1、第六章第六章 位移法位移法2021-11-25揚(yáng)州大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院2PABCDjAjAjAPjAjAADBjAjAA 如果已知A結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角jA，則原結(jié)構(gòu)的三根桿件可看成三個單跨超靜定梁。 原結(jié)構(gòu)可以看成是三個單跨超靜定梁受到外荷載和桿端位移jA共同作用。CjAjAA 以某些結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，求出結(jié)點(diǎn)位移后再計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力位移法的基本思路。需要解決以下幾個問題：1、以哪些結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量？2、如何求單跨超靜定梁在荷載及桿端位移作用下的內(nèi)力？3、如何求結(jié)點(diǎn)位移？一、單跨超靜定梁的基本型式j(luò)AjBDABABABMABMBAFQABFQBA桿端轉(zhuǎn)角jA、jB以及垂直于桿軸線的桿端相對線位移

2、DAB均以使桿件作順時針轉(zhuǎn)動為正。桿端彎矩MAB、MBA以及桿端剪力FQAB、 FQAB也均以使桿件作順時針轉(zhuǎn)動為正。二、桿端內(nèi)力與桿端位移的正負(fù)號ABABABAB三、形常數(shù)jA=1F1=11M1圖F2=1lM2圖ABlF1F2基本系jA=1D1CD2CjA002C2221211C212111FFFFEIlEIlEIl23;2211232211llA2CA1C; 1jj2216;2lEIFlEIF2ABAB64lEIFlEIMQ；lEI4lEI2M圖26lEIFQ圖26lEI單位桿端位移引起的桿端力，即勁度系數(shù)。簡圖彎矩圖MABMBAFQABFQBA0000單位桿端位移引起的單跨超靜定梁桿端力

3、jA=1ABAB4iAB2iliAB6liAB62AB12li2AB12liAB3iliAB3liAB32AB3li2AB3liABiABiAB1jA=1ABAB1jA=1ABliAB6liAB6liAB3稱為線抗彎剛度。表中，lEIiAB四、載常數(shù) 由桿上荷載或變溫引起的桿端力。Pl/2l/2EI1FP/2P/201111PF11FM11MPP/2P/2Pl/4Pl/4EIl11EIPlP83181PlFPMFMM11MPPl/8Pl/8Pl/8五、等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程jADABABqjBt1t2 當(dāng)單跨超靜定梁受到支座移動以及荷載等因素共同作用時，其桿端內(nèi)力可根據(jù)疊加原理計(jì)算。FQBA

4、AB2ABBABAABQBAFQABAB2ABBABAABQABFBAABABBABAABBAFABABABBABAABAB12661266642624FlililiFFlililiFMliiiMMliiiMjjjjjjjj內(nèi)力，稱為固端力。下的桿端為荷載及溫度改變作用、其中，F(xiàn)QBAFQABFBAFABFFMM等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程五、等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程FQBAAB2ABAABQBAFQABAB2ABAABQABBAFABABABAABAB3333033FliliFFliliFMMliiMjjjjADABABqt1t2qjAABt1t20QBAFQABQABFBAAABBAFABAA

5、BABFFFMiMMiMjjABCDDDDC CD結(jié)點(diǎn)位移包括結(jié)點(diǎn)角位移（結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角）和結(jié)點(diǎn)線位移。一、基本未知量2、線位移未知量 獨(dú)立獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。 1、角位移未知量 結(jié)構(gòu)上可轉(zhuǎn)動剛結(jié)點(diǎn)的角位移。（1）忽略軸力產(chǎn)生的軸向變形；（2）結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和桿件弦轉(zhuǎn)角是微小的。桿件變形后兩個端點(diǎn)距離保持不變兩個假設(shè)：3、獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的確定方法DD CDABCDDDDD1D2 (1)直接判斷法 將結(jié)構(gòu)中所有剛結(jié)點(diǎn)和固定支座，代之以鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座，通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)位移法計(jì)算時的線位移數(shù)。 (2)鉸接體系法140練習(xí)確定獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)：位移法的基

6、本思路以某些結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，求出結(jié)點(diǎn)位移后再計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。8m4mii2iABCD3kN/mD2D21DABCBDC1DD2D21D3kN/m 原結(jié)構(gòu)可以看成是三個單跨超靜定梁受到外荷載和桿端位移共同作用。二、基本系8m4mii2iABCD3kN/mD2D21DABCD剛臂位移法基本結(jié)構(gòu)通過增加與基本未知量相應(yīng)的約束，將原結(jié)構(gòu)改造而成的單跨超靜定梁組合體。剛臂只限制轉(zhuǎn)動、不限制移動的約束。位移法基本結(jié)構(gòu)二、基本系A(chǔ)BCDD21D3kN/mF1F28m4mii2iABCD3kN/mD2D21D位移法基本體系位移法基本體系基本系與原結(jié)構(gòu)的差別：附加約束！ 0021FF二、基本系三、典型方程D

