1、一、向量的基本概念學習必備歡迎下載平面對量學問點小結1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和數量的區分. 向量常用有向線段來表示.留意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例 1已知 a 1,2 ， b4,2，就把向量 ab 按向量 a 1,3 平移后得到的向量是 .結果： 3,02. 零向量 ：長度為0 的向量叫零向量，記作：0 ，規定：零向量的方向是任意的；3. 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與ab 共線的單位向量是4. 相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；ab）；| ab |5. 平行向量（也叫共線向量）

2、：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，記作：a b ，規定： 零向量和任何向量平行.注：相等向量肯定是共線向量，但共線向量不肯定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！ （由于有 0 ；三點 a、b、c 共線ab、ac 共線 .6. 相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量記作a .舉例 2如以下命題：（ 1）如 | a | | b | ，就 ab .（ 2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（ 3）如 abdc ，就 abcd 是平行四邊形 .（

3、 4）如 abcd 是平行四邊形，就abdc .（ 5）如 ab ， bc ，就 ac .（ 6）如 a / /b ， b / /c 就 a / / c . 其中正確選項.結果：（4）（ 5）二、向量的表示方法1. 幾何表示 ：用帶箭頭的有向線段表示，如ab ，留意起點在前，終點在后；2. 符號表示 ：用一個小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3. 坐標表示 ：在平面內建立直角坐標系，以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i ,j為基底，就平面內的任一向量 a 可表示為axiyj x, y，稱 x, y 為向量 a 的坐標， ax, y 叫做向量 a 的坐標表示 .結論：假如向

4、量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.三、平面對量的基本定理定理設 e1, e2 同一平面內的一組基底向量，a 是該平面內任一向量，就存在唯獨實數對 1 ,2 ，使 ae1122e.（1）定理核心：a1 e12e2 ；（2）從左向右看，是對向量a 的分解，且表達式唯獨；反之，是對向量a 的合成 .（ 3）向量的正交分解：當e1 ,e2 時，就說a1e12 e2 為對向量 a 的正交分解舉例 3（ 1）如 a1,1 ， b1, 1 ， c 1,2 ， 就 c.結果： 1 a3 b .22（ 2）以下向量組中，能作為平面內全部向量基底的是ba. e10,0， e21, 2b.e1 1

5、,2， e25,7c. e13,5 ， e26,10d. e12, 3 ， e21 , 3（ 3）已知 ad , be 分別是 abc 的邊 bc ， ac 上的中線 , 且 ada ， beb , 就 bc 可用向量24a, b 表示為.結果： 2 a4 b .（ 4）已知 abc中，點 d 在 bc 邊上，且 cd332db ， cdrabsac ，就 rs的值是.結果： 0.四、實數與向量的積實數與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規定如下：（ 1）模： |a | | | a |；（ 2）方向：當0 時，a 的方向與 a 的方向相同， 當0 時，a 的方向與 a 的方向相

6、反， 當0 時，a0 ，留意：a0 .五、平面對量的數量積1. 兩個向量的夾角：對于非零向量a ， b ，作 oaa，obb ，就把aob0 稱為向量 a ， b 的夾角 .當0 時， a ， b 同向；當時， a ， b 反向；當時， a ， b 垂直 .22. 平面對量的數量積：假如兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數量| a | b | cos叫做 a 與 b 的數量積（或內積或點積） ，記作： a b ，即 a b| a | | b | cos.規定：零向量與任一向量的數量積是0.注：數量積是一個實數，不再是一個向量.舉例 4（ 1） abc 中， | ab | 3 ， |

7、 ac | 4 ， | bc | 5 ，就 ab bc .結果：9 .（ 2）已知 a1,1， b20, 12， cakb ， dab ， c 與 d 的夾角為，就 k .結果： 1.4（ 3）已知 | a | 2 ， | b | 5 ， a b3 ，就 | ab | .結果：23 .（ 4）已知 a,b 是兩個非零向量，且| a | | b | | ab | ， 就 a 與 ab 的夾角為 .結果： 30 .3. 向量 b 在向量 a 上的投影：| b | cos，它是一個實數，但不肯定大于0.舉例 5已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 a b學習必備歡迎下載12 ，就向量 a

