1、8.1 確定下面的多項式是否為本原多項式。提示： 的例子。 2 3 a) 1+X2+X3 2 3 b) 1 + X+X +X 2 4 c) 1+X +X 3 4 d) 1 + X +X 2 3 4 e) 1+X+X +X +X 5 f) 1+X+X g) 1 + X2+X5 h) 1 + X3+X5 、 4 5 i) 1+X +X 在(a) (d) (g) 還有(h)的多項式是簡單的，剩余的為復雜的，我們采用經典的方法來 解決 part(a),那就是一個不能簡化的多項式，f(X),在 m 度被認為是簡單的，如果對于最小 的正整數 n f(X)分隔錯誤！未找到引用源。+1, n=錯誤！未找到引用

2、源。-1,因此，對于(a) 部分來說，我們證明 m=3 的度時多項式是簡單的，使得 錯誤！未找到引用源。+仁錯誤！未 找到引用源。+1=錯誤！未找到引用源。+1,但并沒有分隔錯誤！未找到引用源。+1,n在 17 之間的時候，我們給出 錯誤！未找到引用源。+1 除以錯誤！未找到引用源。 +1 的式子。 錯誤！未找到引用源。+錯誤！未找到引用源。+1 錯誤！未找到引用源。 + 錯誤！未找到引用源。 +1 錯誤！未找到引用源。+1 錯誤！未找到引用源。+1 錯誤！未找到引用源。+1 錯誤！未找到引用源。+1 - 0 最簡單的方法就是用 LFSR，類似于圖 8.8 接下來我們將全面的檢查剩余的狀況同樣

3、適用 錯誤！未找到引用源。+X 錯誤！未找到引用源。 +1 錯誤！未找到引用源。1 ）x6+x5+x3 錯誤！未找到引用源。+1 錯誤！未找到引用源。+1 錯誤！未找到引用源。+X 錯誤！未找到引用源。X+1 I he reynaining conditions are met, since we have shown that 3 + 2 + 1 docs not divide + 1, for values of in tlie range of 1 S u 7 Next we use a LFSR to illustrat亡 an easier way of determining wh

4、ether a polynomial is primitive. As an example we use this method to verify that the part (g) polynomial is primitive. Vv c draw the LFSR (shown below), with the feedback connections corresp。口ding to the coefficients of the polynomial 1 +A2 + 卅 similar to the example of Figure 8.8. We load into the

5、circuit* agisters any nonzero setting, say i 0 0 0 0, and perform a right shift with each clock pulse. For this ponomjal, the circuit generates each of the nonzero fieid elements within one period (as seen in the table below), hence the polvnomial which defines this GF(25) field is a primitive polyn

6、omial. 表格 8-3 X1 X2 X3 X4 Xs LFSR wirh feedback connections corresponding to the coefficients of （he polynomial 1 +A3 題 8.2 a） （7, 3） R-S 碼的碼元糾錯性能如何？每碼元多少個比特？ b） 計算用于表示 a）中（乙 3）R-S 碼的標準陣的行數和列數（見 6.6 節）。 c） 利用 b）中的矩陣維數來提高 a）中所得到的碼元糾錯性能。d） （7, 3） R-S 碼是否是完備碼？如果不是，它具有多少殘余碼元糾錯能力? 8.3 a）根據有限域 GF（2m）（其中 m

7、=4）中的基本元素定義元素集0, 負，m2,。 b） 對于 a）中的有限域，構造類似于表 8.2 的加法表。 c） 構造類似于表 8.3 的乘法表。 d） 求解（31, 27） R-S 碼的生成多項式。 6）用（31, 27） R-S 碼以系統形式對信息96 個 0,后面為 10010001111（最右端為最 早出現的比特）進行編碼。為什么此信息要構造如此多的 0 序列？ 0 a0 a* a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a,6 a11 評 a,j a14 a0 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 詁 a10 a11 a12 alj a14 a* 0 a4

