1、第第1章章 量子力學(xué)簡介量子力學(xué)簡介基本概念基本概念1量子量子:量子力學(xué)的研究對象量子力學(xué)的研究對象2能量量子化能量量子化:量子能量具有的特殊性量子能量具有的特殊性3波函數(shù)波函數(shù)(定態(tài)定態(tài)):量子運動狀態(tài)的表征量子運動狀態(tài)的表征(最為根本最為根本)定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程量子力學(xué)與統(tǒng)計物理的關(guān)系量子力學(xué)與統(tǒng)計物理的關(guān)系1量子力學(xué)決定能級量子力學(xué)決定能級2統(tǒng)計物理決定分布統(tǒng)計物理決定分布 222d2dV xEmx不確定關(guān)系及應(yīng)用不確定關(guān)系及應(yīng)用定態(tài)定態(tài)情況下情況下時變時變情況下情況下例例1 氫原子的電子如果在軌道上氫原子的電子如果在軌道上,且位置確定了且位置確定了,則則它的動量就完全不確定。

2、它的動量就完全不確定。r0=x=0.053nm 解解其中其中=1/137=1/137,稱為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。稱為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。2xx p h2t E h2/1.24nm keV6.3511keV 0.053nm/137phxhcppmcx例例2 一個一個10g小球以小球以10cm/s速度運動速度運動,小球的瞬間小球的瞬間位置確定得相當(dāng)精確位置確定得相當(dāng)精確,如如x=10-4cm,求它的動量求它的動量不確定度。不確定度。 解解 例例3 求束縛粒子求束縛粒子(x=r)的最小平均動能的最小平均動能Ek。解解 2724256.6 10g cm /s /10 cm/6.6 1010 10g cm/sphxp

3、p222xxxxppppxr平均hh222/3xxppp 三維下平均平均22K23028pEmmr平均h例例4 電子不能落入電子不能落入(即束縛于即束縛于)核內(nèi)。核內(nèi)。解解 隨著電子離核越來越近隨著電子離核越來越近,它將從原子尺度它將從原子尺度 (0.1nm)過渡到原子核尺度過渡到原子核尺度(fm,即即10-15m),依照不依照不確定關(guān)系確定關(guān)系,電子的平均動能將越來越大。電子的平均動能將越來越大。 例如例如,電子的運動范圍從電子的運動范圍從0.1nm到到3fm時時,它的平它的平均動能約從均動能約從1eV量級增大到量級增大到0.1GeV量級。量級。結(jié)論結(jié)論 動能增加動能增加8個數(shù)量級是不可能的

4、個數(shù)量級是不可能的,即電子不會落入即電子不會落入原子核。原子核。 例例5 譜線的自然寬度。譜線的自然寬度。解解 在光譜線系中在光譜線系中,如果與某譜線對應(yīng)的兩條能級如果與某譜線對應(yīng)的兩條能級(狀狀態(tài)態(tài))都有確定的能值都有確定的能值,那么在它們之間發(fā)生的躍遷那么在它們之間發(fā)生的躍遷就會給出一確定的譜線就會給出一確定的譜線,原則上就是一條線。但原則上就是一條線。但是是,電子要從某一條能級往下躍遷電子要從某一條能級往下躍遷,電子在這條能電子在這條能級上必有一定壽命級上必有一定壽命。按照不確定關(guān)系。按照不確定關(guān)系,這條能級這條能級必定存在相應(yīng)的寬度。因此必定存在相應(yīng)的寬度。因此,譜線不可能是幾何譜線不

5、可能是幾何線線,而是有個寬度而是有個寬度,即譜線的自然寬度。假定原子即譜線的自然寬度。假定原子中某激發(fā)態(tài)的壽命為中某激發(fā)態(tài)的壽命為t=10-8s,則則 156888197 1010eV3.3 10 eV222 103 10cEttc hh薛定諤方程薛定諤方程對象與方程對象與方程 牛頓第二定律關(guān)于質(zhì)點牛頓第二定律關(guān)于質(zhì)點;波動方程關(guān)于連續(xù)介質(zhì)波動方程關(guān)于連續(xù)介質(zhì); 薛定諤方程是關(guān)于量子的！薛定諤方程是關(guān)于量子的！定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 一維形式一維形式 三維形式三維形式 222d2dV xEmx2222222, ,2V x y zEmxyz定態(tài)薛定諤方程的說明定態(tài)薛定諤方程的說明1.它是基