8、在向量 b 上的投影為 .結果： 12 .54. a b 的幾何意義 ：數量積 a b 等于 a 的模 | a | 與 b 在 a 上的投影的積 .5. 向量數量積的性質：設兩個非零向量a ， b ，其夾角為，就：（ 1） aba b0 ；（ 2）當 a 、 b 同向時， a b| a | | b | ，特殊地，a2a a| a |2| a |a2 ；a b| a | | b | 是 a 、 b 同向的 充要分條件 ；當 a 、 b 反向時， ab| a | | b| ， a b| a | | b| 是 a 、 b 反向的 充要分條件 ；當為銳角時，a b當為鈍角時，a b0 ，且 a 、 b

9、 不同向， a b 0 ，且 a 、 b 不反向； a b0 是為銳角的 必要不充分條件；0 是為鈍角的 必要不充分條件.（ 3）非零向量a ， b 夾角的運算公式：cosa b； a b| a | b | a | b | .舉例 6（ 1）已知 a ,2 ， b3 ,2 ，假如 a 與 b 的夾角為銳角，就的取值范疇是 .結果：4 或0 且1 ；33（ 2）已知 ofq 的面積為 s ，且 offq1 ，如 1s3 ，就 of ， fq 夾角的取值范疇是 .結果：,；22（ 3）已知 acos x ,sin x ， bcos y ,sin y ，且滿意 | kab |3 | akb | （其

10、中 k0 ）.4 3k 211用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此時a 與 b 的夾角的大小 .結果： a b六、向量的運算1. 幾何運算（ 1）向量加法運算法就：平行四邊形法就；三角形法就. k0 ；最小值為4k，60 .2運算形式：如aba ， bcb ，就向量ac 叫做 a 與 b 的和，即 ababbcac ；作圖：略 .注：平行四邊形法就只適用于不共線的向量.（ 2）向量的減法運算法就：三角形法就.運算形式：如aba ， acb ，就 ababacca ，即由減向量的終點指向被減向量的終點.作圖：略 .注：減向量與被減向量的起點相同.舉例 7（ 1）化簡： abbcc

11、d； abaddc； abcd acbd .結果： ad ； cb ； 0 ；（ 2）如正方形 abcd 的邊長為 1， aba ， bcb ， acc ，就 | abc |.結果： 2 2 ；（ 3）如 o 是 abc 所在平面內一點，且滿意obocoboc2oa ，就 abc 的外形為 .結果：直角三角形；（ 4）如 d 為 abc 的邊 bc 的中點， abc 所在平面內有一點p ，滿意pabpcp0 ，設 | ap | pd |，就的值為.結果： 2；（ 5）如點 o 是 abc 的外心，且oaobco0 ，就 abc 的內角 c 為.結果： 120 .2. 坐標運算 ：設 a x1

12、, y1 ， b x2 , y2 ，就（ 1）向量的加減法運算： ab x1x2 , y1y2 ， ab x1x2 , y1y2 .舉例 8（ 1）已知點a2,3 ，b5,4， c7,10 ，如apabac r ，就當 時，點 p 在第一、三象限的角平分線上.結果： 1 ；2（ 2）已知a 2,3 ， b1,4 ，且 1 ab2sin x ,cos y ， x, y, ，就 xy.結果：或；2 262（ 3）已知作用在點a1,1 的三個力f13,4 ， f22, 5 ， f33,1 ，就合力ff1f2f3 的終點坐標是.結果： 9,1 .（ 2）實數與向量的積：ax1, y1 x1 ,y1 .

13、（ 3）如a x1 , y1 ， bx2 , y2 ，就 ab x2x1 , y2y1 ，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.舉例 9設 a2,3 ， b 1,5 ， 且 ac1 ab ， ad33ab ，就 c, d 的坐標分別是 .結果：1,11, 7,9 .3（ 4）平面對量數量積： a bx1x2y1 y2 .舉例 10已知向量 asin x,cos x ， bsin x,sin x ， c 1,0 .（ 1）如 x，求向量 a 、 c 的夾角；3（ 2）如 x3, ，函數f x 1a b 的最大值為，求的值 . 結果：（ 1） 150 ；（ 2） 1 或

14、21 .84（ 5）向量的模 ： a 2| a |2x2y 22| a |2x2y2 .舉例 11已知 a,b 均為單位向量，它們的夾角為60 ，那么 | a3b |.結果：13 .（ 6）兩點間的距離：如a x , y ， bx , y ，就 | ab | xx 2 yy 2 .11222121舉例 12如圖，在平面斜坐標系xoy 中，xoy學習必備歡迎下載60 ，平面上任一點p 關于斜坐標系y的斜坐標是這樣定義的：如opxe1ye2 ，其中e1 ,e2 分別為與 x 軸、 y 軸同方向的單位向量，就 p 點斜坐標為 x , y .（ 1）如點 p 的斜坐標為 2, 2 ，求 p 到 o 的