8、a8 a14 a1 a10 J a2 a7 a5 a12 a11 a6 a3 Q 0 c? J a0 a2 au a14 a10 a3 a8 a6 a13 a12 a7 a3 0 a6 a10 a1 a3 a12 a0 a11 a4 0? a7 a14 a13 a4 0 a7 a11 a2 a4 an a* a12 a5 a10 (? a0 a5 0 a8 a12 a3 a5 a14 a2 a13 a6 a11 a9 a6 0 a9 a13 a4 a6 a0 a3 a14 a7 a12 a7 0 a10 a14 a5 a7 a1 a4 a0 a8 0 IT a*L a2 a5 a1 a9 d

9、r J J J a3 a6 a,0 4 a* ai0 a4 a11 a：4 a3 a9 a11 a12 0 a0 a4 a10 a13 0 a1 a5 a14 0 a2 0 I + H(lg+ls)+頭寸 ex(i+%) n+k 寸|3+NXdI+JX2ti!+ 鼻屯 x2+*Qt/ xti+ 頭(9a+a)+ 鼻(al+邑 * 2 扌XSI+ WAV?十寸 x 2 十 rx KX?頭dr * %+& OS - 頭b + E*9鼻(芒+乜)+頭lb十m旦 cxtiI+ EXE 十鼻2 十 g*dl+ 9X 鬥 良a+ 黑Ia+9xlav十尢d+zxo; Exb卜 b+k+頭 Fr a

10、o ;2 d d 6 d d a CJ d d d a d A d o Ig t 飛 E H d E d I o 3 d o d CM d 寸 d 、 0 9 a L b w d 6 d 1 二 CJ d o fM d m 飛 龍 d ts C5 E 0 苛 d wn 9 d d w d 6 d 飛 ；o d rq 1 好 a 0 Ct d ra 甘 3 9 a d o _ci o o a 1 CN d E d d o亠 d ri E 3 -T d W a o 6 ti o 3 i 6 CM E a 寸 d o b c r a r* d g o 6 d o 1E * m -d 寸 ts 9 d

11、 -* a a r* d o 卜 d 8 d o rs 飛5 z 1! d m 飛 d 2 o 9 d d Cl 屯 o d fc r d d o 5 a 9 d d w 6 d o i d u & o d d 9 5 r* 8 s s m d o f 0 與 d ti g d rt a o d a d -. a o d % o n b o o X o Q . a 飛 fl E 寸 a 旳 a 9 d a 6 d o d iB 1 r! 飛 7（心| 必= c) 計算 1 .和 十“ 和 品応 T m = -l) = 22)(1-0*3) -0J5 因為 公式（8.66 ）的 MAP

12、判決條件即;等于-1。 8.12 考慮 8.4.3 節中所描述的二維監督校驗碼。 正如前面所述，發送碼元用序列 d1, d2, d3, d4, P12 , P34, P13, P24表示，編碼效率為 1/2。在需要更高數據速率的一種特殊應用中，允 許輸出序列將監督位每隔一比特丟棄一比特， 由此得到總的編碼效率為 2/3。輸出序列為 d1, d2 , d3, d4 , p12, _, p13, _ （監督比特 p34 和 p24 沒有發送）。發送序列為di, Pj=+1-1-1+1+1-1 , 這里 i和 j 為位置坐標。噪聲將數據和監督序列改變為 Xk=0.75 , 0.05, 0.10, 0

13、.15, 1.25, 3.0,這里 k 是時間序號。計算經過二次平行和二次垂直迭代后的軟輸出。假設單位噪聲方 差。 該通道的測量值為以下 LLR 的值 乙（嫌）=1$，OJS02?0.332,5,6.0 接受信號 的軟輸出對應數據；： = 1.6*10 -8 丫乞2 = 53 3)=-0.63 用公式（8.66 ）,可以得到 則）-的十 g） Y .國 匯 門1田皿0） 我們可以寫成橫向和縱向公式計算如下 h ） = it（x2） + Ldz: 9 Lc（xl2） SSJ =厶（切+ 田厶（七3） 厶&）=人（石）十L（d-Ji田矗吃） 厶禺）二厶（切+ （血）田厶（七4） 砧）-憶血

