1、二、第二類換元法二、第二類換元法第二節一、第一類換元法一、第一類換元法機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 換元積分法 第四章 第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(根本思緒根本思緒 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設, )()(ufuF)(xu可導,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(那么有一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.,)(有原函數設uf,)(可導xu那么有換元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也稱配元法即xxxfd)()(, 湊微分法湊微分法)機動

2、目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau那么,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 當當1m時bxaxdCbxaaln1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 22)(1d1axxa例例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)

3、(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 類似Caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 常用的

4、幾種配元方式常用的幾種配元方式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬能湊冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (

5、dxCx ln21ln21機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例7. 求求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例9. 求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結果一樣機動 目

6、錄 上頁 下頁 前往 終了 xxsin11sin1121例例10. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P196 例16 )機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 222d)(2123xa

7、x例例11. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C機動

8、 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例13. 求求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(x

9、exe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 分析分析: 例例15. 求求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )()(xfxf小結小結常用簡化技巧:(1) 分項積分:(2) 降低冪次:(3) 一致函數: 利用三角公式 ; 配元方法(4)

10、 巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如思索與練習思索與練習1. 以下各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了

11、 xxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作業 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、第二類換元法二、第二類換元法機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 第一類換元法處理的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(xu假設所求積分xxxfd)()(易求,那么得第二類換元積分法 .難求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 設設)(tx是單調可導函數 , 且,0)(

12、t)()(ttf具有原函數 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函數是其中txxt證證:的原函數為設)()(ttf, )(t令 )()(1xxF那么)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 那么有換元公式例例16. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122

13、atttcossin22sin2axaxa22機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例17. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xa1C例例18. 求求. )0(d22aaxx解解:,時當ax 令, ),0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatant

14、tdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 22ax axa,時當ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 闡明闡明:被積函數含有22ax 時, 除采用1shch22tt采用雙曲代換taxsh消去根式 , 所得結果一致 . ( 參考書上 P204-P205 )taxch或22ax 或機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 三角代換外, 還可利用

15、公式原式21) 1(22ta221a例例19. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 那么txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0時當 x42112tta Cata2223) 1(23當 x 0 時, 類似可得同樣結果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 小結小結:1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxs

16、h,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 第四節講xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 常用根本積分公式的補充 (P203)(7) 分母中因子次數較高時, 可試用倒代換 ,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24

17、(22Caxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P203 公式 (20) )機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例20. 求求例例21. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P203 公式 (23) )例例22. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x(P203 公式 (22) )2521xCx512arcsin機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例23. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexa

18、rcsin(P203 公式 (22) )例例24. 求求.d222axxx解解: 令令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ttttd)1(12132例例25. 求求.2) 1(d23xxxx解解: 原式原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例16 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索與練習思索與練習1. 以下積分應如何換元才使積分簡便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 知知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 兩邊求導兩邊求導, 得得)(5xfx,12xx那么1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原變量代回原變量) 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 作