為為n 階實對

16、稱矩陣，則必有正交矩陣階實對稱矩陣，則必有正交矩陣P 使使1TP APP AP-=12(,),ndiag = =其中其中為為A的的n個特征值，個特征值，n,21正交矩陣正交矩陣P 的的n個列向量個列向量是矩陣是矩陣A對應于這對應于這n個特征值的標準正交的特征向量個特征值的標準正交的特征向量.線性代數下頁結束返回5.5 5.5 用正交變換化二次型為標準形用正交變換化二次型為標準形（要求：熟練掌握！）（要求：熟練掌握！） (1) 寫出二次型的矩陣形式；寫出二次型的矩陣形式； (2) 求出求出A的全部特征值的全部特征值 1, 2 , , n ； (3) 對每一個特征值對每一個特征值 i , 解方程解

17、方程 ( i E-A )X=o, 求出基礎解系，求出基礎解系， 然后用施密特正交化方法將其正交化，再標準化；然后用施密特正交化方法將其正交化，再標準化； (4) 將所有經過正交化標準化的特征向量作為列向量構成一將所有經過正交化標準化的特征向量作為列向量構成一 個矩陣就得到了正交矩陣個矩陣就得到了正交矩陣P，所求的正交變換為，所求的正交變換為 XPY； (5) 所求二次型的標準形為所求二次型的標準形為2221122.nnfyyy=+下頁線性代數下頁結束返回例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標準形用正交變換化下列二次型為標準形323121232221321484363),(xxxxxxxxxx

18、xxf-+=解解: : 二次型的二次型的 f 系數矩陣為系數矩陣為324262 ,423A-= -矩陣矩陣A的特征方程為的特征方程為324262423-=-AE0)7)(2(2=-+=解得解得 1=-2, =-2, 2= = 3=7=7724)7(262023-=124262023)7(-=1240210023)7(-=21023)7(-=下頁線性代數下頁結束返回 對于對于 1 1=-2=-2，解方程組，解方程組( (- -2 2E- -A) )X= =o,1(2,1,2) ,T=得基礎解系得基礎解系將其正交化得將其正交化得將其單位化得將其單位化得12 1 2( , ) .3 3 3T=將其單

19、位化得將其單位化得222(,0,) ,22T=-322 22(,) .636T=-T) 1, 0 , 1 (2-=311,( , 2, )22T=-得基礎解系得基礎解系下頁解得解得 1=-2, =-2, 2= = 3=7=7 對于對于 2= = 3=7=7，解方程組，解方程組(7(7E- -A) )X= =o,例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標準形用正交變換化下列二次型為標準形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf-+=線性代數下頁結束返回()12322232612 2,0,33222326P =- 令令則通過正交變換則通過正交變換1122332223

20、2612 20,33222326xyxyxy=-222123277.fyyy= -+下頁例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標準形用正交變換化下列二次型為標準形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf-+=將二次型將二次型 f 化為標準形化為標準形線性代數下頁結束返回例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321+=axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換X=PY化為標準形化為標準形,442232221yyyf+=變換矩陣變換矩陣P 解：解：f 的系數矩陣的系數矩陣A及標準形及標準形的系數矩陣分別為的系數矩陣分別為=30300

21、04aaA200,040 .004 =由已知條件得由已知條件得 即即 4(9- a2) =32，解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去). 由由A相似于對角陣相似于對角陣，得，得A的的 特征值為特征值為 1 1= =2， 2 2= = 3 3= =4 對于對于 1 1= =2 ，解方程組，解方程組 (2E-A)X=o,得基礎解系得基礎解系1(0,1, 1) ,T=-下頁故故A相似于對角陣相似于對角陣，所以有，所以有 A,TP AP = 1P AP-=求求a及正交及正交線性代數下頁結束返回把把 1單位化，得對應于單位化，得對應于 1 1= =2的單位特征向量的單位特征向量111(0,) ;2

22、2T=- 對于對于 2 2= = 3 3=4 =4 ，解方程組，解方程組(4E- -A)X= =o,（注意求基礎解系的過程）（注意求基礎解系的過程）4E-A 4- 4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1= 0 0 0 0 -11 01 -1=00 00 0100-1下頁例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321+=axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換X=PY化為標準形化為標準形,442232221yyyf+=變換矩陣變換矩陣P求求a及正交及正交線性代數下頁結束返回4E-A 4-4 0 0 00-1 4-304-30-1= 0 0 0 0 -1

23、1 01 -1=00 01 00-10000 00 0100-1(4E- -A)X= =o 的一般解為的一般解為 x2= =0 x1 + + x3 ,其基礎解系為其基礎解系為2(1, 0, 0) ,T=3(0, 1, 1) .T=下頁例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321+=axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換X=PY化為標準形化為標準形,442232221yyyf+=變換矩陣變換矩陣P求求a及正交及正交線性代數下頁結束返回2(1, 0, 0) ,T=311(0,) .22T=所求的正交矩陣為所求的正交矩陣為12301011(,)0.2211022P= -下頁00 01 00-100(4E- -A)X= =o 的一般解為的一般解為 x2= =0 x1 + + x3 ,其基礎解系為其基礎解系為2(1, 0, 0) ,T=3(0, 1, 1) .T=例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321+=axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換X=PY化為標準形化為標準形,442232221yyyf+=變換矩陣變換矩