1、普寧僑中普寧僑中 鄭慶宏鄭慶宏 放縮法證明數列不等式放縮法證明數列不等式是數列中的難點內容，在近是數列中的難點內容，在近幾幾年的廣東高考年的廣東高考數列數列試題中都有考查試題中都有考查. .放縮法靈活多變，技放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂巧性要求較高，所謂“放大一點點就太大，縮小一點點又放大一點點就太大，縮小一點點又太小太小”，這就讓同學們找不到頭緒，摸不著規律，總覺得這就讓同學們找不到頭緒，摸不著規律，總覺得高不可攀！高考命題專家說：高不可攀！高考命題專家說：“放縮是一種能力放縮是一種能力. .” 如何如何把握放縮的把握放縮的“度度”，使得放縮，使得放縮“恰到好處恰到好處”，這正是放縮

2、，這正是放縮法的精髓和關鍵所在！法的精髓和關鍵所在！其實，任何事物都有其內在規律，其實，任何事物都有其內在規律，放縮法也是放縮法也是“有法可依有法可依”的的，本節課我們一起來研究數列，本節課我們一起來研究數列問題中一些常問題中一些常見見的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領略和感受放縮法的無限魅力！開其神秘的面紗，領略和感受放縮法的無限魅力！一一. 放縮目標模型放縮目標模型可求和可求和2311111 ()2222nnN求證：例例1 1231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnN求證：變變式

3、式2 2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 31(niiak k為常數）形形（一一）如如不等式左邊可用等比數列前不等式左邊可用等比數列前n項和公式求和項和公式求和.分析分析左邊左邊11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnN求證：例例1 1表面是證數列不等式，表面是證數列不等式，實質是實質是數列求和數列求和不等式左邊可用不等式左邊可用“錯位相減法錯位相減法”求和求和.分析分析由錯位相減法得由錯位相減法得 222nn2231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 1表面是證數列不等式，表面是證數列不等式，實質是實質是數列求和數列求和2312

4、32222nn左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？求和，如何放縮？分析分析2311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2將通項放縮為將通項放縮為等比數列等比數列注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n 12311112222n左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？和，如何放縮？分析分析注意到注意到222nn2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 3231232222nn左邊22nnnnn將通項放縮為將通項放縮為 錯錯位相減位相

5、減模型模型【方法總結之一方法總結之一】201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問求證：例例2 222211112 ()23nnN求證：變變式式1 12221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 222211151()233nnN求證：變變式式3 3左邊可用左邊可用裂項相消法裂項相消法求和，先求和再放縮求和，先求和再放縮.分析分析11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問求證：例例2 2表面是證數列不等式，表面是證數列不等式，實質是實質是數列

6、求和數列求和111111(1)()()23352121nn左邊1111()(21)(21)2 2121nnnn左邊不能求和，應先將通項放縮為左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消裂項相消模型模型后求和后求和.分析分析11 1n 22 ()n保留第一項，保留第一項，從從第二項第二項開開始放縮始放縮111111 (1)()()2231nn 左邊21n22211112 ()23nnN求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.變式變式2 2的結論比變式的結論比變式1 1強，要達目的，須將強，要達目的，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度

7、”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析2221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留前兩項，從保留前兩項，從第三項第三項開始放縮開始放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊111142n 714n374()n211111111()()()223341nn 111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項從第三項才開始放縮的通項從第三項才開始放縮. .當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.變式變式2 2的結論比變式的結論比變式1 1強，要達目的，須將變強，要達目的，須將變式式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修

8、正？進行修正，如何修正？分析分析2221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留第一項，保留第一項，從從第二項第二項開開始放縮始放縮思路二思路二22111nn左邊左邊11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式1 1更小一點更小一點.當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.變式變式3 3的結論比變式的結論比變式2 2更強，要達目的，須將更強，要達目的，須將變式變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步

9、修正，如何修正？分析分析保留前兩項，保留前兩項，從從第三項第三項開開始放縮始放縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()()22243511nn 22211151()233nnN求證：變變式式3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項從第三項才開始放縮思路二中通項從第三項才開始放縮.當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.變式變式3 3的結論比變式的結論比變式2 2更強，要達目的，須將更強，要達目的，須將變式變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，

