1、-數學建模基地系列課件數學建模基地系列課件-數學建模數學建模 微分與模糊專題微分與模糊專題華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載專題板塊系列專題板塊系列概率統計專題概率統計專題1優化專題優化專題2模糊方法及微分方程專題模糊方法及微分方程專題3圖論專題圖論專題4華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊方法及微分方程專題模糊方法及微分方程專題Part1:微分方程微分方程模糊微分模糊微分Part2:模糊數學模糊數學華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載part1：微分方程微分方程模型微分方程模型差分方程模型差分方程模型華中農業

2、大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 在研究實際問題時在研究實際問題時, , 我們常常不能直接我們常常不能直接得出變量之間的關系，但卻能容易得出包含得出變量之間的關系，但卻能容易得出包含變量導數在內的關系式，這就是微分方程變量導數在內的關系式，這就是微分方程. . 在現實社會中，又有許多變量是離散變在現實社會中，又有許多變量是離散變化的，如人口數、生產周期與商品價格等化的，如人口數、生產周期與商品價格等, , 而且離散的運算具有可操作性而且離散的運算具有可操作性, , 差分正是聯差分正是聯系連續與離散變量的一座橋梁系連續與離散變量的一座橋梁. .華中農業大學數學建模華中農業大

3、學數學建模A.B課件下載課件下載 不管是微分方程還是差分方程模型，有時不管是微分方程還是差分方程模型，有時無法得到其解析解無法得到其解析解 ( (必要時，可以利用計算機必要時，可以利用計算機求其數值解求其數值解 ) )，既使得到其解析解，尚有未知，既使得到其解析解，尚有未知參數需要估計參數需要估計 ( (這時可利用第二章參數估計方這時可利用第二章參數估計方法法). ). 而在實際問題中，討論問題的解的變化趨而在實際問題中，討論問題的解的變化趨勢很重要，因此，以下只對其平衡點的穩定性勢很重要，因此，以下只對其平衡點的穩定性加以討論加以討論. .華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下

4、載課件下載如果如果0)(limxtxt則稱平衡點則稱平衡點x0是是穩定穩定的的.) 14()(ddxftx稱代數方程稱代數方程 f (x)=0 的實根的實根x = x0為方程為方程(4-1)的的平平衡點衡點(或奇點或奇點). 它也是方程它也是方程(4-1)的解的解.設設一維微分方程模型平衡點的穩定性一維微分方程模型平衡點的穩定性華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載由于由于),)()(00 xxxfxf在討論方程在討論方程(4-1)的的)24()(dd00 xxxftx來代替來代替.穩定性時，可用穩定性時，可用一階微分方程模型平衡點的穩定性一階微分方程模型平衡點的穩定性

5、華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡點的平衡點. (4-2)的通解為的通解為,e)(0)(0 xCtxtxf關于關于x0是否穩定有以下結論：是否穩定有以下結論： 若若, 0)(0 xf則則x0是穩定的；是穩定的； 若若則則x0是不穩定的是不穩定的. ., 0)(0 xf這個結論對這個結論對于于(4-1)也是也是成立的成立的.一階微分方程模型平衡點的穩定性一階微分方程模型平衡點的穩定性華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載)34().,(dd),(ddyxgtyyxftx代數方程組代數方程組. 0)

6、,(, 0),(yxgyxf的實根的實根x = x0, y = y0稱為方程稱為方程(4-3)的的平衡點平衡點, 記作記作P0 (x0, y0). 它也是方程它也是方程(4-3)的解的解.微分方程組的平衡點的穩定性微分方程組的平衡點的穩定性華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt則稱平衡點則稱平衡點P0是是穩定穩定的的.微分方程組的平衡點的穩定性微分方程組的平衡點的穩定性華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 下面給出判別平衡點下面給出判別平衡點P0是否穩定的是否穩定的判別準則判別準則. 設設,)

7、()(00yPgxPfpyPgxPgyPfxPfq)()()()(0000 則當則當p0且且q0時，平衡點時，平衡點P0是穩定的；是穩定的； 當當p0或或q0時，平衡點時，平衡點P0是不穩定的是不穩定的.微分方程組的平衡點的穩定性微分方程組的平衡點的穩定性華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載穩定性模型穩定性模型建模目的是研究時間充分長以后過程的變建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢化趨勢 平衡狀態是否穩定。平衡狀態是否穩定。不求解微分方程，而是用微分方程穩定性不求解微分方程，而是用微分方程穩定性理論研究平衡狀態的穩定性。理論研究平衡狀態的穩定性。華中農業大學數學

