1、矢量分析與場論教師姓名： 宗福建單位： 山東大學物理學院2014年9月12日重慶大學 謝樹藝 編 高等教育出版社 第1章 矢量分析 第2章 場論 場 數量場的方向和梯度 矢量場的通量及散度 矢量場的環量及旋度 幾種重要的矢量場矢性函數( )( )( )( )( )xyzAA tA tA t iA t jA t k 矢性函數( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k ( )( )( )( )xyzB tB t iB t jB t k ( )( )( )( )xyzC tC t iC t jC t k矢性函數( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

2、( )xxyyzzxxyyzzABA tB t iA tB tjA tB t kA BA t B tA t B tA t B t 矢性函數(,)(,)xxyzyzxxyzyzAAA AAAAABBB BBBBB 矢性函數物理意義：(,)xxyyzzABABABAB 矢性函數物理意義：(,)xxyyzzABABABAB 矢性函數物理意義：(,)xxyzyzBA BA AABB cosA BA B 矢性函數xyzxyzijkA BAAABBBA BBA 矢性函數大小為A、B矢量圍成的平行四邊形面積，方向垂直于該平面。sinA BA B 矢性函數標量，大小為矢量A、B、C圍成的平行六面體的體積。()

3、()()CA BA B CB CA 矢性函數()()()CA BB C AA C B 矢性函數的極限和連續性000000000000lim ( ) ( )lim ( )lim( )lim ( )( )lim( )lim( )lim ( )( )lim( ) lim( )lim ( )( )lim( ) lim( )ttttttttttttttttttttttttu t A tu tA tA tB tA tB tA t B tA tB tA tB tA tB t 矢性函數的導數( )( )( )( )( )( )( )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kA tA t iAt j

4、A t k 導矢在該處的切線上，其方向指向 t 增大的方向，導矢在幾何上為一切向矢量。矢性函數的微分( )( )( )( )( )( )( )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kdA tdA t idA t jdA t k 矢性函數的導數公式(1)0,()(2)(3),()dCCdtdddABABdtdtdtddAkA kdtdt 為常矢量（k為常量矢性函數的導數公式(4)(5)(6)ddud AuAAudtdtdtddBd AA BABdtdtdtddBd AA BABdtdtdt （矢性函數的導數公式(7)( ),( ),AA uuu td Ad A dudtdu dt

5、若而則有5()() ()A BAABBA B 例如：證明（ ）A BABA BABA BABA BAB ()A BBABABAtttt ()0()d A BdBd AdBABdtdtdtdtd A BdBd AABdtdtdt 矢性函數的積分( )( )( )( )( )( ) )( ) )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kA t dtA t dt iA t dt jA t dt k 矢性函數的積分22112211( )( )( )( )( )( ) )( ) )( ) )xyzttxttttyzttA tA t iA t jA t kA t dtA t dt iA t d

6、t jA t dt k 場：如果在全部空間或部分空間里的每一點，都對應著某個物理量的一個確定值，就說在這空間里確定了該物理量的場。數量場：如果這物理量是標量，就稱這個場為數量場，如溫度、密度等。矢量場：如果這物理量是矢量，就稱這個場為矢量場，如力、速度等。數量場的等值線：比如地形圖上的等高線，氣象圖上的等溫線、等壓線等。方向導數的定義 設M0為數量場 u=u(M) 中的一點，從M0出發引一條射線L，在L上點M0的臨近取一動點M，記M0M的長度為，若當MM0時， 的極限存在，則稱它為函數u(M)在點M0處沿L方向的方向導數。00()()u Mu MuM M32方向導數的定義 方向導數是函數u(M

7、)在一個點處沿某一方向對距離的變化率。 在直角坐標系中，u=u(x,y,z), Cos, Cos, Cos為L方向上的方向余弦，則coscoscoscoscoscoslijkuuuulxyz證明如下：0()()coscoscosuu Mu Muuuxyzxyzuuxuyuzxyzuuuulxyz 方向導數的定義coscoscoscoscoscos()lijkuuuulxyzuuuijk lxyz 定義梯度uuuGijkxyzuG ll 梯度在給定點處為一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函數在該方向上的方向導數。梯度的方向就是函數方向導數最大的方向，其模也等于該最大變化率的數值。引入哈米頓(

