1、如何用線性回歸分析和水平測試成績估計學生高考成績評價學生和學校的進步情況“普通高中新課程學生學業成績評價研究”項目組從2005年開始，教育部“普通高中新課程學生學業成績評價研究”項目 組開始高中必修課學業水平測試的研究活動。作為高中必修課的學業水平測 試，具有三個方面的功能：第一，檢查學生經過必修課學習后達到的水平， 幫助學生建構學科知識結構；第二，診斷教學中存在的問題，為教師搞好選 修階段的教學以及高考復習做準備；第三，預測學生在高考中可能達到的成 績水平。前兩方面的功能是顯而易見的，我們通過每年測試后的信息反饋和 分析報告，已經做了這項工作。第三項工作是大家所關心的，然而要如何做 才能達到

2、呢？通過回歸分析，我們可以計算出每一位同學、每一間學校從必 修課水平測試到高考這段時間內的進步情況，建立起高考及水平測試之間的 關系模型，進而粗略地預計新參加水平測試的學生將來參加高考可能達到的 成績區間。下面簡單介紹線性回歸分析的方法和如何解讀數據的方法。1、線性回歸分析線性回歸是利用線性方程來模擬表示兩組相關數據之間的關系的方法。 如果兩組相關數據，比如說，必修課水平測試及高考成績之間存在著相關關 系，這種關系可以近似地用一個線性方程來表達，即高考的成績y*及水平 測試的成績“平之間的關系可以表示為：以/1平+A,其中a和b為兩個 常數，通過統計分析可以把這兩個常數找出來。這樣對應于每一個

3、x水平的值, 就可以找到相應的總考值，即可以用這一關系來預測高考的期望成績。由于新課程實施后的高考是以必修課的內容為主要的測試對象，學生經 過必修課的學習基本上奠定了高考的知識基礎，掌握了相關學科的基本能力, 乂因為我們的測試題目的目標要求及高考的目標要求在本質上是一致的，必 修課水平測試的成績及高考成績應該存在著高度相關的關系。我們的研究也 證實了這種關系的存在。在2005年，佛山市順德區和禪城區的高二學生參及 了我們的必修課水平測試，在2007年他們又參加了高考。根據這些考生兩次 考試的成績，我們計算得到兩次測試的語文科相關系數為0. 454,數學科（文） 的相關系數為0.429,數學科（

4、理）的相關系數為0.450,英語科的相關系數 為0.608,語數英三科總分（文）的相關系數為0.680,語數英三科總分（理） 的相關系數為0. 693o由于高考是在必修課水平測試施測一年后才進行的， 因而上述相關系數都是比較可觀的，尤其是語數英三科總分（理）的相關系 數高達0.693。因此，通過統計分析確定上述回歸方程是可能的。以下以英語學科為例來具體說明如何運用線性回歸分析來估計學生高考 可能達到的成績。2、利用回歸直線及回歸方程估計高考成績在研究05年必修課水平測試和07年英語高考成績的關系時，以橫坐標 和縱坐標分別表示各考生必修課水平測試中英語成績和高考英語成績畫點 （見圖1）o我們發現

5、，這些點均勻地分散在圖中的紅色線周圍。紅色線基 本展示了必修課水平測試中英語成績和高考英語成績的關系，我們稱之為兩 者的回歸直線。回歸直線對應的線性方程稱為回歸方程，下圖紅色線對應的 回歸方程為：%】號=37. 887+0. 790 x水平。圖1： 05年必修水平測試及07年高考 英語科回歸圖線8 / 7英語而考O.CO 2D.0D40.0093.00 EO.8 100.00120.00英詔必修我們可以利用回歸方程來預測高考的期望成績。例如，在05年的必修課 水平測試中，張恒源同學的英語成績是25分。由回歸方程考= 37. 89+0. 79%平我們可以得到其英語高考成績期望值為57. 64分。

6、不過，由于在必修課水平測試及高考之間，學生還要經過一年多的選修 課學習以及高考復習。在這段時間內的許多因素，如：學生本身的努力程度, 學生的學習方式，教師的教學水平和教學方法等等，都會對學生的高考成績 產生影響，水平測試成績及高考成績之間的關系不可能是簡單的線性關系， 由線性方程以考="水平計算得到的為與跟考生高考的實際成績未必一致。 加上水平測試和高考本身都存在測量誤差，因此需要在回歸方程的基礎上加 一個反映估計誤差的區間，以此來估計學生的高考可能達到的成績。在回歸 分析中，有一個概念”估計標準誤” S就是用來表示估計誤差的。當統計數 據正態分布時，考生高考的實際成績落在區間匚V&

7、quot;.S y而考+S的概率是 68%,而落在區間y高考-1. 9S, 丁高考+1. 9S的概率是95%。一般的，我們 采取將考-S,3有+S作為高考成績的期望區間。當然，用這樣的方式來估 計學生的成績不可能是非常精確的，但是也可以讓學生和教師明確自己的努 力方向，可以判斷學生和學校的進步情況，從而為評價學校的教學和學生的 學習提供依據。在上例中，由SPSS計算可得估計標準誤為17. 21。由于張恒源同學的英 語高考成績期望值為57.64分，所以他的英語高考成績的期望區間為一 17.21 + 57. 64, 17.21 + 57. 64,即40. 43, 74.85。由于高考的延續性和考生

