1、§ 2-7邊界約束的處理一、邊界約束 由于總體剛度矩陣是一個奇特矩陣，在求得總剛矩陣和總體載荷列陣之后，仍不能立刻求解整體節點平穩方程組；從數學上講，此時的總剛矩陣無逆矩陣，方程組沒有確定的解；從其物理意義來說，是由于整個結構未引入邊界約束，為一自由結構，對于一個定常力系的作用，沒有定常的位移；因此，為進一步解得結構位移，必需引入足夠的幾何邊界約束，以排除結構的剛體位移；對于同一結構， 在受相同載荷的條件下，由于不同的邊界約束，求得的結構位移、應力等會大不相同；因此，引入正確的邊界條件是獲得較高精度解的前提； 依據結構的實際情形，離散顯現的邊界約束大致可分為如下三種：1基礎剛性支承大

2、多數結構要支承在基礎上；當基礎的剛性很大時，依據不同的支承類型，可以認為結構和基礎相連的節點的一個或幾個方向的自由度受到了限制，即位移重量為零；如一簡支梁，可以認為其支承點處的一個或二個方向的位移重量為零；2對稱結構的對稱部分支承當結構和外載荷均對稱于某些軸線時，為削減工作量或提高運算精度，可只運算結 構的 1/2或 1/4 ；此時，為保持原有結構特性，要在對稱剖分面的節點上施加垂直于剖分面的剛性約束，以限制該方向的位移；如軋機機架；3答應產生給定位移的支承由于結構本身或安裝的需要，在支承和結構之間存在給定的間隙，在結構受到實際約束之前，此節點處答應產生該距離的位移；如高爐下降管的余外支承；

3、從數學意義上來講，上述三種支承 幾何約束 可以歸納為零位移約束和給定位移約束二種，而前者就又是后者的一個特例；二、邊界約束的處理依據邊界約束的類型及后續處理方法和要求的不同，邊界約束處理大致采納如下方法：1. 劃行劃列法 這種方法適用于預定邊界位移為零的約束條件；1 具體做法： 在用矩陣表示的線性方程組中，劃去相應于己知為零的節點位移重量的行和列，以排除剛度位移；如圖 2-13所示的單元組合體，其邊界條件為u1u 2u4v4v5v60 ，足以排除結構的剛體位移； 處理時，就是將以上各為零位移重量相應的行與列劃掉，這樣，原先 12 階的線性方程組及其 12× 12 階的總體剛度矩陣，就

4、變成了 6 階的線性方程組及其 6× 6 階的總體剛度矩陣，即k11k 21k 31k310k 22k 32k 32k 52k 33k 33k 53對k 33k 53稱k 55v1r1 yv20u30v40u5000k 63k 63k 65k 66u60 這樣約束處理是必要的；（ 1）由于總體剛度矩陣在約束處理前是一個奇特矩陣，而經過約束處理劃掉某幾行和幾列后變為非奇特矩陣，即約束處理后的總體剛度矩陣的行列式不等于零；（ 2）另外，假如不進行約束處理，那么包括在總體節點載荷列矩陣中的約束反力必需事先求出，作為已知節點載荷；然而，對于外形較復雜一點的單元組合體，在高次超靜定情形下，約束

5、反力很難求出；經過約束處理后，在劃去總體節點位移列矩陣與總體剛度矩陣中相應于已知節點位移重量為零行與列的同時，總體節點載荷列矩陣中未知的約束反力的行也都被劃掉；這樣一來，無論次數多高的超靜定問題，約束反力都不必事 先求出； 這種約束處理也是可行的；（ 1）由于線性方程組是由各節點平穩方程建立起來的，而方程組的未知量就是節點位移重量，那么受約束的節點有一個或兩個位移重量已知為零，就不必再去求它，因此該節點的一個或兩個平穩方程就可不要，即可以把它們所在的行劃去；（ 2）同時， 在其它方程中， 與已知零位移重量和相應的載荷重量，即相應剛度矩陣元素和此位移的乘積也為零，所以該列也可劃去；由此可見 ，劃

6、行劃列的約束處理方法是完全可行的，并不影響運算結果； 劃行劃列約束處理使總體剛度矩陣發生了兩個變化：（ 1）總體剛度矩陣的階數下降；如單元組合體有n 個節點和r 個約束， 就總體剛度矩陣在約束處理前為2n× 2n 階，約束處理后變為2n-r2n-r階；（ 2）總體剛度矩陣的奇特性發生變化；約束處理前是奇特矩陣；約束處理后變為非奇 異性矩陣； 而對總體剛度矩陣的對稱性，稀疏性和帶形分布等特性并無影響；由2于約束處理時在劃去某行的同時劃去同序號的列，所以總體剛度矩陣仍保持其對稱性；另外一般單元組合體的r/2n比值是很小的，所以約束處理后總體剛度矩陣仍保持稀疏性和帶形分布的特點； 經過約束

