1、2016年天津市高考數學試卷（理科）一、選擇題1（5分）（2016天津）已知集合A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，xA，則AB=（）A1B4C1，3D1，42（5分）（2016天津）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=2x+5y的最小值為（）A4B6C10D173（5分）（2016天津）在ABC中，若AB=，BC=3，C=120°，則AC=（）A1B2C3D44（5分）（2016天津）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（）A2B4C6D85（5分）（2016天津）設an是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q0”是“對任意的正整數n，a2n1+a2n0”的（）

2、A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件6（5分）（2016天津）已知雙曲線=1（b0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（）A=1B=1C=1D=17（5分）（2016天津）已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為（）ABCD8（5分）（2016天津）已知函數f（x）=（a0，且a1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2x恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（）A（0，B，C

3、，D，）二、填空題9（5分）（2016天津）已知a，bR，i是虛數單位，若（1+i）（1bi）=a，則的值為10（5分）（2016天津）（x2）8的展開式中x7的系數為（用數字作答）11（5分）（2016天津）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為m312（5分）（2016天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為13（5分）（2016天津）已知f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間（，0）上單調遞增，若實數a滿足f（2|a1|）f（），則a的取值范圍是14（5分）（2016天津）設拋物

4、線（t為參數，p0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C（p，0），AF與BC相交于點E若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為3，則p的值為三、計算題15（13分）（2016天津）已知函數f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論f（x）在區間，上的單調性16（13分）（2016天津）某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；（2）設X為選出

5、的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望17（13分）（2016天津）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2（1）求證：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值18（13分）（2016天津）已知an是各項均為正數的等差數列，公差為d，對任意的nN+，bn是an和an+1的等比中項（1）設cn=bb，nN+，求證：數列cn是等差數列；（2）設a1=d，Tn=（1）kbk2，nN*，求證：19（14分）（2016天

6、津）設橢圓+=1（a）的右焦點為F，右頂點為A已知+=，其中O為原點，e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍20（14分）（2016天津）設函數f（x）=（x1）3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的單調區間；（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求證：x1+2x0=3；（3）設a0，函數g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區間0，2上的最大值不小于2016年天津市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一

7、、選擇題1（5分）（2016天津）已知集合A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，xA，則AB=（）A1B4C1，3D1，4【考點】交集及其運算菁優網版權所有【專題】集合思想；定義法；集合【分析】把A中元素代入y=3x2中計算求出y的值，確定出B，找出A與B的交集即可【解答】解：把x=1，2，3，4分別代入y=3x2得：y=1，4，7，10，即B=1，4，7，10，A=1，2，3，4，AB=1，4，故選：D【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵2（5分）（2016天津）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=2x+5y的最小值為（）A4B6C10D17【考點】簡單線性

8、規劃菁優網版權所有【專題】數形結合；分析法；不等式的解法及應用【分析】作出不等式組表示的平面區域，作出直線l0：2x+5y=0，平移直線l0，可得經過點（3，0）時，z=2x+5y取得最小值6【解答】解：作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區域，作出直線l0：2x+5y=0，圖中的虛線，平移直線l0，可得經過點（3，0）時，z=2x+5y取得最小值6故選：B【點評】本題考查簡單線性規劃的應用，涉及二元一次不等式組表示的平面區域，關鍵是準確作出不等式組表示的平面區域3（5分）（2016天津）在ABC中，若AB=，BC=3，C=120°，則AC=（）A1B2C3D4【考點】余弦定理

9、的應用菁優網版權所有【專題】計算題；規律型；轉化思想；解三角形【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，若AB=，BC=3，C=120°，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=4（舍去）故選：A【點評】本題考查三角形的解法，余弦定理的應用，考查計算能力4（5分）（2016天津）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（）A2B4C6D8【考點】程序框圖菁優網版權所有【專題】計算題；規律型；轉化思想；算法和程序框圖【分析】根據程序進行順次模擬計算即可【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，S=2×4=