6、本方程它是基本方程,不能由第一性原理推出。不能由第一性原理推出。2.勢函數(shù)勢函數(shù)V(x,y,z)至關(guān)重要至關(guān)重要,它決定了方程的解。它決定了方程的解。3.因為是定態(tài)方程因為是定態(tài)方程,因此薛定諤方程的波動屬性看因此薛定諤方程的波動屬性看不出來。定態(tài)波動方程就是駐波方程。不出來。定態(tài)波動方程就是駐波方程。4.式左的兩項分別為動能和勢能式左的兩項分別為動能和勢能,式右為總能量。式右為總能量。5.薛定諤方程的解薛定諤方程的解(x)與它的共軛復(fù)數(shù)的乘積表與它的共軛復(fù)數(shù)的乘積表示量子在空間區(qū)域出現(xiàn)的概率密度示量子在空間區(qū)域出現(xiàn)的概率密度,因此因此 的全空間積分為的全空間積分為1,這稱為歸一化這稱為歸一化

7、: xx d1Vxx一維無限深勢阱中的粒子一維無限深勢阱中的粒子1.薛定諤方程薛定諤方程 勢函數(shù)為勢函數(shù)為 方程形式方程形式2.薛定諤方程的通解薛定諤方程的通解 000,xaV xxxa 22222d02/dxkxkmEx sin000,Akxxaxxxa3.薛定諤方程的特解與能級薛定諤方程的特解與能級 由邊界條件可得由邊界條件可得特解特解(歸一化之后歸一化之后)能級表達(dá)式能級表達(dá)式 1, 2,3,0kann 2sin01, 2,3,00,nxxaxnaaxxa222n21, 2,3,2nEnma一維無限深勢阱解的分析一維無限深勢阱解的分析1.隨著隨著n的變化的變化,這類量子可以有無限多種運動

8、形這類量子可以有無限多種運動形式式,在第在第n種形式下種形式下,量子的能量為量子的能量為En,能量量子化能量量子化是束縛粒子的基本特性。是束縛粒子的基本特性。2.相鄰能級差并不均勻相鄰能級差并不均勻,隨著隨著n的增加的增加,En增大。增大。3.能量量子化與勢阱寬度能量量子化與勢阱寬度a有關(guān)有關(guān),當(dāng)當(dāng)a較大時較大時,能級差能級差小到可以視為連續(xù)。小到可以視為連續(xù)。說明說明: 該解的具體波函數(shù)形式該解的具體波函數(shù)形式,很可能很可能并不重要并不重要,因為此因為此時波函數(shù)決定的運動形態(tài)不是關(guān)注的重點。時波函數(shù)決定的運動形態(tài)不是關(guān)注的重點。例例 丁二烯的離域效應(yīng)。丁二烯的離域效應(yīng)。解解 右圖為該分子結(jié)構(gòu)

9、。右圖為該分子結(jié)構(gòu)。其中其中4個個電子由電子由定域定域到離域到離域的計算如下：的計算如下： E1lll(a)定域(b)離域CCCCCCCC3l22( )1222 148ahEEml2222( )122 12 2108 (3 )9bhhEEm l 22n28n hEma一維有限深勢阱一維有限深勢阱勢函數(shù)表達(dá)式勢函數(shù)表達(dá)式薛定諤方程薛定諤方程1.勢阱內(nèi)勢阱內(nèi):與無限深情況一致與無限深情況一致,解為正弦函數(shù)解為正弦函數(shù)2.勢阱外勢阱外:解為指數(shù)函數(shù)解為指數(shù)函數(shù),且在邊界上連續(xù)且在邊界上連續(xù) 0,/ 2,/ 2axaV xVxa22222 ()ddaam VEkxh,/2( ),/2aak xk xA

10、 exaxA exa 無限深與有限深勢阱：波函數(shù)對比無限深與有限深勢阱：波函數(shù)對比說明說明:經(jīng)典力學(xué)中當(dāng)經(jīng)典力學(xué)中當(dāng)E1稱為類氫問題稱為類氫問題,它與它與Z=1的氫原子沒有原則的氫原子沒有原則差異差異;3.習(xí)慣上稱習(xí)慣上稱l=0的電子為的電子為s電子電子; l=1的電子為的電子為p電電子子; l=2的電子為的電子為d電子電子; l=3的電子為的電子為f電子電子;4.角量子數(shù)角量子數(shù)l反映電子軌道運動的形狀反映電子軌道運動的形狀;5.磁量子數(shù)磁量子數(shù)m反映電子軌道運動的角度反映電子軌道運動的角度; 6.兩個重要參數(shù)兩個重要參數(shù):(1)-13.6eV是氫原子基態(tài)能級是氫原子基態(tài)能級;(2)a0=0