8、建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 再生資源（漁業、林業等）與非再生再生資源（漁業、林業等）與非再生資源（礦業等）資源（礦業等） 再生資源應適度開發再生資源應適度開發在持續穩產在持續穩產前提下實現最大產量或最佳效益。前提下實現最大產量或最佳效益。問題問題及及 分析分析 在在捕撈量穩定捕撈量穩定的條件下，如何控制捕的條件下，如何控制捕撈使產量最大或效益最佳。撈使產量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁場漁場魚量將保持不變魚量將保持不變，則捕撈量穩定。，則捕撈量穩定。背景背景實例：實例： 捕魚業的持續收獲捕魚業的持續收獲華中農業大學數學建模華中農

9、業大學數學建模A.B課件下載課件下載ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF 記記假設假設 無捕撈時魚的自然增長服從無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規律規律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模建模 捕撈情況下漁場魚量滿足捕撈情況下漁場魚量滿足r固有增長率固有增長率, N最大魚量最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強度捕撈強度x(t) 漁場魚量，漁場魚量，產量模型產量模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載0)( xF0),1(10 xrENxErxFrExF )(,)(10平衡點平

10、衡點穩定性判斷穩定性判斷0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0)(10 xFxFrEx0 穩定穩定, 可得到穩定產量可得到穩定產量x1 穩定穩定, 漁場干枯漁場干枯E捕撈強度捕撈強度r固有增長率固有增長率不穩定穩定10,xx穩定不穩定10,xx產量模型產量模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載圖解法圖解法)()()(xhxfxF)1 ()(NxrxxfExxh)(0)( xFP的橫坐標的橫坐標 x0平衡點平衡點2/*0*rxhEm y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標的縱坐標 h產量產量)4/, 2/(*0*rNhNxPm 產量最

11、大產量最大f 與與h交點交點P穩定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半控制漁場魚量為最大魚量的一半產量模型最大產量產量模型最大產量華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載cErEpNEESETER)1 ()()()()1(4222NpcrNhR cEpExSTR效益模型效益模型假設假設 魚銷售價格魚銷售價格p 單位捕撈強度費用單位捕撈強度費用c 單位時間利潤單位時間利潤)/1 (0rENx穩定平衡點穩定平衡點求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22 )1(rENxRR 漁場漁場魚量魚量2*rE收入收入 T = ph(x)

12、= pEx支出支出 S = cE華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載對于對于k階差分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (4-6)若有若有xn = x (n), 滿足滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱則稱xn = x (n)是差分方程是差分方程(4-6)的的解解, 包含包含k個任個任意常數的解稱為意常數的解稱為(4-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已為已知時稱為知時稱為(4-6)的的初始條件初始條件,通解中的任意常數都通解中的任意常數都由初始條件確定后的解稱為由初始

13、條件確定后的解稱為(4-6)的的特解特解.差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 若若x0, x1, , xk1已知已知，則形如則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計算機上實現的差分方程的解可以在計算機上實現. 若有常數若有常數a是差分方程是差分方程(4-6)的解的解，即即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱則稱 a是差分方程是差分方程(4-6)的的平衡點平衡點. 又對差分方程又對差分方程(4-6)的任意由初始條件確定的任意由初始條件確定的解的解 xn= x(n)都有都有xna (

14、n), 則稱這個平衡點則稱這個平衡點a是是穩定穩定的的.差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 一階常系數線性差分方程一階常系數線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數，且為常數，且a -1, 0)的通解為的通解為xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點，由上式知，當是其平衡點，由上式知，當且僅當且僅當|a|1時，時，b/(a +1)是穩定的平衡點是穩定的平衡點. 差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 二階常系數線性差分方程二

15、階常系數線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數為常數. 當當r = 0時，它有一特解時，它有一特解x* = 0； 當當r 0，且，且a + b + 1 0時，它有一特解時，它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形，不管是哪種情形，x*是其平衡點是其平衡點. 設其特征設其特征方程方程 2 + a + b = 0的兩個根分別為的兩個根分別為 = 1, = 2. 差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 當當 1, 2 是兩個不同實根時，是兩個不同實根時，二階常系二階常系數線性差分數線性

16、差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當當 1, 2= 是兩個相同實根時，是兩個相同實根時，二階常系二階常系數線性差分數線性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n; 則則差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 當當 1, 2= (cos + i sin ) 是一對共軛復根是一對共軛復根時，時，二階常系數線性差分二階常系數線性差分方程的通解為方程的通解為xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知，當且僅當特征方程的任一特征根易知，當且僅當特征方程

17、的任一特征根 | i |1時時, 平衡點平衡點x*是穩定的是穩定的. 差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載對于一階非線性差分方程對于一階非線性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點其平衡點x*由代數方程由代數方程x = f (x)解出解出. 為分析平衡點為分析平衡點x*的穩定性的穩定性, 將上述差分方程近將上述差分方程近似為一階常系數線性差分方程似為一階常系數線性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(| xf時時, ,上述近似線性差分方程與上述近似線性差分方程與原原非線性差分方程的非線性差分方程的穩定性相同穩定性相同.