10、8，n=2，i4，第二次判斷不滿足條件n3：第三次判斷滿足條件：S6，此時計算S=86=2，n=3，第四次判斷n3不滿足條件，第五次判斷S6不滿足條件，S=4n=4，第六次判斷滿足條件n3，故輸出S=4，故選：B【點評】本題主要考查程序框圖的識別和運行，根據條件進行模擬計算是解決本題的關鍵5（5分）（2016天津）設an是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q0”是“對任意的正整數n，a2n1+a2n0”的（）A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優網版權所有【專題】等差數列與等比數列；簡易邏輯【分析】利用必要、充分及充

11、要條件的定義判斷即可【解答】解：an是首項為正數的等比數列，公比為q，若“q0”是“對任意的正整數n，a2n1+a2n0”不一定成立，例如：當首項為2，q=時，各項為2，1，此時2+（1）=10，+（）=0；而“對任意的正整數n，a2n1+a2n0”，前提是“q0”，則“q0”是“對任意的正整數n，a2n1+a2n0”的必要而不充分條件，故選：C【點評】此題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵6（5分）（2016天津）已知雙曲線=1（b0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，

12、則雙曲線的方程為（）A=1B=1C=1D=1【考點】雙曲線的簡單性質菁優網版權所有【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，利用四邊形ABCD的面積為2b，求出A的坐標，代入圓的方程，即可得出結論【解答】解：以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，設A（x，x），則四邊形ABCD的面積為2b，2xbx=2b，x=±1將A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，b2=12，雙曲線的

13、方程為=1，故選：D【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題7（5分）（2016天津）已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為（）ABCD【考點】平面向量數量積的運算菁優網版權所有【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用【分析】運用向量的加法運算和中點的向量表示，結合向量的數量積的定義和性質，向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值【解答】解：由DD、E分別是邊AB、BC的中點，DE=2EF，可得=（+）（）=（+）（）=（+）（）=22=11=故選：B【點評】本題考查了數量積的定義

14、和性質，注意運用向量的中點的表示，考查計算能力，屬于中檔題8（5分）（2016天津）已知函數f（x）=（a0，且a1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2x恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（）A（0，B，C，D，）【考點】分段函數的應用；根的存在性及根的個數判斷菁優網版權所有【專題】綜合題；數形結合；數形結合法；函數的性質及應用【分析】利用函數是減函數，根據對數的圖象和性質判斷出a的大致范圍，再根據f（x）為減函數，得到不等式組，利用函數的圖象，方程的解的個數，推出a的范圍【解答】解：y=loga（x+1）+在0，+）遞減，則0a1，函數f（x）在R上單調遞減，則則：；解得

15、，；由圖象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x有且僅有一個解，故在（，0）上，|f（x）|=2x同樣有且僅有一個解，當3a2即a時，聯立|x2+（4a3）+3a|=2x，則=（4a2）24（3a2）=0，解得a=或1（舍去），當13a2時，由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為，故選：C【點評】本題考查了方程的解個數問題，以及參數的取值范圍，考查了學生的分析問題，解決問題的能力，以及數形結合的思想，屬于中檔題二、填空題9（5分）（2016天津）已知a，bR，i是虛數單位，若（1+i）（1bi）=a，則的值為2【考點】復數代數形式的乘除運算菁優網版權所有【專題】計算題；轉化思想；數系的擴充

16、和復數【分析】根據復數相等的充要條件，構造關于a，b的方程，解得a，b的值，進而可得答案【解答】解：（1+i）（1bi）=1+b+（1b）i=a，a，bR，解得：，=2，故答案為：2【點評】本題考查的知識點是復數的乘法運算，復數相等的充要條件，難度不大，屬于基礎題10（5分）（2016天津）（x2）8的展開式中x7的系數為56（用數字作答）【考點】二項式系數的性質菁優網版權所有【專題】方程思想；轉化思想；二項式定理【分析】利用通項公式即可得出【解答】解：Tr+1=x163r，令163r=7，解得r=3（x2）8的展開式中x7的系數為=56故答案為：56【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了

