1、word中考總復習：全等三角形知識講解責編：常春芳【考綱要求】1. 掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準確地識別全等三角形中的對應元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；3. 善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等，靈活選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、根本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.1全等三角形對應邊相等；2全等三角形對應角相等.要點詮釋：全等三角形的周長、面積相等；對應的高線，中線，角平分線相等.1三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS)；2兩角和它們的夾邊對應相等

2、的兩個三角形全等ASA；3兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)；4兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)；5斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL).考點二、靈活運用定理三角形全等是證明線段相等，角相等的最根本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來應用三角形全等的判別方法注意以下幾點：1. 條件充足時直接應用判定定理要點詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等.這種情況證明兩個三角形全等的條件比擬充分，只要認真觀察圖形，

3、結(jié)合條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等2. 條件缺乏，會增加條件用判定定理要點詮釋：此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的條件或條件不充分，需要補充三角形全等的條件解這類問題的根本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案3. 條件比擬隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理要點詮釋：在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等常見的幾種輔助線添加： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一的性質(zhì)解題，思維模式是

4、全等變換中的“對折；遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)；遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移或“翻轉(zhuǎn)折疊；截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目【典型例題】類型一、全等三角形1如圖，BD、CE分

5、別是ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB求證：1AP=AQ；2APAQ【思路點撥】此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題【答案與解析】證明：1BD、CE分別是ABC的邊AC和AB上的高， 1+CAE=90°，2+CAE=90° 1=2,在AQC和PAB中， AQCPAB AP=AQ. (2) AP=AQ，QAC=P， PAD+P=90°， PAD+QAC=90°，即PAQ=90° APAQ【總結(jié)升華】在確定全等條件時，注意隱含條件的尋找.舉一反三：【高清課堂：全等三角形 例8】【變式】 202

6、2永州如圖，在四邊形ABCD中，A=BCD=90°，BC=DC延長AD到E點，使DE=AB1求證：ABC=EDC；2求證：ABCEDC【答案與解析】1證明：在四邊形ABCD中，BAD=BCD=90°，90°+B+90°+ADC=360°，B+ADC=180°，又CDE+ADC=180°，ABC=CDE，2連接AC，由1證得ABC=CDE，在ABC和EDC中，ABCEDCSAS類型二、靈活運用定理2如圖，AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF.【思路點撥】將所求的線段轉(zhuǎn)移到同一個或相關(guān)聯(lián)的三角形中進行求解【答案與

7、解析】證明：延長ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF,在BDE和CDM中， BDECDMSASBE=CM. 又12，34 ， 1234180°， 32=90°，即EDF90°， FDMEDF 90°在EDF和MDF中 EDFMDFSAS, EFMF 全等三角形對應邊相等, 在CMF中，CFCMMF三角形兩邊之和大于第三邊, BECFEF.【總結(jié)升華】當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中.舉一反三：【變式】如下圖，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求證：AC=BF.

8、【答案】證明：延長AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH， D為BC中點， BD=DC，在ADC和HDB中， ADCHDB(SAS)， AC=BH, H=HAC， EA=EF， HAE=AFE，又 BFH=AFE， BH=BF， BF=AC3如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD，ABAD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論【思路點撥】解答此題的關(guān)鍵是熟練運用三角形中大邊對應大角的關(guān)系【答案與解析】AB-ADCD-CB；證明：在AB上取一點E，使得AE=AD，連結(jié)CE AC平分BAD， 1=2 在ACE和ACD中， ACEACD CD=CE 在BCE中，BECE-CB，

9、 即AB-AECE-CB， AB-ADCD-CB【總結(jié)升華】此題也可以延長AD到E，使得AE=AB，連結(jié)CE涉及幾條線段的大小關(guān)系時，用“截長補短法構(gòu)造全等三角形是常用的方法舉一反三：【變式】如下圖，ABC中ABAC，AD是BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MBMCABAC【答案】證明：ABAC，在AB上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE三角形兩邊之差小于第三邊在AMC和AME中，AMCAMESASMCME全等三角形的對應邊相等又BEABAE，BEABAC，MBMCABAC4如圖，在ABC中，ABC=60°，AD、CE分別平分BAC、ACB，求證：AC=AE+CD

10、 【思路點撥】在AC上取AF=AE，連接OF，即可證得AEOAFO，得AOE=AOF；再證得COF=COD，那么根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證FOCDOC，可得DC=FC，即可得結(jié)論【答案與解析】在AC上取AF=AE，連接OF，AD平分BAC、EAO=FAO，在AEO與AFO中，AEOAFOSAS，AOE=AOF；AD、CE分別平分BAC、ACB，ECA+DAC=180°-B=60°那么AOC=180°-ECA-DAC=120°；AOC=DOE=120°，AOE=COD=AOF=60°，對頂角相等那么COF=60°，C

11、OD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，F(xiàn)OCDOCASA，DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD【總結(jié)升華】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵類型三、綜合運用5 2022泰安如圖，ABC是直角三角形，且ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分ABC，點F在AB上，且BF=BC求證：1DF=AE；2DFAC【思路點撥】1由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論2要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從ABC中分出一局部使得與ACF的面積相等，那么過A作AMFC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造

12、出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可【答案與解析】證明：1延長DE交AB于點G，連接AD四邊形BCDE是平行四邊形，EDBC，ED=BC點E是AC的中點，ABC=90°，AG=BG，DGABAD=BD，BAD=ABDBD平分ABC，ABD=BAD=45°，即BDE=ADE=45°又BF=BC，BF=DE在AED與DFB中，AEDDFBSAS，AE=DF，即DF=AE；2設(shè)AC與FD交于點O由1知，AEDDFB，AED=DFB，DEO=DFGDFG+FDG=90°，DEO+EDO=90°，EOD=90°，即DFAC【總結(jié)升華】此題

13、考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件舉一反三：【高清課堂：全等三角形 例9】【變式】如圖，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點F，連結(jié)BD交CE于點G，連結(jié)BE. 以下結(jié)論中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有( ) A1個 B2個 C3個 D4個ABCDEFG【答案】D.6如圖，ABC.1請你在BC邊上分別取兩點D

14、、E(BC的中點除外)，連結(jié)AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；2請你根據(jù)使(1)成立的相應條件，證明AB+ACAD+AE【思路點撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系此題2中通過構(gòu)建全等三角形將和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵【答案與解析】1令BD=CEDE,有ABD和ACE，ABE和ACD面積相等.2取DE的中點O，連結(jié)AO并延長到F點，使得FO=AO，連結(jié)EF，CF在AD0和FEO中，又AOD=FOE，DO=EO,可證ADOFEO所以AD=FE因為BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可證ABD

15、FCO，所以AB=FC.延長AE交CF于G點,在ACG中，AC+CGAE+EG，在EFG中，EG+FGEF,可推得AC+CG+EG+FGAE+EG+EF,即AC+CFAE+EF,所以AB+ACAD+AE.【總結(jié)升華】正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】在ABC中，,ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，試問：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明【答案】(1)證明：ACD+BCE=90°DAC+ACD=90°， DAC=BCE 又AC