1、_ 誠信應考 ,考試作弊將帶來嚴重后果！華南理工大學期末考試號微積分（上）試卷 A位座（試卷號： 2013.1.10時間 120 分鐘，總分100）線 注意事項： 1.考前請將密封線內填寫清楚；2.所有答案請直接答在試卷上( 密封線裝訂區內、草稿紙上答題均無效) ；3考試形式：閉卷；4.本試卷共五 大題，滿分100 分， 考試時間 120分鐘 。題 號一二三四五總分得 分業評卷人一、填空題（每小題 4 分， 20 分）專1寫出數列xn以常數 a 為極限的N 定義： 對所有0，存在 N0 ，當 nN 時 有 xna)f 2f 2 1封1x2設 f1f18題 2 ，則 limx答 x0院不 ey3

2、方程 y1 xey 確定了隱函數 yyx ，則 dydx學 內y1 xe線 封 x311密 4設 f x ，且f t dtx ，則 f 712(021x2 dx5.1042 二、計算下列各題（每小題5 分，共 15 分）6、設數列xn 滿足： 0x1，且 xn 1sin xnn1,2,。證明： lim xn 存在，并求n號 出此極限學密因 為 0x1， 設 0 xk1, k 1 解， 所 以0x2sin x11， 則20xs ixn由數1學歸納法得0x1, n1 ，從而數列 xn有界；k 1kn名姓又 xn1xnsin xnxn0 ，從而數列xn是一個單調減少的有界數列。根據單調有界準則 li

3、mxn 存在，設 limxnl 。則 lim xn 1limsinxnlim xnl ，即 sin ll ，得 l0 ，nnnnn即 limxn0n7、求極限 lim11x2sin2 xx0解原式lim sin 2 xx2lim sin 2 xx2（等價無窮小替換）x0x2 sin 2 xx0x4limsin xxsin xxlimsin xxsin xxsin x xxx3xlimx32limx3x0x0x0x 02limsin xxcos x12limsin x10x32lim3x26x3xx0x08、求極限 limnnn222nn1n2nn解limnnn1111222lim222nn1n

4、2n nnn112n1n1nn1n1111111 1lim22dxn k 1k0 1 x1 x 02 1 2n1n三、 解答下列各題（每小題5 分，共 20分）9、已知 y3x2xsin x ，求 dyx23dx解ln y1 lnx21 lnx23ln xln sin x36從而 y112112x1cos xy3 x6 x23xsin xy1x31cot x3x2xsin x3 x 23 x2xx2310、設 fxx2 sin x cosx ，求 y 20130解fx122x s i n 2x，由萊布尼茨公式f 2013x1x2sin 2x20132013 2 xsin 2x20122013

5、20122sin 2x201122f020132012sin 2x201120132012 22011 sin2x201120132x022x 02013 201222011 sin503 2120132012 22010sin12013 2012 2201022211、設 yy x 由參數方程xln1x2確定，求 dyytarctan tdxdx2tdy1t 2dydyt 21 t 2t解2 ,12，從而dtdxdt1 tdt1 t21 tdx1 t22t2dt12、寫出 fxxex 帶有拉格朗日型余項的n 階麥克勞林公式xx1xx1x2x解,f xex ex e f xex ex e從而發

6、現 f nxnxex ， f n1 xexnxexn1x exf 00, f 01, f 02, , f n 0n ，由公式 fxf0f0xf0x2f n0xnfn1 !xn 1 得1!2!n!nxxx2x31xnn1e xn1,在 0與 x 之間。xe2!n1 !n1 !四、 計算下列各題（每小題5 分，共 10分）13、計算1dx1 cos x解11dx1cos x dx1cos x dxcsc2 xcsc x cot x dxcos x1cos2 xsin 2xcot xcsc xc14、xarctan x dx1x2解令 xtan t, tarctan x ，則xarctan x dx

7、t tan tsec2 tdtt tan t sectdttd sect1x21tan2 tt sectsectdtt sectln secttan tc ，由輔助三角形 sect1 x2原式1 x2 arctanx ln1 x2xc五、解答下列各題（每小題5 分，共15 分）、設fx在,連續，且 fxf x , x,0 。證明f x dx 0150證分段積分 f x dxf x dx fx dx00對f x dx 進行換元， 令 xt ，則 dxdt x ,時 t0 ，x t, x 0 時 t，0從 而fx d xf， 由已 知f xf x , x,0， 即t d t00ftft ,t0 ,

8、，進而 fx dxf tdtfxdx000因此fxdxfx dxfx dxfx dxfxdx0000ln216、計算ex1dx0解 令tx1 ，則21 , dx2tdt , x ln 2時 t1 ， x0 時 t0 ；ex ln t1 t2ln212t11則ex1dx t2 dt 212 dt2tarctant001 t01te ln x117、判別廣義積分xdx 的斂散性11e解 x1eln x 11 ln x 1e ln x 1為瑕點，xdx1x1dxxdx1111ee12 12042e ln x 1e lnx 1lim 1 ln 2 x 1elim 1dxdxln 2 e 1 ln 21

9、 x 11x 10 210 2e ln x 1從而dx發散，因此原式發散1x1六、解答下列各題（每小題5 分，共 10 分）18、求由 yex1, x ln3 和 y0 所圍成的平面圖形繞x 軸旋轉一周所得的旋轉體的體積解yex1,xl n 交3點為 ln3,2， yex1, y0 交點為 0,0 ， y0, xln3 交點為 ln3,0，分清邊界曲線的上下左右，作圖（略）ln3ex2ln3e2 x2ex1 e2 x2exln3V1 dxx1 dx00201e2ln32eln3ln31e02e001eln92 3396ln33ln322222219、求雙扭線 r 2a2 cos 2 在圓 x2

10、y2a2內部的圖形的面積。2解由轉化公式 xr cos, yr sin，得圓 x2y2a2的極坐標方程為r 2a2，從而22雙扭線 r 2a2 cos2與圓 r 2a2的交點處2a2 cos 2a2,cos 21 ,2,，交點6, a2關于極軸對稱，22362分析圖形周期性、變化趨勢與對稱性，作圖（略）從而看出 S 461a2d402261 a2 cos 2 d2a26 a2 sin 24sinsina213a20662326七、證明題（每小題5 分，共 10分）120 、 設 f x 在0,1 上 可 微 ， 且 f20,1，使1 2xfx dx 。 試 證 ： 存 在0ff01211證由積分中值定理，2xf xdx 2f02f,0,02從而 1 f 1f 1f,1 也形成了一個區間。令 F xxfx ，由已知 Fx ，在區間,1 上連續， 在,1內可導， 又 FF 1 ，由羅爾定理，得存在存在,10,1，使 F0，即ff021、設 fx函數在閉區間a, b 上連續，證明： f x在閉區間a,b 上存在原函數x證 由于 fx函數在閉區間a,b上連續，可設xf x,dx xa baxxxxx由于從