7、2F2PD1F11F21F12F22ABCDD21D3kN/mF1F2F1P00222212112111PPFFFFFFFF3kN/m三、典型方程=1k21=1k12k22k11D1F11F21D2F12F22ii2i00222212112111PPFFFFFFFFDDDD0022221211212111PPFkkFkk三、典型方程ili5 . 161.5iili75. 033(2i)2i4i=1k21=1k12k22k21ii5 . 14604i6ik111.5ik12k2243i163ik11=10ik21= 1.5ik12= 1.5iik161522k11D1F11F21D2F12F22

8、ii2iDDDD0022221211212111PPFkkFkk01M2M三、典型方程F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P6F1P=4kNmF2P=6kNDDDD0616155 . 1045 . 1102121iiiiDDii1580. 71737. 021疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖4.4213.625.691.4M(kNm)PMMMMDD2211ABCD3kN/mk11=10ik21= 1.5ik12= 1.5iik161522DDDD0022221211212111PPFkkFkk四、位移法的解題步驟1、確定基本未知量（D1、D2）與基本系（附加約束后的單跨超靜定梁

9、組合體受原荷載和基本未知量位移作用）2、建立位移法典型方程3、作單位內(nèi)力圖與荷載內(nèi)力圖，求系數(shù)與自由項(xiàng)4、解典型方程5、疊加法作內(nèi)力圖DDDD0022221211212111PPFkkFkk0021FFPMMMMDD2211k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211K具有具有n個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的超靜定結(jié)構(gòu)，位移法典型方程：個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的超靜定結(jié)構(gòu)，位移法典型方程：勁度勁度（剛度）（剛度）矩陣矩陣

10、主系數(shù)（ij）副系數(shù)（ij）FiP自由項(xiàng)kij勁度（剛度）系數(shù)j約束發(fā)生單位位移時在i約束產(chǎn)生的反力k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211K具有具有n個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的超靜定結(jié)構(gòu)，位移法典型方程：個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的超靜定結(jié)構(gòu)，位移法典型方程：勁度勁度（剛度）（剛度）矩陣矩陣勁度(剛度)系數(shù)的特性：kii0； kij kji（反力互等定理）kij與荷載無關(guān)。例例1 1、用位移法作、用位移法作M圖。

11、圖。（1 1）基本未知量與基本系基本未知量與基本系4m4m5m4m2m q=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0123以結(jié)點(diǎn)以結(jié)點(diǎn)B、C的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角D1、 D2和結(jié)點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)D的水平線位移的水平線位移D3為為基本未知量，基本系如圖基本未知量，基本系如圖（2 2）典型方程）典型方程DDDDDDDDD000333323213123232221211313212111PPPFkkkFkkkFkkk（3 3）計(jì)算剛度系數(shù)、自由項(xiàng)）計(jì)算剛度系數(shù)、自由項(xiàng)計(jì)算線性剛度計(jì)算線性剛度i，設(shè)設(shè)EI0=1，21,43,1,

12、1CFBECDBCiiii1440IElEIiABABABi=1i=1i=1i=3/4i=1/23241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k31=?k22=4+3+2=9k32=?（3 3）計(jì)算剛度系數(shù)、自由項(xiàng)）計(jì)算剛度系數(shù)、自由項(xiàng)k111=1k21k31i=1i=1i=1i=3/4i=1/22=1k12k22k321M2M=k13=k231/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=0i=1i=1i=1i=3/4i=1/2i

13、=1i=1i=1i=3/4i=1/2(1/8) 2042=40（3 3）計(jì)算剛度系數(shù)、自由項(xiàng)）計(jì)算剛度系數(shù)、自由項(xiàng)k33k23k13F2PF1PF3P3MPM3=1DDDDDDDDD04835218907 .41219207 . 189210321321321（4 4）解典型方程求結(jié)點(diǎn)位移：）解典型方程求結(jié)點(diǎn)位移：（5 5）疊加法作彎矩圖）疊加法作彎矩圖PMMMMDD2211DDD94. 194. 494. 0321ABCDFEM圖（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97位移法的校核：位移法的校核：結(jié)點(diǎn)及局部桿件的靜結(jié)點(diǎn)及局部桿件的靜力平衡條件的校核。力