17、推理能力與計算能力，屬于基礎題11（5分）（2016天津）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為2m3【考點】由三視圖求面積、體積菁優網版權所有【專題】計算題；空間位置關系與距離；立體幾何【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，進而可得答案【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積S=2×1=2m2，棱錐的高h=3m，故體積V=2m3，故答案為：2【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據已知的三視圖，判斷幾何體

18、的形狀是解答的關鍵12（5分）（2016天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為【考點】與圓有關的比例線段菁優網版權所有【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；直線與圓【分析】由BD=ED，可得BDE為等腰三角形，過D作DHAB于H，由相交弦定理求得DH，在RtDHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE【解答】解：如圖，過D作DHAB于H，BE=2AE=2，BD=ED，BH=HE=1，則AH=2，BH=1，DH2=AHBH=2，則DH=，在RtDHE中，則，由相交弦定理可得：CEDE=AEEB，故答案為：【點評】本題考查與圓有關的比例線段，

19、考查相交弦定理的應用，是中檔題13（5分）（2016天津）已知f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間（，0）上單調遞增，若實數a滿足f（2|a1|）f（），則a的取值范圍是（，）【考點】奇偶性與單調性的綜合菁優網版權所有【專題】轉化思想；轉化法；函數的性質及應用【分析】根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化進行求解即可【解答】解：f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間（，0）上單調遞增，f（x）在區間（0，+）上單調遞減，則f（2|a1|）f（），等價為f（2|a1|）f（），即2|a1|，則|a1|，即a，故答案為：（，）【點評】本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性和單調性之間

20、的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵14（5分）（2016天津）設拋物線（t為參數，p0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C（p，0），AF與BC相交于點E若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為3，則p的值為【考點】拋物線的簡單性質；參數方程化成普通方程菁優網版權所有【專題】計算題；規律型；數形結合；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；坐標系和參數方程【分析】化簡參數方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標，利用三角形的面積列出方程，求解即可【解答】解：拋物線（t為參數，p0）的普通方程為：y2=2px焦點為F（，0），如圖：過拋物線上一點A作l的

21、垂線，垂足為B，設C（p，0），AF與BC相交于點E|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），ACE的面積為3，可得=SACE即：=3，解得p=故答案為：【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線的參數方程的應用，考查分析問題解決問題的能力三、計算題15（13分）（2016天津）已知函數f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論f（x）在區間，上的單調性【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象菁優網版權所有【專題】分類討論；函數思想；轉化法；三角函數的圖像與性質【分析】（1）利用三角函數的誘導公式以及

22、兩角和差的余弦公式，結合三角函數的輔助角公式進行化簡求解即可（2）利用三角函數的單調性進行求解即可【解答】解：（1）f（x）=4tanxsin（x）cos（x）xk+，即函數的定義域為x|xk+，kZ，則f（x）=4tanxcosx（cosx+sinx）=2sinx（cosx+sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x）則函數的周期T=；（2）由2k2x2k+，kZ，得kxk+，kZ，即函數的增區間為k，k+，kZ，當k=0時，增區間為，kZ，x，此時x，由2k+2x2k+，kZ，得k+xk+，kZ，即函數的減區間為k+，k+，k

23、Z，當k=1時，減區間為，kZ，x，此時x，即在區間，上，函數的減區間為，增區間為，【點評】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的誘導公式，兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵16（13分）（2016天津）某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；（2）設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；列舉法計算基本事件數及

24、事件發生的概率；離散型隨機變量及其分布列菁優網版權所有【專題】常規題型；計算題；規律型；轉化思想；概率與統計【分析】（1）選出的2人參加義工活動次數之和為4為事件A，求出選出的2人參加義工活動次數之和的所有結果，即可求解概率則P（A）（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（1）從10人中選出2人的選法共有=45種，事件A：參加次數的和為4，情況有：1人參加1次，另1人參加3次，2人都參加2次；共有+=15種，事件A發生概率：P=（）X的可能取值為0，1，2P（X=0）=P（X=1）=，