14、0 + （印S以砂） 厶次（如=厶）+ ）田4（13） 創（必）=心）亠E（抄J田厶佝 乙丫（必）=厶（七）寧（必）田LC（X24） 使用公式（8.73 ）的近似關系和前提條件 產二乜：汽，我們可以計算出 的值。 因為這些檢驗位不被傳輸， L（d）開始也設置為零。計算-的產率值為： 比（必 = （01 + 0）田 2.5 = -0.1 new L（dy） 5 + 0）田 2.5 = -1.5 new Z（J2） E心（4j） （0.3 + 0）田 0 = 0 new （必） 血（必）-（0.2 + 0）田 0 = 0 new 必） 計算 的產率值為： = （0.2 + 0）田 6g -0.2

15、new L（） 匚、二）二（0.3 丁 0）田 0 = 0 new l（d2） * _r . w -I - ： F -二：-=一 * 一二士 二二 一亍：丄=齊”；一i.5j S Q = 5 new La） -產率值的第二個迭代： 丄品（叢）（0.1 4-0） EH 25 = -0.1 new （必） 2）= （1.5 - 0.2）田 2.5 - -L3 new Z（2） 丄訛（亦）（ ? + 0） S 0 = 0 new L（d） 厶h） = （0-2 L4） 9 0 = 0 new L（dj 我們注意到，在這種情況下，震蕩的 值第二次迭代后等于第一次迭代后的 值。因此, 進一步的迭代不會有

16、任何性能上的改善。軟輸出的可能值計算公式為： Ld） = Lc（x） + 厶h + 因此，我們得到： Z（dj） = 1.5-04-0.2 - 1.2 “込） = 0 1.3 + T-2 丄（必）.2 + 0-14 = J.2 40.3 + 0 + 0 = 0.3 使用公式（8.111 ）的 MAP 判決公式，解碼器決定發送序列 +1-1-1 +1 是正確的。如果沒有 編碼，四個數據位中的兩個就會出錯。 8.13 考慮如圖 8.26 所示的兩個 RSC 編碼器的并行鏈接。交織器的分組大小為 10，將輸入 序列dk映射到dk，交織器的置換為6,3,8,9,5,7,1,4,10,2，也就是說，輸入

17、的第 1 比特映 射到位置 6，第 2比特映射到位置 3,等等。輸入序列為（0,1,1,0,0,1,0,1,1,0）。假設分量編 碼器開始于全零狀態，并且沒有強加的終止比特使其返回到全零狀態。 a） 計算 10 比特監督序列V1k。 b） 計算 10 比特監督序列 V2k。 C）開關對序列Vk執行穿插操作，使其為：V1k，V2（k+1），V1（k+2），V2（k+3），編碼效率為 1/2。 計算輸出碼字的重量。 d）以 MAP 算法進行譯碼，如果編碼器不終止，則初始化狀態量度和分支量度需要做 哪些改變？ a） 輸出校驗序列被賦值為 0,1,0,0,1,0,1,1,1,1 。在這個例子中，編碼器

18、不是被迫回到全 0 狀態，所以沒有尾巴位。 b） 輸入序列是根據模式插入的。根據給定的輸入序列和插入模式，插入序列 為 00,1,1,0,0,1,1, 0,1. c） 根據 a）、b）部分的兩個檢驗序列和震蕩模式，我們可以得到整個編碼的校驗序列。它是： 0,0,0,0,1,1,1,0,1,1 。 由給定的傳輸序列：0,1,1,0,0,1,0,1,1,0 。我們得到：總長度=數據序列長度+檢驗序列長 度=5+5=10。 d） 由于編碼器左未結束， 我們要改變反向狀態度量初始化的條件。 塊結束反向狀態指標都設 置為相同的值。即替代用值 1 僅代表全零的狀態和值 1 代表其他狀態。而且先驗中的最后一