14、平衡條件的校核。例例2：用位移法作：用位移法作M圖圖1EIl2llqEI2EI2EI1EIql對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用位移法中利用對稱性簡化計(jì)算的方法：半結(jié)構(gòu)法半結(jié)構(gòu)法力法中利用對稱性簡化計(jì)算的方法：采用對稱基本系采用成組的基本未知量采用半結(jié)構(gòu)利用對稱性簡化計(jì)算！一、奇數(shù)跨一、奇數(shù)跨(1)(1)對稱荷載對稱荷載(2)(2)反對稱荷載反對稱荷載ABEl/2PABEl/2q1I1I2IPPABCDE二、偶數(shù)跨二、偶數(shù)跨(1)(1)對稱荷載對稱荷載qCqCPPI2IP(2)(2)反對稱荷載反對稱荷載例例2：用位移法作：用位移法作M圖圖1EIl2llqEI2EI2EI1EIqlq1EIllqEIEI2E

15、I半結(jié)構(gòu)基本系01111DPFk11k2/12li2/6li211/18lik1EIllqEIEI2EIM16i/lq基本系8/31qlFPiql48/31DPMMMD11PF18/3qlq8/2qlMP01111DPFk211/18lik1EIllqEIEI2EIM16i/lq基本系11122111)8(2qlM 例例3：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)k11D1+FR1C=0CMMMD11D1cck11ccli 3MCik811licFcR/31lc 8/31DFR1C由結(jié)果可見：支座移動引起的位移與由結(jié)果可見：支座移動引起的位移與EI大小無關(guān)，內(nèi)力與大小無關(guān)，內(nèi)力與EI大小有關(guān)大小有關(guān)2

16、i4i3iiM1D1=1基本系lic 4/3lic 8/3lic 8/15lic 2/3M例例4：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)ik811ttttttttt tttltl01111DtRFkD1k112i4i3iiM1D1=1基本系例例4：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)ik811tiFtR918/91tDFR1tttttttttt tttltltlli6Mttlli301111DtRFkD1基本系例例4：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)tMMMD11由結(jié)果可見：溫度變化引起的位移與由結(jié)果可見：溫度變化引起的位移與EI大小無關(guān)，內(nèi)力與大小無關(guān)，內(nèi)力與EI大小有關(guān)大小有關(guān)tttttttD1k1

17、12i4i3iiM1D1=14/15 ti8/3 ti2/3 ti8/9 tiM基本系FR1ttlli6Mttlli3ik811tiFtR918/91tD01111DtRFk例例5：作：作M圖，圖，EI=常數(shù)常數(shù), t1t2tRtRtRFFF111 2/ )(, 2/ )(21210tttttt1t2t1thFR1t2t2t1t1t同上例ik811FR1t的計(jì)算:0t0t0t0ttRF1tttttRF1 1t2t1t2tD1基本系例例5：作：作M圖，圖，EI=常數(shù)常數(shù), t1t2tRtRtRFFF111 tMMMD112/ )(, 2/ )(21210ttttttFR1t2t2t1t1tFR1

18、t的計(jì)算:0t0t0t0ttRF1tttttRF1 019tiFtR同上例01111DtRFkt t htli/3t t htli/2ltlihlti33hlti/2hl til tlihl tiFtR 2331ABCDF1F28m4mii2iABCD3kN/mD2D21DD21D3kN/m位移法基本體系位移法基本體系0021FF一、位移法典型方程的實(shí)質(zhì)含義DDDD0022221211212111PPFkkFkkDDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCDili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2

19、F12F222MABCDk11iM61BCiM41BAk1202BCMiM5 . 12BAF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mF1P4PBAM0PBCM0PBCPBA22BC2BA11BC1BADDMMMMMM一、位移法典型方程的實(shí)質(zhì)含義DDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCDili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F12F222MABCDk11iM61BCiM41BAk1202BCMiM5 . 12BAF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mF1P4PBAM0PBC

20、M 0PBC22BC11BCPBA22BA11BADDDDMMMMMM0BCBA MM一、位移法典型方程的實(shí)質(zhì)含義DDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCD2Mili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F12F22ABCDF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mk21iFQ5 . 11BA01CDQFk22432BAiFQ1632CiFDQF2P6PBAQF0PCDQF0CDBAQQFF一、位移法典型方程的實(shí)質(zhì)含義位移法典型方程的實(shí)質(zhì)含義是位移法典型方程的實(shí)質(zhì)含義是靜力平衡方程靜力平衡