15、距離 | po | ；（ 2）求以 o 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標系xoy 中的方程 .60結果：（ 1） 2；（ 2） x2七、向量的運算律y2xyox1 0 .1. 交換律： abba ，a a ， a bb a ；2. 結合律：abc ab c ， abcabc ， aba b ab ；3. 安排律： aaa ， ab ab ， ab ca cbc .舉例 13給出以下命題：a bc a ba c ；a b ca b c ；ab 2| a |22| a | b | | b |2 ； 如 a b0 ，就 a0 或 b0 ；如 a bc b 就 ac ； | a |2a 2 ；a bb

16、； a b 2a2 b2； ab 2a22 a bb2 .其中正確選項.結果： .a 2a說明：（ 1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區分：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除 相約 ；（ 2）向量的“乘法”不滿意結合律，即八、向量平行 共線 的充要條件a b c a bc ，為什么？a / /bab2 a b2| a | b |x1 y2y1x20 .舉例 14 1如向量 a x,1 ， b4, x ，當 x 時， a 與 b 共線且方向相同 .結果： 2.（ 2）

17、已知 a1,1 ， b4, x ， ua2b ， v2ab ，且 u / /v ，就 x.結果： 4.（ 3）設 pak ,12 ， pb4,5， pc10,k ，就 k 時， a, b ,c 共線 .結果：2 或 11.九、向量垂直的充要條件aba b0| ab| | ab |x1 x2y1 y20 .特殊地abacabac.| ab | ac | ab | ac |舉例 15 1已知 oa 1,2， ob3, m ，如 oaob ，就 m.結果： m3 ；2（ 2）以原點 o 和 a 4,2為兩個頂點作等腰直角三角形oab ，b90，就點 b 的坐標是.結果： 1,3 或（ 3， 1） ；

18、（ 3）已知 na ,b 向量 nm ，且 | n | | m | ，就 m的坐標是.結果： b,a) 或 b, a .十、線段的定比分點1. 定義：設點p 是直線p1p2 上異于p1 、 p2 的任意一點，如存在一個實數，使p1ppp2，就實數叫做點 p分有向線段p1p2 所成的比， p 點叫做有向線段p1p2 的以定比為的定比分點 .2. 的符號與分點p 的位置之間的關系（ 1） p 內分線段p1 p2 ，即點 p 在線段p1 p2 上0 ；（ 2 ） p 外分線段10 .p1 p2時，點p 在線段p1p2的延長線上1 ，點p 在線段p1 p2的反向延長線上注： 如點 p 分有向線段p1p

19、2 所成的比為，就點p 分有向線段p2 p1 所成的比為1 .舉例 16如點 p 分 ab 所成的比為 34，就 a 分 bp 所成的比為.結果：7 .33. 線段的定比分點坐標公式：xx1x2 ,設 p1 x1, y1 ， p2 x2 , y2 ，點 px, y分有向線段p1 p2 所成的比為，就定比分點坐標公式為11 .特殊地，當1時，就得到線段p1 p2 的中點坐標公式x1x2x,2y1y2y.1yy1y2 .2說明：（ 1）在使用定比分點的坐標公式時，應明確 x, y ， x1 , y1 、 x2 , y 2 的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標.（ 2）在詳細運算時應依據題設條件，

20、敏捷地確定起點，分點和終點，并依據這些點確定對應的定比.舉例 17（ 1）如 m 3, 2， n 6, 1 ，且 mpmn ，就點 p 的坐標為.結果：137 6, ；3（ 2）已知a a ,0 ， b3,2a ，直線 y1ax 與線段 ab 交于 m ，且 am22mb ，就 a.結果：或4 .十一、平移公式假如點p x, y 按向量ah,k 平移至p x ,y ，就x xh,y yk.；曲線f x, y0 按向量ah, k平移得曲線f xh, yk0 .學習必備歡迎下載說明：（ 1）函數按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊！舉例 18（ 1）按向量 a 把 2, 3 平移到 1, 2 ，就按向量 a 把點 7,2 平移到點 .結果： 8,3 ；（ 2）函數 ysin 2x 的圖象按向量 a 平移后，所得函數的解析式是ycos2 x1 ，就 a .結果： ,1 .4十二、向量中一些常用的結論1. 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要留意運用；2. 模的性質：| a | b | a（ 1）右邊等號成立條件：（ 2）左邊等號成立條