19、 個分支度量特利斯概率都設置為 0.5，因為沒有可用的先驗信息。 8.14 a）對于圖 P8.1 所示的非遞歸編碼器，計算所有碼字的最小距離。 b） 對于圖 8.26 所示的遞歸編碼器， 計算所有碼字的最小距離。 假設沒有穿插操作， 編 碼效率為 1/2。 c） 對于圖 8.26 所示的編碼器，如果每個分量編碼器的輸入都是重量為 2 的序列 （000010010000 ），試討論它對輸出碼字重量有何影響。 d）假設重量為 2 的序列為（0001010000,重復 c）的討論。A ftk 圖 P8.1 非遞歸分量碼的編碼器 a) 雖然生成多項式對兩個組件代碼是相同的， 但是它們的最小距離不同，

20、因為第一部分的代 碼，數據和奇偶校驗位 被傳輸，而第二部分的代碼只有序列部分被傳輸。而 且我們不傳輸交錯數據位。最小長度為輸入序列的寬度 -1 (000. . . 000 1000 000).不管 怎么交錯選擇，具有重量 1 的輸入序列總是出現在第二個編碼器的輸入。在圖 P8.1 所示的 編碼器，分量碼有 3 個和 2 個最小距離。因此，整體的代碼將有一個最小距離等于 3 +2 = 5。 (b) 由于編碼已在 8.26 給出了，組件代碼有個遞推的表格。如果我們輸入無限長序列碼 1 進入組件代碼。 輸出的代碼為(0000001110110110110)。因此，對于輸入時無 限的編碼 1輸出也是無

21、限的。當碼 3 序列輸入已知時，最小的無限長的代碼的輸出碼字可以 求出。對于碼 3 輸入，輸出是(000000101000000 )。當碼 3 是交錯的，所以序列 3 的連續性受到破壞。因此，第二次編碼是不可能產生其他的最小輸出碼字。我們可以確定 的最小輸出碼字距離比最小碼字更有意義。 (c) 在 8.26，碼二序列被輸入到編碼器中，輸出地編碼是( 000011110000 )。輸 出序列是自終止的，如果錯位沒有打亂(00 0 0 1 0 0 1 0 0 00),從第 二級的輸出編碼格式是(00 0 0 1 1 1 1 0 0 00)。最后的輸出地碼是 2 + 2(4)=10. (d) 碼二序

22、列(00001010000。輸出到編碼器中，輸出地是( 00 001101011011011011011)。輸出系列不是自終止的。如果錯碼器沒有打亂( 00 001010000。序列，兩個編碼器的輸出都將有很大的碼。 (c) (d)強調 turbo 碼重要的 方面以便錯碼器可以改變輸入序列。當數據輸入，輸出碼字將有更高比重。 8.15 考慮圖 8.25a 所示的用于 turbo 分量碼的編碼器。其 4 狀態網格圖如圖 8.25b 所示。編 碼效率為 1/2，分支上的標號 uv 分別表示每個輸出分支碼字， u表示數據比特(系統碼)，v 表示監督比特，每個時刻 k 傳輸一個數據比特和一個監督比特。

23、 從解調器接收到的信號在時 A ftk 刻 k=1 受噪聲干擾的 u, v 為 1.9, 0.7,在時刻 k=2 為-0.4, 0.8。假設數據比特為 1 或 0 的先 驗概率是相等的，而且編碼器開始于時刻 k=1 的全零狀態，并假設噪聲方差為 1.3。回顧 N 比特的數據序列是由 N 個轉移時間間隔和 N+1 個狀態來描述的。所以在這個例子中，數據 比特開始于時刻 k=1 和 2，我們感興趣的狀態度量在時刻 k=1, 2，3。 a) 計算用于 MAP 算法的時刻 k=1 和 k=2 的分支量度。 b) 計算時刻 k=1，2 和 3 的前向狀態量度。 c) 時刻 k=2 和 3 的后向狀態量度

