1、第1課導數的概念及其運算考情展望1.利用導數的幾何意義求曲線在某點處的切線方程.2.考查導數的有關計算一、導數的概念1函數yf(x)在xx0處的導數：(1)定義：稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義：函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)相應地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2函數f(x)的導函數：稱函數f(x) 為f(x)的導函數二、基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)xn(

2、nQ*)f(x)n·xn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、導數的運算法則1f(x)±g(x)f(x)±g(x)；2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)導數的運算法則特例及推廣(1)af(x)bg(x)af(x)bg(x)，其中a，b為常數(2)(f(x)0)(3)導數的加法與減法法則，可由兩個可導函數推廣到任意有限個可導函數的情形，即u(x)±v(x)&#

3、177;±(x)u(x)±v(x)±±(x)1某汽車的路程函數是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，則當t2 s時，汽車的加速度是()A14 m/s2B4 m/s2 C10 m/s2 D4 m/s22函數yxcos xsin x的導數為()Axsin x Bxsin xCxcos x Dxcos x3已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于()Ae2 BeC. Dln 24曲線yx311在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是()A9 B3C9 D155(2013·江西高考)若曲線yx1(R)在點(1,2)處的切線經過坐標

4、原點，則_.6(2013·廣東高考)若曲線ykxln x在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k_.考向一 036導數的計算求下列函數的導數：(1)yexsin x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y. 對點訓練求下列函數的導數：(1)y(1)；(2)y3xexln xe.考向二 037導數幾何意義的應用設函數f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值規律方法21.切點(2，f(2)既在切線上，又在曲線f(x)上，

5、從而得到關于a，b的方程組.,2.在求切線方程時，應先判斷已知點Q(a，b)是否為切點，若已知點Q(a，b)不是切點，則應求出切點的坐標，其求法如下：(1)設出切點的坐標P(x0，y0)；(2)解方程組求出切點坐標；(3)利用點斜式寫出切線方程.對點訓練已知f(x)ln x，g(x)x3x2mxn，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切于點(1,0)(1)求直線l的方程；(2)求函數g(x)的解析式易錯易誤之四求切線方程“在”、“過”兩重天1個示范例1個防錯練已知曲線yx3上一點P，求過點P的切線方程(2014·蘭州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切

6、，則a等于()A1或B1或C或 D或7第2課導數的應用(一)考情展望1.利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間.2.利用導數求函數的極值與閉區間上的最值.3.借助導數求參數的范圍一、函數的導數與單調性的關系函數yf(x)在某個區間內可導，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個區間內單調遞增；(2)若f(x)0，則f(x)在這個區間內單調遞減；(3)若f(x)0，則f(x)在這個區間內是常數函數導數與函數單調性的關系f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)內單調遞增(或遞減)的充分不必要條件；f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)內單調遞增(或遞減)的必要不充分條件(f(

7、x)0不恒成立)二、函數的極值與導數1函數的極小值與極小值點：若函數f(x)在點xa處的函數值f(a)比它在點xa附近其他點的函數值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左側f(x)<0，右側f(x)>0，則a點叫函數的極小值點，f(a)叫函數的極小值2函數的極大值與極大值點：若函數f(x)在點xb處的函數值f(b)比它在點xb附近其他點的函數值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左側f(x)>0，右側f(x)<0，則b點叫函數的極大值點，f(b)叫函數的極大值，極大值和極小值統稱為極值f(x0)0同x0是f(x)極值點的關系f(x0)0是x0為f(x)的極值點的非充分非

8、必要條件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點；又如f(x)|x|，x0是它的極小值點，但f(0)不存在三、函數的最值與導數1函數f(x)在a，b上有最值的條件：如果在區間a，b上函數yf(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值2求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟：求函數yf(x)在(a，b)內的極值將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值極值同最值的關系極值只能在定義域內取得(不包括端點)，最值卻可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端

9、點處取必定是極值1函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f(x)在(a，b)內的圖象如圖2111所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內有極小值點()圖2111A1個B2個C3個 D4個2當x0時，f(x)x的單調減區間是()A(2，) B(0,2)C(，) D(0，)3函數f(x)x2ln x的最小值()A. B1C不存在 D04設函數f(x)xex，則()Ax1為f(x)的極大值點Bx1為f(x)的極小值點Cx1為f(x)的極大值點Dx1為f(x)的極小值點5(2013·浙江高考)已知函數yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數yf(x)的圖象如圖2112所示，則該

10、函數的圖象是()圖21126(2013·福建高考)設函數f(x)的定義域為R，x0(x00)是f(x)的極大值點，以下結論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點Cx0是f(x)的極小值點Dx0是f(x)的極小值點考向一 038利用導數研究單調性(2014·福州模擬)已知函數f(x)ax(aR)(1)當a時，求函數f(x)的單調區間；(2)若函數f(x)在1,1上為單調函數，求實數a的取值范圍規律方法11.求可導函數單調區間的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域(定義域優先)；(2)求導函數f(x)；(3)在函數f(x)的定義域內求不等式f(x