11、.053nm,稱玻爾半徑稱玻爾半徑,是是(rR10)2的極大值的極大值波函數(shù)的圖形波函數(shù)的圖形 1s,2s,3s的徑向波函數(shù)的徑向波函數(shù)(沒有角度部分沒有角度部分)000/1,0,01s30/22,0,02s3002/33,0,03s230001124 2127 18281 3r araraeareaarreaaa徑向波函數(shù)圖形徑向波函數(shù)圖形1.右圖為概率密右圖為概率密度度(波函數(shù)乘共波函數(shù)乘共軛函數(shù)軛函數(shù)),再乘再乘r2 ,表示關(guān)于表示關(guān)于球面的球面的概率密度概率密度。2.主量子數(shù)越大主量子數(shù)越大,電子云更加遠(yuǎn)離電子云更加遠(yuǎn)離原子核。原子核。波函數(shù)的角度部分波函數(shù)的角度部分1.p電子波函數(shù)表

12、達(dá)式電子波函數(shù)表達(dá)式2.直角坐標(biāo)下直角坐標(biāo)下 ,1,0,1,1,1, 1cossincossinsinnnnf rrf rrf rr ,1,0,1,1,1, 1nnpznnpxnnpyf rzf rxf rynpz波函數(shù)波函數(shù)(角度部分角度部分)的圖示的圖示1.函數(shù)函數(shù)(角度部分角度部分)表達(dá)式表達(dá)式:2.圖形示意圖形示意3.“啞鈴啞鈴”的含義的含義徑向長度正比于該方向的概率密度徑向長度正比于該方向的概率密度,即即cosY22cosY3d電子的特征電子的特征(簡介簡介)1.徑向伸展更遠(yuǎn)徑向伸展更遠(yuǎn),節(jié)點更多節(jié)點更多(與與s,p電子相比電子相比)2.角度部分有角度部分有5個獨立函數(shù)個獨立函數(shù)(p

13、電子只有電子只有3個個)3.3d與與4s之間的關(guān)系非常復(fù)雜之間的關(guān)系非常復(fù)雜rO4s3d多電子原子結(jié)構(gòu)多電子原子結(jié)構(gòu)分析思路分析思路 通過簡化通過簡化,綜合所有其他電子對某一個電子的作用。綜合所有其他電子對某一個電子的作用。屏蔽效應(yīng)屏蔽效應(yīng) 某一個電子除受到核的吸引外某一個電子除受到核的吸引外,還受到其它電子的排斥還受到其它電子的排斥,綜合結(jié)果好象核電荷數(shù)綜合結(jié)果好象核電荷數(shù)Z減去某一數(shù)值減去某一數(shù)值,稱為屏蔽系稱為屏蔽系數(shù)。數(shù)。 的取值規(guī)則的取值規(guī)則 (1)當(dāng)層數(shù)差當(dāng)層數(shù)差2時時,=1; (2)當(dāng)層數(shù)差當(dāng)層數(shù)差=1、被屏蔽電子為、被屏蔽電子為s或或p時時,=0.85; 當(dāng)層數(shù)差當(dāng)層數(shù)差=1、

14、被屏蔽電子為、被屏蔽電子為d或或f 時時,=1。徐光憲規(guī)則徐光憲規(guī)則 (1)對原子的外層電子對原子的外層電子,n+0.7l 數(shù)值越大數(shù)值越大,能級越高。因能級越高。因此原子中的能級順序是此原子中的能級順序是: 1s2s2p3s3p4s3d4p5s4d5p6s4f (2)對離子對離子(指正離子指正離子)的外層電子的外層電子,n+0.4l 數(shù)值越大數(shù)值越大,能級能級越高。因此離子中的能級順序是越高。因此離子中的能級順序是: 1s2s2p3s3p3d4s4p4d5s4f5p5d 例例 求金屬求金屬K的的4s能級能級,K的原子序數(shù)為的原子序數(shù)為19。解解 4s原能級為原能級為 總屏蔽系數(shù)總屏蔽系數(shù)有效

15、核電荷數(shù)有效核電荷數(shù)實際的實際的4s能級能級22224s13.6/13.6 19 /4306.9eVEZn 2 . 28 .1619ZC8 .16885. 0101224s13.6/3.74.8eVEC 核外電子分布核外電子分布1泡利不相容原理泡利不相容原理 同一原子中同一原子中,由三個量子數(shù)決定的某一軌道上由三個量子數(shù)決定的某一軌道上,最多只允許兩個電子最多只允許兩個電子,且自旋必須相反。且自旋必須相反。 2能量最低原理能量最低原理 在不違反泡利不相容原理的前提下在不違反泡利不相容原理的前提下,電子優(yōu)先電子優(yōu)先占據(jù)能量占據(jù)能量(能級能級)較低的軌道。較低的軌道。3洪特規(guī)則洪特規(guī)則(簡介簡介)