18、. 因此因此當當時時, , x*是穩定的；是穩定的；當當1|*)(| xf時時, , x*是不穩定的是不穩定的. .當當1|*)(| xf差分方程模型差分方程模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載問問 題題供大于求供大于求現現象象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數量與價格的變化規律描述商品數量與價格的變化規律數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩市場經濟中的蛛

19、網模型市場經濟中的蛛網模型華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產者的供應關系供應函數供應函數需求函數需求函數f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy模型建立模型建立華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載設設x1偏離偏離x032211xyxyx0

20、321PPPP00,yyxxkkP0是穩定平衡點是穩定平衡點P0是不穩定平衡點是不穩定平衡點)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk 蛛蛛 網網 模模 型型0321PPPP 穩定性分析穩定性分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載xy0fgy0 x0P0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4gfKKxy0y0 x0P0fggfKK曲線斜率曲線斜率穩定性分析穩定性分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載)(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 x

21、xyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩定穩定P0不穩定不穩定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網模型的一致方程模型與蛛網模型的一致穩定性分析穩定性分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載)(00 xxyykk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程

22、度 小小, 有利于經濟穩定有利于經濟穩定 小小, 有利于經濟穩定有利于經濟穩定xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩定經濟穩定結果解釋結果解釋華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf需求曲線變為水平需求曲線變為水平供應曲線變為豎直供應曲線變為豎直結果解釋政府干預結果解釋政府干預華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載

23、2/ )(0101yyyxxkkk 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數為設供應函數為需求函數不變需求函數不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程)(1kkyhx211kkkyyhx模型的推廣模型的推廣華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載48)(22, 1方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程

24、的根的根 022平衡點穩定平衡點穩定的條件的條件:12,12平衡點穩定條件平衡點穩定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1x0為平衡點為平衡點 研究平衡點穩定，即研究平衡點穩定，即k, xkx0的條件的條件模型的推廣模型的推廣華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊集合及其運算模糊集合及其運算模糊聚類分析模糊聚類分析模糊綜合評判模糊綜合評判模糊線性規劃模糊線性規劃Part2: 模糊數學模糊數學華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載一、經典集合與特征函數一、經典集合與特征函數 集合：集合：具有某種特定屬性的對象集體。具有某種特定屬

25、性的對象集體。通常用大寫字母通常用大寫字母A、B、C等表示。等表示。論域：論域：對局限于一定范圍內進行討論的對象的全體。對局限于一定范圍內進行討論的對象的全體。通常用大寫字母通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。等表示。論域論域U中的每個對象中的每個對象u稱為稱為U的的元素元素。模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載在論域在論域U中任意給定一個元素中任意給定一個元素u及任意給定一個及任意給定一個經典集合經典集合A，則必有，則必有 或者或者 ，用函數表示為：，用函數表示為：Au Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中其中 AuAuuA ,

26、 0 , 1)( 函數函數 稱為集合稱為集合A的特征函數。的特征函數。A 模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 羅素（羅素（Russell）悖論：）悖論：在一個孤島上唯一的一在一個孤島上唯一的一個理發師，其工作是個理發師，其工作是“專門替那些不給自己刮胡子的專門替那些不給自己刮胡子的人刮胡子人刮胡子”，現問理發師本人該不該給自己刮胡子？，現問理發師本人該不該給自己刮胡子？取論域取論域U=全島刮胡子的人全島刮胡子的人，集合集合A=不給自己刮胡子的人不給自己刮胡子的人，用特征函數刻畫為，用特征函數刻畫為 某某人人給給自自己己刮刮胡胡子子某某

27、人人不不給給自自己己刮刮胡胡子子某某人人 , 0 , 1)(A 問題：問題：顯然理發師顯然理發師 ，那么理發師是否屬于，那么理發師是否屬于A？U 模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載二、模糊集合及其運算二、模糊集合及其運算美國控制論專家美國控制論專家Zadeh教授正視了經典集合描述的教授正視了經典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰現象，提示了現實生活中的絕大多數的清晰現象，提示了現實生活中的絕大多數概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么簡單，而概念的差異常以那么簡單，而概念的差異常以中介過渡的形式出現，表現為中介過渡的形式出