10、如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析保留保留第一第一項，項，從從第第二項二項開始開始放縮放縮思路二思路二22144nn左邊左邊1112()321n 1123 253()n11111112 ()()()35572121nn 112()2121nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式2 2思路二更小一點思路二更小一點.22211151()233nnN求證：變變式式3 32441n當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.評注評注【方法總結之二方法總結之二】 放縮法證明與數列求和有關的不等式的過程放縮法證明與數列求和有關的不等式的過程中，很多時候要中，很多時候要“留一手留一手

11、”， 即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留數列的第一項或前兩項，從數列的第保留數列的第一項或前兩項，從數列的第二項或第三項開始放縮二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結果放得過，這樣才不致使結果放得過大或縮得過小大或縮得過小. .牛刀小試牛刀小試（變式練習（變式練習1 1）*22211151()35(21)4nnN求證：證明證明21(21)n111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn 14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2(1),(1)nnan nbn1122111

12、512nnababab11(1)(21)nnabnn故故1111 111111()62 23341niiiabnn51122(1)5.12n(2)n 當當 時，有時，有 也成立也成立 1n 156121 11()212 (11)nnnnna221nnna 1(1)3niiia a當當 時，有時，有 也成立也成立 1n 2322(1)(21)(21)(21)(22)iiiiiiiiaa 111211(2)(21)(21)2121iiiiii21111111(1)2()()33(2)2 121212121niinnnia an常見的裂項放縮技巧：常見的裂項放縮技巧：)1(212n22112)1(2

13、nnnnnnnnn)2(121121) 12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(21112nnnnnnnnnnnnnn)3()111(2) 1(21212) 1(1)(1) 11 (12n21210 nnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111) 1(111) 1(11111211212) 12)(12(4144441111121) 1)(1(11112222224.1.3.5.6.2.右邊保留右邊保留第一項第一項1111231001111231(2009200)0S 珠海二求模理第(2)的整.問例數部分3 3122nn2

14、1nn2(1)nn21nn 2(1)nn 1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整數部分是思路思路為了確定為了確定S的整數部分，的整數部分，必須必須將將S的值放縮在相鄰的兩個的值放縮在相鄰的兩個整數之間整數之間. .分析分析思路思路左邊32nn211111333n 22331(2011113()3232322193(3)22nnnN求廣東理第：問證例例4 4利用指數函數的單調性放縮為等比模型利用指數函數的單調性放縮為等比模型23 1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n分析分析左邊左邊32n21111(1)733n 2

15、3111117()3214323232nnN求證：例例4 4 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留第一項，從保留第一項，從第二項第二項開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項的方法將通項也放縮為也放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.【方法總結之三方法總結之三】na221nnna 1(1)3niiia a21112111(1)(2)22 21222222iiiiiiiiiaai故故

16、2111111(1)233(2)2222niinnia an當當 時，有時，有 也成立也成立 1n 23(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nn N全國求：例證5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n 思路思路nT nR123nnTbbbb123nnRcccc1( )niiaf n二形形（）如如證明證明(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1)n n1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n評注評注用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！【方法總結之四方法總結之四】二二. 放縮目標模型放縮目標模型可求

17、積可求積135211()24(2060922121 (2) )nnnn N求證東理：例廣第問6 6思路思路135211246221nnn nB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三（形形如如）證明證明212nn22141nn21()21nnnN1352135721nn左邊121n【方法總結之五方法總結之五】牛刀小試牛刀小試（變式練習（變式練習2 2）(1998(1998全國理全國理2525第第(2)(2)問問) )*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnN求證：證明證明31(1)32n313113232nnn 333334710313114732nnn2333113

18、2(32)(32)nnn 33113232nnn 左邊課堂小結課堂小結 本節課我們一起研究了本節課我們一起研究了利用放縮法證明數列不等利用放縮法證明數列不等式式，從中我們可以感受到在平時的學習中，從中我們可以感受到在平時的學習中有意識地去有意識地去積累積累總結總結一些常用的一些常用的放縮模型和放縮模型和放縮方法非常必要放縮方法非常必要，厚積薄發，厚積薄發，“量變引起質變量變引起質變”. . 當然，要想達到爐火當然，要想達到爐火純青的深厚功力，還必須在實踐中不斷去感悟，仔細純青的深厚功力，還必須在實踐中不斷去感悟，仔細揣摩其方法，逐步內化為自己個人的揣摩其方法，逐步內化為自己個人的“修為修為”. .