8、Hamilton)算子( )ijkxyzgrad uu 哈米頓(Hamilton)算子NablaNabla is the symbol (). The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William William RowanRowan HamiltonHamilton in the form of a sideways

9、wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an inverted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means upside-down delta.40哈米頓(Hamilton)算子NablaNabla is the symbol (). The name comes from the Greek word for

10、 a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William William RowanRowan HamiltonHamilton in the form of a sideways wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an in

11、verted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means upside-down delta.引入哈米頓(Hamilton)算子()ijkxyzuijkuxyzuuuijkxyz 引入哈米頓(Hamilton)算子() ()xyzxxxAijkA iA jA kxyzAAAxyz 引入哈米頓(Hamilton)算子() ()xyzxyzAijkA iA jA kxyzijkxyzAAA 2(1)0,()(2) (),()(3) ()(4) ()(5) ( )(6)( )( )c

12、ccuc u cuvuvuvu vv uuv uu vvvf ufuu 為常量為常量通量的定義： 設有矢量場A(M)，沿某一有向曲面S的曲面積分 叫做矢量場A(M)正向穿過曲面S的通量。()nssxyzsA dsA dSA dydzA dxdzA dxdy 散度的定義：0limsVyxzA dSdivAVAAAAxyz ()()()( )()sVdivAAABABuAuAu Ad AA uuduA dSA dV 480lim()sVssA dSAVA dSA dVVA dSV 環量的定義： 設有矢量場A(M)，沿某一有向曲線L的曲線積分()xyzA dlA dxA dyA dz 旋度的定義：0

13、limsA dlrotAsA ()lSrotAAA dlA dS 520lim()sSlA dlAsA dlA dSsA dls ()()()()( )()0()0cAcAABABuAuAuAA BBAABd AA uuduuA ()yxzxyzijkxyzgraduuijkuxyzAAAdivAAxyzijkrotAAxyzAAA uAA 是一個矢量性微分算子，因此它在計算時具有矢量性和微分性雙重性質作用在一個數性或矢性函數上時，其方式僅有三種：，222222xyzxyzAAAAxyz 定義：拉普拉斯算子為了使用方便，引入(1) (),()(2)(),()(3)()(4) ()(5)()(6

14、)()cuc u cucAcA AcAcAuvuvABABABAB 為常量， 為數性函數為矢性函數(7)(),()(8)(),()(9) ()(10)(),()(11)()(12) ()()()()()ucu c cuucuc cuuvu vv uuAuAu A AuAuAuAA BABABBAB 為常矢量， 為數性函數為常矢量， 為數性函數為矢性函數A 2(13)()()()(14)()()()()()(15)()(16)()0(17)()0(18)()()A BBAABA BBAABBAABuuuuAAAA ,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy j

15、zk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，則有：3,(24) ( ) 0(25)()0(26)(),()(27)(),()sVlSrxiy jzk rrf r rrrA dSA dVA dlA dS 若，則有：奧氏公式斯托克斯公式222222111()11()1()()11()rzzrzrzrrzeeerrzrrrrrzfffrfrrrzfffffeerzzrfrferrr 坐標：（r, ,z）222222222211sin111()(sin)sinsin111()(sin)sinsin11(sin)sinsinrrrreeerrrrrrrrrffr ffrrrrffffer 坐標：

16、（r, , ）()1()rrferfrferr ,xxxyxzxyxyyyzyxyzzxzyzzzABABABA BA BA BAABA BA BA BABBBA BA BA BAABBA 并矢：兩個矢量 和 并列，他們之間不作任何運算，稱為并矢。寫為：把并矢看作一個量。一般來說：1112132122233132339100010001TTTTTTTTT張量：張量是具有 個分量的物理量，并矢是張量的一種特殊情況。稱為單位張量。()()()xxyzxyzyzxxyzxyzyzxxyzyzAAA iA jA kAAAAABBB iB jB kBBBBBBA BAAABB 設則，(),()()xxyzyzxyxyzzxyxyzzBA BAAABBAABABBBABBABAAAB ()()11()()22xyxyzzxyxyzzAABABBBABBABAAABABABBAABBA ()()()()()()()()()()()()xxyxyzyzzxxyzyxyzzACAB CABBBCA B CACACABCCCABBBC A BAAB CA B CA C B