28、現，表現為“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊現象。的模糊現象。基于此，基于此，1965年，年， Zadeh教授在教授在Information and Control雜志上發表了一篇開創性論文雜志上發表了一篇開創性論文“Fuzzy Sets”,標志著模糊數學的誕生。標志著模糊數學的誕生。模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載1、模糊子集、模糊子集定義：定義：設設U是論域，稱映射是論域，稱映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 確定了一個確定了一個U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 稱為稱為 隸屬函隸屬函AA A數數， 稱為稱為 對對

29、的隸屬程度，簡稱的隸屬程度，簡稱隸屬度隸屬度。)(xA xA模糊子集模糊子集 由隸屬函數由隸屬函數 唯一確定，故認為二者唯一確定，故認為二者AA 是等同的。為簡單見，通常用是等同的。為簡單見，通常用A來表示來表示 和和 。AA 模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 這里這里 表示表示 對模糊集對模糊集A的隸屬度是的隸屬度是 。iixxA)(ix)(ixA如如“將一將一1,2,3,4組成一個小

30、數的集合組成一個小數的集合”可表示為可表示為4032 . 028 . 011 A可省略可省略模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA （2）序偶表示法）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若論域若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：為無限集，其上的模糊集表示為： UxxxAA)(模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載2、模糊集的運算、模糊集的運算定義：定義：設設A，B是論域是論域U

31、的兩個模糊子集，定義的兩個模糊子集，定義相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA ),()()(交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載幾個常用的算子：幾個常用的算子：（1）Zadeh算子算子),( ,min,maxbabababa （2）取大、乘積算子）取大、乘積算子),( abbababa ,max（3）環和、乘積算子）環和、乘積算子), ( abb

32、aabbaba ,模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子),( ,min),(1babababa （5）有界和、乘積算子）有界和、乘積算子),( abbababa ),(1（6）Einstain算子算子),( )1)(1(1,1baabbaabbaba 模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載3、模糊矩陣、模糊矩陣定義：定義：設設 稱稱R為為模糊矩陣模糊矩陣。, 10 ,)( ijnmijrrR當當 只取只取0或或1時，稱時，稱R為為布爾（布爾（

33、Boole）矩陣）矩陣。ijr當模糊方陣當模糊方陣 的對角線上的元素的對角線上的元素 都為都為1時，時，nnijrR )(ijr稱稱R為為模糊自反矩陣模糊自反矩陣。（1）模糊矩陣間的關系及運算）模糊矩陣間的關系及運算定義定義：設：設 都是模糊矩陣，定義都是模糊矩陣，定義nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(例：例：則則設設,2 . 03 . 004

34、 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（2）模糊矩陣的合成）模糊矩陣的合成定義：定義：設設 稱模糊矩陣稱模糊矩陣,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(為為A與與B的合成，其中的合成，其中 。1)max(skbackjikij 例：例：則則設設,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 .

35、02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（3）模糊矩陣的轉置）模糊矩陣的轉置定義：定義：設設 稱稱 為為A的的,)(nmijaA nmTijTaA )(轉置矩陣，其中轉置矩陣，其中 。jiTijaa （4）模糊矩陣的）模糊矩陣的 截矩陣截矩陣 定義：定義：設設 對任意的對任意的 稱稱,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 為模糊矩陣為模

36、糊矩陣A的的 截矩陣，其中截矩陣，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載例：例：則則設設,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載三、隸屬函數的確定三、隸屬函數的確定1、模糊統計法、模糊統計法模糊統計試驗的四個要素：模糊統計試驗的四個要素

37、：（1）論域）論域U；（2）U中的一個固定元素中的一個固定元素;0u（3）U中的一個隨機運動集合中的一個隨機運動集合;*A（4）U中的一個以中的一個以 作為彈性邊界的模糊子集作為彈性邊界的模糊子集A，*A制約著制約著 的運動。的運動。 可以覆蓋可以覆蓋 也可以不覆蓋也可以不覆蓋*A*A,0u,0u致使致使 對對A的隸屬關系是不確定的。的隸屬關系是不確定的。0u模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載特點：在各次試驗中，特點：在各次試驗中， 是固定的，而是固定的，而 在隨機變動。在隨機變動。0u*A模糊統計試驗過程：模糊統計試驗過程：（1）做