7、處理后，所建立起來的線性方程組的個數與要求解的未知節點位移重量的個數都是 2n-r個； 特點：這種處理方法，由于舍棄了相應于已知位移重量為零的行與列各元素，這樣就轉變了各方程及元素的編排序號；另外，如是求出各節點位移 之后，需運算約束反力，就需重新運算相應行中各剛度矩陣元素；以上二點是利用此法在編寫程序時要留意的；2. 劃 0 置 1 法 適用： 這種方法適用于邊界節點位移重量為已知 含為 0 的各種約束； 做法：（ 1）將總剛矩陣 k中相應于已知位移行主對角線元素置1，其他元素改為零；同時將載荷列陣r中相應元素用已知位移置換；這樣，由該方程求得的此位移值肯定等于已知量；（ 2）將 k中已知位

8、移相應的列的非主對角成元素也置0，以保持 k的對稱性；當然， 在已知位移重量不為零的情形下，這樣做就轉變了方程左端的數值，為保證方程成立， 須在方程右端減去已知位移對該方程的奉獻已知位移和相應總剛元素的乘積；如約束為零位移約束時，此步就可省去； 舉例：為具體說明，現舉一具有四個方程 二個節點 的簡例；其節點平穩方程為k 11k 11k 12k 12k11k11k12k12k 21k 21k 22k 22k 21k 21k 22k 22u1r1 xv1r1 yu2r2 xv2r2 y設結構在1 點受到約束u 1=1 ,v1 =2 ，就上式中r1 x 、 r1 y 為未知的約束反力；利用劃 0 置

9、 1的約束處理方法，上式變為00k 22k 22u21000u10100v1r2 x12k 211k 21 200k 22k22v2r2 yk211k 21 23 特點：（ 1）經以上處理同樣可以排除剛性位移 約束足夠的前提下 ，去掉未知約束反力；（ 2）但這種方法不轉變方程階數，利于存貯；（ 3）不過，如是要求出約束反力，仍要重新運算各個劃去的總剛元素；3. 乘大數法 適用： 這種方法同樣適用于邊界節點位移重量為已知 含為 0 的各種約束； 做法：（ 1）將整體剛度矩陣中與給定節點位移相應的主對角線元素乘上一個大數，如10 20 ；（ 2）再將方程右端載荷列陣中的相應元素用己知位移和該大數及

10、主對角線元素的乘積來置換；其余各項均保持不變； 舉例：如上例用此法進行約束處理后，節點平穩方程組變成20k 111020k11k 12k12u11 k 111020k11k111020k12k12v12 k1110k 21k 21k21k21k 22k 22k 22u2k 22v2r2 xr2 y 特點：（ 1）使用此一方法，只要大數選得足夠大，就可保證求得的位移有足夠的精度；（ 2）由于在處理過程中，不失去總剛矩陣的任一行 列 及各個元素， 便于進行程序處理及約束反力運算；小結：經過約束處理，最終建立了系數矩陣正定的2n-r階 劃行劃列法 或是 2n 階 劃零置 1 法和乘大數法 方程組；三

11、、后續工作 下一步 即求解此方程組，最終獲得2n-r個未知的位移重量； 線性方程 的解法有直接法和和迭代法兩大類：直接法的優點是運算量比較小，所需機時短，其中常用的為消元法和矩陣分解法；迭代法具有算法簡潔，易編制程序，可節約內存等優點，適用于求解大題目，但運算時間較長，這種方法要求方程組的系數矩陣在主對角線上占優勢；4四、總結前面各節， 我們對平面問題的三節點三角單元有限單元的位移法，進行了比較具體的爭論與分析，下面就將其概括歸納幾點如下：(1) 基本原理；是把連續彈性體離散為有限個節點連接起來的單元組合體， 代替原先的彈性體， 然后通過彈性力學基本方程與虛功原理建立并求解以節點位移 為未知量

12、的、以總體剛度矩陣 k 為系數的線性方程組；(2) 解答特點是近似數值解；誤差主要反映在連續彈性體的離散化 包括單元位移函數的選取 上，但當單元尺寸逐步取小時，有限單元法解答將收斂于正確解答；(3) 解題步驟；依據有限單元法基本原理和實際操作，概括地分為兩大步驟：一是連續彈性體的離散化，其中包括單元劃分，節點單元的編號，節點坐標位置， 載荷移置和約束處理 邊界條件 等，這些工作都需算題人員在上運算機算題之前完成，所以也可稱為上機前的預備工作；二是依據基本原理建立與求解線性方程組k = r；將求得的2n-r個節點位移重量，再代入2-18式，即可求得各單元的應力重量；經過兩次遞代九步循環解出節點位移及單元應力等，這些工作是按己編制好的程序由運算機來完成，也可稱為上機運算；現將有限單元法解題步驟歸納起來用框圖表示如下；平面問題的有限單元法，仍會遇到一些其他問題，如溫度應力等等，其處理方法， 將在以后章節中間續介紹；5上機前預備工作1. 建立數學模型2. 單元劃分3. 載荷移置4. 約束簡化兩次迭代、 十一步循環： 1 單元節點位移 e 作為未知量， 第一次迭代過程建立線性方程并求解；e2 單元節點位移 作為已知量， 其次次迭代過程求解單元位移、應變、應力及約束反力等其它參數；單元位移模式幾何方程u x, y 12 x3 y