16、 簡并軌道上的電子簡并軌道上的電子,將盡可能占據(jù)不同軌道將盡可能占據(jù)不同軌道,且且自旋平行。自旋平行。例如例如:2p軌道上如有軌道上如有3個電子個電子,將分將分別占據(jù)別占據(jù)3個個2p軌道軌道,而不是空出而不是空出1個個2p軌道。軌道。第第1章作業(yè)章作業(yè)21.2.1(1)電子的軌道運動使其動量有什么特點？電子的軌道運動使其動量有什么特點？(2)電子軌道運動的電子軌道運動的角動量大小與哪一個量子數(shù)有關(guān)？具體是什么關(guān)系？角動量大小與哪一個量子數(shù)有關(guān)？具體是什么關(guān)系？1.2.2定態(tài)薛定諤方程解中的概率密度定態(tài)薛定諤方程解中的概率密度,與物質(zhì)的存在是什么關(guān)系？與物質(zhì)的存在是什么關(guān)系？請以氫原子中的電子為

17、例進(jìn)行說明。請以氫原子中的電子為例進(jìn)行說明。1.2.3請比較一維無限深勢阱、一維諧振動和氫原子這三個問題中的請比較一維無限深勢阱、一維諧振動和氫原子這三個問題中的能級密度特點。能級密度特點。1.2.4求解氫原子波函數(shù)過程中求解氫原子波函數(shù)過程中,使用了哪些方法？引出了什么新概使用了哪些方法？引出了什么新概念？請簡要回答。念？請簡要回答。1.2.5隨著主量子數(shù)隨著主量子數(shù)n的增大的增大,氫原子波函數(shù)的徑向部分有什么特點？氫原子波函數(shù)的徑向部分有什么特點？1.2.6請用請用p電子軌道的電子軌道的“啞鈴啞鈴”形狀解釋石墨中大形狀解釋石墨中大鍵的強(qiáng)度鍵的強(qiáng)度(與與鍵做對比鍵做對比),以及石墨在導(dǎo)電性方

18、面與金屬的差異。以及石墨在導(dǎo)電性方面與金屬的差異。1.2.7已知氦原子的第一電離能為已知氦原子的第一電離能為24.6eV。欲使這個原子的兩個電。欲使這個原子的兩個電子逐一電離子逐一電離,外界需要提供多少能量？外界需要提供多少能量？ 1.2.8計算計算Cu的的1s電子平均半徑電子平均半徑,并與氫的并與氫的1s電子平均半徑對比？電子平均半徑對比？1.2.9徐光憲規(guī)則中徐光憲規(guī)則中,原子與離子的原子與離子的3d與與4s能級順序不同能級順序不同,請給予解釋。請給予解釋。 參考徐光憲參考徐光憲物質(zhì)結(jié)構(gòu)物質(zhì)結(jié)構(gòu) 力學(xué)量的算符力學(xué)量的算符1.算符的概念算符的概念算符就是運算符號，如算符就是運算符號，如/x、

19、=i/x+j/y+k/z2.力學(xué)量的算符力學(xué)量的算符量子力學(xué)中量子力學(xué)中,每一個力學(xué)量都與一個算符對應(yīng)每一個力學(xué)量都與一個算符對應(yīng),通過通過算符作用于波函數(shù)得到該力學(xué)量的平均值。算符作用于波函數(shù)得到該力學(xué)量的平均值。, , , , ,di, , , , ,di, , , , ,dixyzpx y z tx y z txpx y z tx y z typx y z tx y z tz力學(xué)量的算符力學(xué)量的算符3.各種力學(xué)量的算符各種力學(xué)量的算符動量算符動量算符動量分量算符動量分量算符動能算符動能算符總能量算符總能量算符(哈密頓算符哈密頓算符) iixyzpijk,iiixyzpppxyz22212

20、i2Tmm 22212i2HVVmm rr定態(tài)微擾理論定態(tài)微擾理論1.非簡并定態(tài)微擾論非簡并定態(tài)微擾論簡并度簡并度:同一能級上波函數(shù)的同一能級上波函數(shù)的個數(shù)個數(shù)稱為簡并度稱為簡并度非簡并非簡并:簡并度等于簡并度等于1稱為非簡并稱為非簡并基本假設(shè)基本假設(shè):(1)設(shè)不受擾動的哈密頓算符為設(shè)不受擾動的哈密頓算符為H0,其第其第n個本征態(tài)個本征態(tài)波函數(shù)為波函數(shù)為n n,對應(yīng)能量為對應(yīng)能量為n n 。它們均是已知的。它們均是已知的。(2)微擾微擾(即輕微擾動即輕微擾動)體現(xiàn)在已知算符體現(xiàn)在已知算符H上上,要求要求 HH0，H(n+1n+1-n n )目的目的:求解下式求解下式0nnnnnnHEHHE求解