8、總體水平的相對穩定性，我們可以利用05 07 年的回歸分析結果，預測06年參加水平測試的學生在08年參加高考時可能 得到的成績。比如說，06年有一位考生的英語水平測試成績和張恒源一樣是 25分,可以粗略地預測他08年參加高考的英語成績可能在40 75分之間。經過我們對05年參加必修課水平測試、07年參加高考的考生的數據進 行回歸分析，我們得到的回歸方程如表1所示。表1： 05年必修水平測試及07年高考回歸分析數據表科目語文數學（文）數學（理）英語三科總分（文）三科總分（理）匹配的考生數892743703821853135893459匹配的學校數201919201717相關系數0. 4540.

9、4290. 4500. 6080. 6800. 693回歸方程Y=Y = 60. 62Y = 55. 58Y =Y = 100. 92Y = 94. 3563. 03+0. 43X+0. 59X+0. 52X37. 89+0. 79X+0. 90X+0. 88 X估計標準誤10. 9422. 6618.8117.2135. 7733. 713、進步值用回歸分析來預測高考的期望成績，得到的是一個以期望值為中值、標 準誤為幅度的區間。如圖1所示，兩條藍色線分別為方程7=+S和y=加考 一S對應的直線。這兩條藍色線分別表示期望區間的上下界。當表示考生兩 次成績的點落在兩條藍色線之間時，則認為他正常發

10、揮，該考生的進步值為 “0” ；如果他的實際成績超過區間上界，即在表示上限的藍線的上方，則認 為他進步了，進步值=高考實際成績一區間上界；如果他的實際成績比區間 下界還少，即在表示下限的藍線的下方，則認為他退步了，進步值=高考實 際成績一區間下界。圖2給出每位同學的水平測試成績、高考成績期望區間和進步值的情況。 從圖2中可見，在07年的高考中，張恒源同學英語高考的實際成績為32分, 比區間下界還少，所以他的進步值=高考實際成績一區間下界= 32 40.43 = 8.43。又如，蔡淑意同學水平測試的成績為27.50,高考英語成績的期 望區間為42. 41, 76. 83,她高考的實際成績為44分

11、，落在期望區間，她的 進步值為0。再如，黃冠鵬同學水平測試的成績為37. 00,高考英語成績的期 望區間為49. 92, 84.34,他高考的實際成績為101分，超出了期望區間的 上界，因而他的進步值=高考實際成績一區間上界= 10184. 34=16. 66.。圖2： 05年必修課水平測試及07年高考英語成績期望區間及進步值囹英語0507. sav - SPSS Data EditorFile Edit Vi ew Data Transform Analyze Graphs Utilities Window Help言m昌圖IT I | &1U匐0囹圜蟲|匿|回|22:|姓名英語必修

12、I后考預測I區間上界I區間下界I英語局考I英語進步1張恒源25.0057.6474.8540.4332.00-8.432蔡淑意27.5059.6276.8342.4144.00.003黃冠 rvT-37.0067.1384.3449.92101.0016.664、學校教學質量監控按如上方法可以計算出各個考生的英語高考成績期望值、期望區間以及進步值。進而可以計算出各學校進步值的平均數和標準差，從而對各校的進步值進行排名（見表2）,并以此為依據來分析各個學校的教學質量，實現 對學校教學質量的監控等。例如，由表2可見，學校F在05年的必修課水平 測試中排名最后，可是在07年的高考中卻提高了 5名，名

13、列15,其進步值 的平均值為6. 32,在所有學校中名列第一。這在一定程度上表明，雖然在必 修課水平測試時，該校考生水平較差。然而在必修課水平測試到高考這一年 多的教學中，該校的教學質量卻很好，從總體上學生獲得較大的提高。學校 G和學校H,在水平測試時的成績分別排名第二和第一，但是其高考平均進步 值的排名卻倒過來為第九和第十，說明學校G的進步更大一些。表2： 05年必修水平測試及07年高考回歸分析英語學科數據表匹配2005年必修測就2007年高考學校名稱 （共20校）進步值平均分排名平均分排名平均數標準差排名ABCDEF75256. 781792. 8063.708. 5894066. 057

14、95. 0052.498. 6739162. 101188. 5981.447.2331559. 801589. 1473.8110. 1017149. 031979. 63163.3211.2140740. 832079. 64156. 3213.88G32381.072111. 7120. 992.559H33683.991107. 3230. 163. 3710I29969.444103. 3341.233.248J47564.98984.1210-1. 104. 0514K29255.201873. 7220-1.454. 0916L27761.211380. 2414-1.013.57135、小結利用線性回歸分析得出的回歸方程和標準誤，可以估計下一年度參加水平 測試的學生可能達到的高考成績區間；同時也可以回過頭來確認已經參加高 考的這一屆學生和學校的進步情況，為監控學校教學質量作出依據。附表:一、06年參加水平測試的學生08