1、一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值, 0)()(00很小時(shí)很小時(shí)且且處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10問(wèn)面積增大了多少問(wèn)面積增大了多少厘米厘米半徑伸長(zhǎng)了半徑伸長(zhǎng)了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后半徑半徑解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 3.5 應(yīng)用微分作近似計(jì)算應(yīng)用微分作近似計(jì)算二、計(jì)算函數(shù)的近似值二、計(jì)算函數(shù)的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf

2、.)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(x

3、xxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例2 2.計(jì)計(jì)算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 三、誤差估計(jì)三、誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素

4、的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測(cè)量誤差間接測(cè)量誤差.定義：定義：.,的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差叫做叫做那末那末為為它的近似值它的近似值如果某個(gè)量的精度值為如果某個(gè)量的精度值為aaAaA .的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差叫做叫做的比值的比值而絕對(duì)誤差與而絕對(duì)誤差與aaaAa 問(wèn)題問(wèn)題:在實(shí)際工作中在實(shí)際工作中,絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差無(wú)法求得絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差無(wú)法求得?辦法辦法: :將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi)將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi). .,的相對(duì)誤差限的相對(duì)

5、誤差限叫做測(cè)量叫做測(cè)量而而的絕對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限叫做測(cè)量叫做測(cè)量那末那末即即又知道它的誤差不超過(guò)又知道它的誤差不超過(guò)測(cè)得它的近似值是測(cè)得它的近似值是如果某個(gè)量的精度值是如果某個(gè)量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限簡(jiǎn)稱為通常把絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限簡(jiǎn)稱為絕對(duì)誤絕對(duì)誤差差與與相對(duì)誤差相對(duì)誤差.例例3 3.,005. 041. 2誤差誤差并估計(jì)絕對(duì)誤差與相對(duì)并估計(jì)絕對(duì)誤差與相對(duì)求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長(zhǎng)為正方形邊長(zhǎng)為 解解則則面積為面積為設(shè)正方形邊長(zhǎng)為設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,yx.2xy ,41. 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 2

6、41. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 邊長(zhǎng)的絕對(duì)誤差為邊長(zhǎng)的絕對(duì)誤差為005. 082. 4 y 面積的絕對(duì)誤差為面積的絕對(duì)誤差為).(0241. 02m yy 面積的相對(duì)誤差為面積的相對(duì)誤差為8081. 50241. 0 %.4 . 0 四、小結(jié)四、小結(jié)近似計(jì)算的基本公式近似計(jì)算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x一、一、 填空題：填空題：1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 計(jì)算計(jì)算)(xf時(shí)，要求時(shí)，要求_很小很小.

7、.2 2、 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí) ， 由 公 式時(shí) ， 由 公 式dyy 可 近 似 計(jì) 算可 近 似 計(jì) 算_)1ln( x； _tan x，由此得，由此得_45tan ；_002. 1ln . .二二、 利利用用微微分分計(jì)計(jì)算算當(dāng)當(dāng)x由由 45變變到到0145 ,時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)xycos 的的增增量量的的近近似似值值( (017453. 01 弧弧度度) ). .三三、 已已知知單單擺擺的的振振動(dòng)動(dòng)周周期期glT 2，其其中中980 g厘厘米米/ /秒秒2 2，l為為擺擺長(zhǎng)長(zhǎng)（單單位位為為厘厘米米） ，設(shè)設(shè)原原擺擺長(zhǎng)長(zhǎng)為為 2 20 0厘厘米米，為為使使周周期期T增增大大 0 0. .0 05 5

8、 秒秒，擺擺長(zhǎng)長(zhǎng)約約需需加加長(zhǎng)長(zhǎng)多多少少？練習(xí)題練習(xí)題四四、 求求近近似似值值：1 1、 136tan；2 2、 5002. 0arcsin； 3 3、3996. .五、設(shè)五、設(shè)0 A，且，且nAB ，證明，證明 1 nnnnABABA，并計(jì)算，并計(jì)算101000的近似值的近似值 . .六、已知測(cè)量球的直徑六、已知測(cè)量球的直徑D有有 1%1%的相對(duì)誤差，問(wèn)用公式的相對(duì)誤差，問(wèn)用公式 36DV 計(jì)算球的體積時(shí)，相對(duì)誤差有多大？計(jì)算球的體積時(shí)，相對(duì)誤差有多大？七、 某廠生產(chǎn)七、 某廠生產(chǎn) （教材（教材 2-182-18 圖） 所示的扇形板， 半徑圖） 所示的扇形板， 半徑R=200=200 毫米，要求中心角毫米，要求中心角 為為 55產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí)，一般用測(cè)量產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí)，一般用測(cè)量 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)L的辦法來(lái)間接測(cè)量中心角的辦法來(lái)間接測(cè)量中心角 ，如果測(cè)量弦長(zhǎng)，如果測(cè)量弦長(zhǎng)L 時(shí)的誤差時(shí)的誤差L = =0.10.1 毫米，問(wèn)由此而引起的中心角測(cè)量毫米，問(wèn)由此而引起的中心角測(cè)量 誤差誤差 是多少？是多少？一、一、1 1、0 xx ； 2 2、002. 0,01309. 0, xx. .二、二、0021. 021602 .