38、）做n次試驗，計算出次試驗，計算出nAuAu的次數的次數的隸屬頻率的隸屬頻率對對*00 （2）隨著）隨著n的增大，頻率呈現穩定，此穩定值即為的增大，頻率呈現穩定，此穩定值即為nAuuAn的的次次數數*00lim)( 0u對對A的隸屬度：的隸屬度：模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載2、指派方法、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據問題的性質套用現成的某些形式的模方法。它是根據問題的性質套用現成的某些形式的模糊分布，然后根據測量數據確定分布中所含的參數。糊分布，然后根據

39、測量數據確定分布中所含的參數。3、其它方法、其它方法德爾菲法：專家評分法；德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數的大致形狀。主要有以下方法：由此決定隸屬函數的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優比較法和對比平均法等。相對比較法、擇優比較法和對比平均法等。模糊集合及其運算模糊集合及其運算華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊聚類分析模糊聚類分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業

40、大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載例：設對于模糊等價矩陣例：設對于模糊等價矩陣,54321xxxxxU 16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01R模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載例：設有模糊相似矩陣例：設有模糊相似矩陣 13 . 02 . 03 . 011 . 02 .

41、 01 . 01R213 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01RRR ).(13 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01222RtRRR 模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載二、模糊聚類的一般步驟二、模糊聚類的一般步驟、建立數據矩陣、建立數據矩陣模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（1）標準差標準化）標準差標準化模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（2）極差正規化）極差正規化minmaxminijij

42、ijijijxxxxx （3）極差標準化）極差標準化minmaxijijiijijxxxxx （4）最大值規格化）最大值規格化jijijMxx 其中：其中：),max(21njjjjxxxM 模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載、建立模糊相似矩陣、建立模糊相似矩陣（1）相似系數法）相似系數法夾角余弦法夾角余弦法 mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相關系數法相關系數法 mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載

43、（2）距離法）距離法Hamming距離距離 mkjkikjixxxxd1),(Euclid距離距離 mkjkikjixxxxd12)(),(Chebyshev距離距離jkiknkjixxxxd 1max),(模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載（3）貼近度法）貼近度法最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(算術平均最小法算術平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(幾何平均最小法幾何平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中

44、農業大學數學建模A.B課件下載課件下載3 3、聚類并畫出動態聚類圖、聚類并畫出動態聚類圖（1）模糊傳遞閉包法）模糊傳遞閉包法步驟：步驟：模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載解：解：由題設知特性指標矩陣為由題設知特性指標矩陣為 43271510406469046150261080*X采用最大值規格化法將數據規格化為采用最大值規格化法將數據規格化為 67. 05 . 029. 0110. 02 . 011. 044. 0157. 060. 0167. 086. 0

45、10. 056. 033. 086. 0189. 0X模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載用最大最小法構造用最大最小法構造模糊相似矩陣得到模糊相似矩陣得到 138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056. 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070. 063. 053. 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 06

46、3. 062. 063. 01)(4RRt用平方法合用平方法合成傳遞閉包成傳遞閉包模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載取取 ，得，得1 1000001000001000001000001)(1Rt模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載取取 ，得，得7 . 0 1000001010001000101000001)(7 . 0Rt取取 ，得，得63. 0 1000001011001000101101011)(63. 0Rt模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課

47、件下載取取 ，得，得62. 0 1000001111011110111101111)(62. 0Rt取取 ，得，得53. 0 1111111111111111111111111)(53. 0Rt模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載畫出動態聚類圖如下：畫出動態聚類圖如下：54321 xxxxx0.70.630.620.531模糊聚類分析模糊聚類分析華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊聚類分析的簡要流程模糊聚類分析的簡要流程:YN華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊模式識別模糊模式識別模式

48、識別的本質特征：一是事先已知若干標準模式，模式識別的本質特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載一一最最大大隸隸屬屬原原則則最大隸屬原則最大隸屬原則：最大隸屬原則最大隸屬原則：模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載按最大隸屬原則，按最大隸屬原則，該人屬于

49、老年。該人屬于老年。解：解：模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載閾值原則：閾值原則：模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載二、擇近原則二、擇近原則1、貼近度、貼近度),(BA 表示兩個模糊集表示兩個模糊集A，B之間的之間的貼近貼近程程度度。模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載 C =4 . 04 . 06 . 06 . 09 . 0 C =1 . 08 . 04 . 06 . 01 . 0 65. 0)1 . 01(4 . 021),(0 CB 45. 0)4 . 01(3 . 021),(0 CA 故故B比比A更貼近于更貼近于.模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊模式識別模糊模式識別華中農業大學數學建模華中農業大學數學建模A.B課件下載課件下載模糊模式識