25、P（X=2）=，X的分布列為：X012PEX=0×+1×+2×=1【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年的高考中都是必考題型解題時要認真審題，仔細解答，注意古典概型的靈活運用17（13分）（2016天津）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2（1）求證：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角菁優網版權所有【專

26、題】綜合題；轉化思想；數形結合法；空間位置關系與距離【分析】（1）取AD的中點I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EGFI，利用線面平行的判定定理證明：EG平面ADF；（2）建立如圖所示的坐標系Oxyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角OEFC的正弦值；（3）求出=（，），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值【解答】（1）證明：取AD的中點I，連接FI，矩形OBEF，EFOB，EF=OB，G，I是中點，GIBD，GI=BDO是正方形ABCD的中心，OB=BDEFGI，EF=GI，四邊形EFIG是平行四邊形，EGFI，

27、EG平面ADF，FI平面ADF，EG平面ADF；（2）解：建立如圖所示的坐標系Oxyz，則B（0，0），C（，0，0），E（0，2），F（0，0，2），設平面CEF的法向量為=（x，y，z），則，取=（，0，1）OC平面OEF，平面OEF的法向量為=（1，0，0），|cos，|=二面角OEFC的正弦值為=；（3）解：AH=HF，=（，0，）設H（a，b，c），則=（a+，b，c）=（，0，）a=，b=0，c=，=（，），直線BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos，|=【點評】本題考查證明線面平行的判定定理，考查二面角OEFC的正弦值，直線BH和平面CEF所成角的正弦值，考查學生分析解決問題的

28、能力，屬于中檔題18（13分）（2016天津）已知an是各項均為正數的等差數列，公差為d，對任意的nN+，bn是an和an+1的等比中項（1）設cn=bb，nN+，求證：數列cn是等差數列；（2）設a1=d，Tn=（1）kbk2，nN*，求證：【考點】數列與不等式的綜合；等差關系的確定菁優網版權所有【專題】整體思想；轉化法；等差數列與等比數列【分析】（1）根據等差數列和等比數列的性質，建立方程關系，根據條件求出數列cn的通項公式，結合等差數列的定義進行證明即可（2）求出Tn=（1）kbk2的表達式，利用裂項法進行求解，結合放縮法進行不等式的證明即可【解答】證明：（1）an是各項均為正數的等差數

29、列，公差為d，對任意的nN+，bn是an和an+1的等比中項cn=bb=an+1an+2anan+1=2dan+1，cn+1cn=2d（an+2an+1）=2d2為定值；數列cn是等差數列；（2）Tn=（1）kbk2=c1+c3+c2n1=nc1+4d2=nc1+2n（n1）d2，nN*，由已知c1=b22b12=a2a3a1a2=2da2=2d（a1+d）=4d2，將c1=4d2，代入得Tn=n（n+1）d2，=（1+）=（1）即不等式成立【點評】本題主要考查遞推數列的應用以及數列與不等式的綜合，根據等比數列和等差數列的性質分別求出對應的通項公式以及利用裂項法進行求解是解決本題的關鍵綜合性較

30、強，有一定的難度19（14分）（2016天津）設橢圓+=1（a）的右焦點為F，右頂點為A已知+=，其中O為原點，e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍【考點】橢圓的簡單性質菁優網版權所有【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，轉化為關于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；（2）由已知設直線l的方程為y=k（x2），（k0），聯立直線方程和橢圓方程，化為關于

31、x的一元二次方程，利用根與系數的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BFHF，得，整理得到M的坐標與k的關系，由MOAMAO，得到x01，轉化為關于k的不等式求得k的范圍【解答】解：（1）由+=，得，即，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2橢圓方程為；（2）由已知設直線l的方程為y=k（x2），（k0），設B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOAMAO，x01，再設H（0，yH），聯立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根與系數的關系得，MH所在直線方程為，令x=0，得，BFHF，即1x1+y1yH=，整理得：，即8k23或【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，體現了“整體運算”思想方法和“設而不求”的解題思想方法，考查運算能力，是難題20（14分）（2016天津）設函數f（x）=（x1）3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的單調區間；（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（