21、方程0BCBA MM（1 1）確定基本未知量；）確定基本未知量；（3 3）整體分析）整體分析利用原結(jié)構(gòu)的平衡條件建立位移法基利用原結(jié)構(gòu)的平衡條件建立位移法基本方程本方程; ;（5 5）由桿件的內(nèi)力與位移關(guān)系式求出各桿件內(nèi)力。）由桿件的內(nèi)力與位移關(guān)系式求出各桿件內(nèi)力。二、轉(zhuǎn)角撓度法的基本步驟（2 2）單元分析）單元分析利用轉(zhuǎn)角撓度方程寫出各桿件的內(nèi)力利用轉(zhuǎn)角撓度方程寫出各桿件的內(nèi)力與位移關(guān)系式；與位移關(guān)系式；（4 4）解方程求出基本未知量）解方程求出基本未知量; ;DDBMABFQABMBAFQBADB例例1. 1. 用轉(zhuǎn)角撓度法分析圖示剛架。用轉(zhuǎn)角撓度法分析圖示剛架。 解解 （1 1）基本未知

22、量）基本未知量B、D（2 2）單元分析）單元分析12434622DiiMBAB12434642DiiMBBA8m4mii2iABCD3kN/m675. 05 . 12412462DDiiqliiFBBQBAMBCDFQCDFQDCMDCBBCiM)2( 3D43iMDCBBCD243iFQCD例例1. 1. 用轉(zhuǎn)角撓度法分析圖示剛架。用轉(zhuǎn)角撓度法分析圖示剛架。 解解 （1 1）基本未知量）基本未知量B、D（2 2）單元分析）單元分析DDB8m4mii2iABCD3kN/mMBCMBA（3 3）位移法方程）位移法方程0BM0BCBAMM041510DiiB0 xFFQBA + FQCD =002

23、475. 36DiiBFQBAFQCD45 . 12DiiMBAB45 . 14DiiMBBABBCiM6DiMDC75. 0D243iFQCD675. 05 . 1DiiFBQBADDB8m4mii2iABCD3kN/m（4 4）解位移法方程）解位移法方程（4 4）解位移法方程）解位移法方程iiB58. 7737. 0D（5 5）彎矩圖）彎矩圖MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC= -5.685kNmFQBA= -1.42kNFQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M圖（kNm）45 . 12DiiM

24、BAB45 . 14DiiMBBABBCiM6DiMDC75. 0D243iFQCD675. 05 . 1DiiFBQBA02475. 36DiiB045 . 110DiiB力法力法 基本未知量：多余約束力基本未知量：多余約束力 基本結(jié)構(gòu)：一般為靜定結(jié)構(gòu)。基本結(jié)構(gòu)：一般為靜定結(jié)構(gòu)。 典型方程（協(xié)調(diào)條件）典型方程（協(xié)調(diào)條件） 作單位和外因內(nèi)力圖，由內(nèi)力作單位和外因內(nèi)力圖，由內(nèi)力圖自乘、互乘求系數(shù)和自由項(xiàng)。圖自乘、互乘求系數(shù)和自由項(xiàng)。 解方程求多余約束力解方程求多余約束力 疊加作內(nèi)力圖疊加作內(nèi)力圖 用變形條件進(jìn)行校核用變形條件進(jìn)行校核位移法位移法 基本未知量：結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移基本未知量：結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移

25、基本結(jié)構(gòu)：單跨超靜定梁組基本結(jié)構(gòu)：單跨超靜定梁組合體合體 典型方程（平衡條件）典型方程（平衡條件） 作單位和外因內(nèi)力圖，由內(nèi)作單位和外因內(nèi)力圖，由內(nèi)力圖的結(jié)點(diǎn)、隔離體平衡求力圖的結(jié)點(diǎn)、隔離體平衡求系數(shù)和自由項(xiàng)。系數(shù)和自由項(xiàng)。 解方程求獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移解方程求獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移 疊加作內(nèi)力圖疊加作內(nèi)力圖 用平衡條件進(jìn)行校核用平衡條件進(jìn)行校核0022221211212111PPFFFFDDDD0022221211212111PPkkkkFFll2/ l2/ lBCDEFqlqqlBCDEFqBCDEFqlqlEI=常數(shù)EA=聯(lián)合法聯(lián)合法是聯(lián)合應(yīng)用力法、位移法解題，一個計(jì)算簡圖用同是聯(lián)合應(yīng)用力法、位移法解題，一個計(jì)算簡圖用同一種方法。一種方法。BCDEFql2l2lBCDq 圖(j1=1