11、)0或f(x)0的解集；(4)由f(x)0(f(x)0)的解集確定函數f(x)的單調增(減)區間.若遇不等式中帶有參數時，可分類討論求得單調區間.,2.由函數f(x)在(a，b)上的單調性，求參數范圍問題，可轉化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問題，要注意“”是否可以取到.對點訓練已知函數f(x)xln x(aR)(1)求函數f(x)的單調區間；(2)若函數f(x)在(1，)上單調遞增，求a的取值范圍考向二 039利用導數研究函數的極值(2013·福建高考)已知函數f(x)xaln x(aR)(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數f(x)的極

12、值規律方法21.本例在求解時，常因忽略函數的定義域(0，)，而忘記討論參數a0的情形.2.可導函數yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側與右側f(x)的符號不同.特別注意，導數為零的點不一定是極值點.3.若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值.對點訓練(1)(2012·重慶高考)設函數f(x)在R上可導，其導函數為f(x)，且函數y(1x)f(x)的圖象如圖2113所示，則下列結論中一定成立的是()圖2113A函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數f(x)有極大值f(2)和

13、極小值f(1)C函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)(2)(2012·江蘇高考改編)已知a，b是實數，1和1是函數f(x)x3ax2bx的兩個極值點求a和b的值；設函數g(x)的導函數g(x)f(x)2，求g(x)的極值點；考向三 040利用導數研究函數的最值(2014·廣州模擬)已知函數f(x)xln x，(1)求函數f(x)的極值點；(2)設函數g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函數g(x)在1，e上的最小值(e2.718 28)規律方法31.本例(2)中區間確定，但函數解析式不確定，因此應討論每個極值點與區間

14、的關系，求解時可畫出每一類情況的大致圖象，數形結合求解.2.求函數f(x)在a，b上的最值的步驟如下：(1)求f(x)在(a，b)內的極值；(2)將f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.對點訓練已知函數f(x)ln x.(1)若a0，試判斷f(x)在其定義域內的單調性；(2)當a2時，求f(x)的最小值；(3)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值規范解答之三利用導數解答函數的最值利用導數解答函數最值的一般步驟：第一步：利用f(x)0或f(x)0求單調區間；第二步：解f(x)0得兩個根x1x2；第三步：比較兩根同區間端點的大小；第

15、四步：求極值；第五步：比較極值同端點值的大小1個示范例1個規范練(12分)(2013·廣東高考)設函數f(x)(x1)exkx2(kR)(1)當k1時，求函數f(x)的單調區間；(2)當k時，求函數f(x)在0，k上的最大值M.【名師寄語】1.求函數的單調區間，轉化為解不等式f(x)0和f(x)0，考查了轉化與化歸思想.2.判斷函數在給定區間0，k上的單調性，需要考慮f(x)0的根和區間端點的大小，求函數的最大值，需要比較f(0)和f(k)的大小，都考查了分類討論思想的應用.3.比較區間端點k和函數f(x)的零點ln(2k)的大小及ek與k2k1的大小時，均構造了函數，并借助導數解決

16、，需要較強的分析問題和解決問題的能力.已知函數f(x)(xk)ex，(1)求f(x)的單調區間；(2)求f(x)在區間0,1上的最小值第3課導數的應用(二)考情展望1.利用導數解決生活中的優化問題.2.導數與方程、函數零點、不等式等知識交匯命題，綜合考查分析問題和解決問題的能力考向一 041導數在方程(函數零點)中的應用(2014·長沙模擬)已知函數f(x)ex(x2axa)，其中a是常數(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若存在實數k，使得關于x的方程f(x)k在0，)上有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍規律方法11.在解答本題(2)時應判斷f(

17、x)f(0)是否成立，這是容易忽視的地方2該類問題的求解，一般利用導數研究函數的單調性、極值等性質，并借助函數圖象，根據零點或圖象的交點情況，建立含參數的方程(或不等式)組求解，實現形與數的和諧統一對點訓練(2014·威海模擬)設f(x)ln x.(1)求f(x)的單調區間；(2)求f(x)的零點個數考向二 042導數在不等式中的應用(2013·遼寧高考)(1)證明：當x0,1時，xsin xx；(2)若不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立，求實數a的取值范圍規律方法21.本例第(1)問不等式的證明利用構造函數法，通過導數證明，考查簡單的轉化化歸能力，第(2

18、)問的兩種解法都對轉化化歸能力進一步升級考查，法一利用第一問的結論進行轉化，法二通過構造函數，兩次利用導數轉化.,2.對于該類問題，可從不等式的結構特點出發，構造函數，借助導數確定函數的性質，借助單調性或最值實現轉化.對點訓練設a為實數，函數f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調區間與極值；(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1.考向三 043導數與生活中的優化問題(2013·重慶高考)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大規律方法3利用導數解決生活中優化問題的一般步驟,(1)分析實際問題中各量之間的關系，構造出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系yf(x)，并根據實際意義確定定義域；,(2)求函數yf(x)的導數f(x)，解方程f(x)0得出定義域內的實根，