24、由表 P8.1 給出。根據表中的值和 a)、b)中計算得到 的值，計算時刻 k=1 和 k=2 的各個數據比特的似然率。根據 MAP 判決準則求解最可能的數 據比特序列。 表 P8.1 小m 侏 k=2 k=3 m=a 4.6 2.1 m=b 2.4 11.5 m=c 5.7 3.4 m=d 4.3 0.9 00,10,01 和 11 分別代表 a,b,c,d 四個狀態。 使用在 8.25b 中所示的網格結構，我們計算度量科在 k=1 情況下。 g：=U)(Or)p(l/13)T(13)(_l) + (O/7)(_l) 0X)7 61 * 二(l)(0.5)exp(l/L3)(L9)(l) +

25、 (07)(1) = 3.69 1 編碼器在 a 狀態開始在 k=1 時，因此我們假設字母表上的其他均為 0 除了 a 為 1。在這兒我 們僅需要的值，其他的六個是不需要的。由于 =0,我們可以重復計算在 k=2 時， 離;=(1)(05) exp(l/l3)(74)( -1) - 8)(-1) = 0.37 鵡=(1)(05) exp(l/13)(04Xl)亠(0.8)(1) = 0,68 叫廣呵(1/13)(-0.4)( -1) + (0.8)(1) = 1,26 足=(1)(05) exp(l/L3(-0.4) + 8)(-1) = 0.20 (b)我們只需要的值，其他的四個不需要。由于

26、 =0.我們有下述的初始化條件： = 1 for 1; ab= ttjc= a/ = 0 for A： = 1 我們可以獲得下面的值在 k=2 時。度量科的計算使用公式 (8.140 )。我們假設=1,在任意 k 下。 二的經驗值是 1.5 對所有 k。 a g = a/8I0+a1c8l= ：(1)(0.07) = 0.07 eta = ct心嚴+af 6嚴= = (1)369) = 369 af = 5%嚴+00阿嘰 =0 , 壯一 a? 6嚴+af 6嚴; =0 在 k=3 時的近似值如下： ot3fl = a2-苛 ccf 62= 0.07)(037) = 0.03 ocf = a2c

27、 0十 a2fl 8? = (0.07)(0.68) = 0.05 a=0,我們選擇數據比特 1023 等價于二進制 1。 d 1023 由于 L( ? )0,我們選擇數據比特 1024 等價于二進制 0。 d 1024 下面的格子圖(有量度注釋)能夠簡化上面的計算。 層S3 報血科 8.18 給定兩個統計獨立的含噪信號的觀測值 xi和 X2,證明對數似然率(LLR ) L(d|xi,x2)可 由單個 LLR 表示為： L(d|xi,X2)=L(x i|d)+L(X2|d)+L(d) 這里 L(d)是數據比特 d 的先驗 LLR。 L (d | x) =log 單獨觀察和 L (d | , )

28、 =log 從方程(8.67 ),我們可以寫出對數似然比(LLR) L (d | x) =log+ log= L (d | x) + L (d) 運用貝葉斯公式，我們可以觀察到 P (d=j | ,= 和是獨立統計的，那么我們可以寫出 P (d=j | , 我們可以把對數似然比 LLR 寫成 L (d | , ) =log =log+ log+ log =L (| d) + L (| d) + L (d) 8.19 a)根據 Bayes 定理，描述式(8.129)和式(8.130b)中的變換 am的詳細步驟。提示： 采用形如式(8.121 )和(8.122)的簡單字母標號機制。 b) 解釋由式

29、(8.130a)中的狀態 m總和如何得到式(8.130b)的表達式。 c) 重復 a)詳細說明如何由式(8.133)推導出式(8.135)，并解釋由時刻 k+1 的狀態 m的總和如何得到式(8.135)的表達式。 (a) 從方程(8.129 ) A B C D E P(A,B,C,D | E)= X P( (b) 對所有從 0 到制定從狀態 m 到對應的輸入 j 的狀態的返回，得出方程(130b)。 P( 先前給予一個輸入 j 和狀態，完全定義了路徑這個狀態。 (c) 方程(8.133 ) A B C D E P(A,B,C,D | E)= X P（ 完全定義了路徑這下一個狀態,得出方程（8.

30、135 ）。 P（ 8.20 從式（8.139）的分支量度Ski,m開始，解釋推導出式（8.140）的詳細步驟，并指出哪些 項可以看作是式（8.140）中的常量 Ak，為什么式（8.141a）無 Ak項？ 起始于方程（8.139 ） =exp-d exp- d 考慮到指數項不同，我們有 exp-2+=exp-exp 對于第二項指數同樣地，我們得到 exp-exp 然后 exp- exp- exp 觀察= 1, = 1,然后 exp- exp- exp 在方程（8.140 ）中第一個三類項被定義為，而在方程（ 8.141a ）形成了項，它在分子分母 在都出現。 8.21 禾 U 用圖 8.27

31、所示的交織器（與編碼器的交織器相同）來確認 DEC1 的輸出序列與序列 y2k的時間順序是否相同。這能否以一種比較簡單的方式實現？在較低的線上使用解交織器 結果會如何？如果這樣做，那么可以去掉輸出端前面的兩個解交織器。 解釋不能這樣做的原 因。 8.22 在 Viterbi 譯碼算法的實現中，使用了相加 -比較-選擇（ACS 處理過程。但是在 turbo 譯碼的最大后驗概率（MAP）算法中不存在這種轉移之間的比較和選擇。 MAP 算法在每個 時間間隔結合了分支和狀態量度。解釋兩種算法之間存在這種差異的原因。 在維特比算法中，增加的比較選擇處理器展示了一種通過一個特定序列的一個解碼格子高效 率地

32、產生最大概似法途徑的技術。最大值推納 （MAP）算法，不同于維特比算法，能夠發現每 個信號時間間隔的似然比， 為了形成似然比，需要從此時刻起使用與那間隔時間相關分支的 所有統計信息 做最大值推納算法。其中所有的信息都不能丟失。 8.23 圖 P8.2 所示為遞歸系統卷積（RSC）編碼器，碼率為 1/2, K=4。注意此圖采用 1 比 特延遲單元而不是存儲單元（見 847.4 節）。所以電路的當前狀態可以用結點 ak-1，ak-2和 ak-3處的信號電平描述，類似于使用存儲單元時的狀態描述方式。構造一張類似于表 8.5 的 表格，指出電路所有可能的狀態轉移，并根據表格畫出對應的網格圖。 /） f

33、 - O |旳 圖 P8.2 遞歸系統卷積（RSC）編碼器，碼率 1/2，K=4 dk ak az a a uv 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 哪里的 V 是ak , ak2 ,和ak3的模數-2 集合？ 8.24 圖 P8.3 所示為遞

34、歸系統卷積（RSC）編碼器，碼率為 2/3, K=3。注意此圖采用 1bit 延 遲單元的表示形式而不是存儲單元（見 847.4 節）。構造一張類似于表 8.5 的表格，指出這 個電路所有可能的轉移，并根據該表格畫出對應的網格圖。利用類似于表 8.6 的表格，求出 信息序列 1100110011 的輸出碼字。每個時鐘周期，數據比特以 2 你，d2k的形式輸入電路， 每個輸出碼字dk, d2k，Vk由這一數據對和一個監督比特 Vk組成。 啟動狀態 輸入位 平價輸出 當前位 結束狀態 a 2 a k2 d1k d2k Vk = ak -2 +d 2k a k = d 1k +d 2k +V k a

35、k a k J + d 1k Vk 如 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 8.24(co ntd) STATE 00 BRANCH NOTATION d1k d2k / vx 01 10 11 00/0 序數 k 輸入比特 奇偶輸出 當前比特 k 時刻狀態 k+1 時刻結束狀態 d1k d2k Vk= ak-2 +d2k ak=d1k +d2k+Vk ak-1 ak-2 ak ak-1 +d1k+Vk 1 1 1 1 1 0 0 10 2 0 0 0 0 1 0 01 3 1 1 0 0 0 1 01