21、思路求解思路:根據(jù)級數(shù)展開思想根據(jù)級數(shù)展開思想,設(shè)設(shè)數(shù)學(xué)中的例子：數(shù)學(xué)中的例子： 1201212012121200(1),(2),(3),nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEEEE其中：分別是波函數(shù)的一級,二級修正;則是相應(yīng)能級的一級,二級修正;,對應(yīng)未擾動 它們均已知2312!3!nxnxxxexo xn L求解思路求解思路(續(xù)續(xù)):根據(jù)上述假設(shè)根據(jù)上述假設(shè)解出解出:例例 一級關(guān)系式中的已知量與待求量。一級關(guān)系式中的已知量與待求量。解解 01021000000110021120nnnnnnnnnnnnnnnnnHHHHHEEEEEE 0000010011002102112

22、00:nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnHEHHHEEHHEEE 零級主量一級小量二級小量 00011:nnnnHHEE已知量、待求量、，因此可解。求解思路求解思路(續(xù)續(xù)):已知波函數(shù)的線性組合已知波函數(shù)的線性組合其中矩陣微擾元為其中矩陣微擾元為微擾能量的一級修正微擾能量的一級修正解釋解釋:能量一級修正等于微擾算符在未受擾動的狀能量一級修正等于微擾算符在未受擾動的狀態(tài)態(tài)n n中的能量平均值。中的能量平均值。 1(1)mnnmmmmmnmHCdmnmnHH 1dnnnnnEHH定態(tài)微擾理論定態(tài)微擾理論2.簡并定態(tài)微擾論簡并定態(tài)微擾論(簡介簡介)簡并的體現(xiàn)簡并的體現(xiàn):設(shè)不受擾動時哈密頓算符為

23、設(shè)不受擾動時哈密頓算符為H0,它的第它的第n個本征態(tài)個本征態(tài)能量為能量為E En n(0)(0),相應(yīng)的波函數(shù)為相應(yīng)的波函數(shù)為nini,其中其中i=1,2,k，k為能級為能級n的簡并度。的簡并度。求解思路求解思路:設(shè)微擾為設(shè)微擾為H,受到微擾的本征方程受到微擾的本征方程(薛定諤方程薛定諤方程)為為但由于但由于nini不是唯一的不是唯一的,因此先求零級波函數(shù)因此先求零級波函數(shù)n n(0)(0):0nnnnnnHEHHE 001kniniiC2.簡并定態(tài)微擾論簡并定態(tài)微擾論(續(xù)續(xù))系數(shù)系數(shù)Ci(0)的確定的確定:非零解條件非零解條件:結(jié)論結(jié)論:(1)簡并微擾中簡并微擾中,零級近似波函數(shù)由一級微擾確

24、零級近似波函數(shù)由一級微擾確定定;(2)久期方程久期方程k個實根如都不同個實根如都不同,一級微擾可完一級微擾可完全消除全消除k重簡并重簡并;(3)如有重根如有重根,簡并尚未完全消除。簡并尚未完全消除。 10111112112122211201, 2,d0klinliiilinlninknkkkkknHEClkHHHEHHHHEHHHHE 氫原子中的共價鍵氫原子中的共價鍵1.單體與雙體的差異單體與雙體的差異兩個運動著的對象兩個運動著的對象,薛定諤方程完全不同。薛定諤方程完全不同。勢函數(shù)勢函數(shù):動能算符動能算符:薛定諤方程薛定諤方程:222222012121214aabbeeeeeeVrrrrrR2

25、2222222222212122222221112222222ppMMMMxyzxyz 1222220MEV2.氫分子波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式氫分子波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式 =(x1,y1,z1;x2,y2,z2)=(r1;r2)3.氫原子波函數(shù)的物理意義氫原子波函數(shù)的物理意義 2d=2d1d2，它表示在空間位置，它表示在空間位置(x1,y1,z1)處的處的d1=dx1y1z1范圍內(nèi)找到電子范圍內(nèi)找到電子1,與在與在空間位置空間位置(x2,y2,z2)處的處的d2=dx2y2z2范圍內(nèi)同時范圍內(nèi)同時找到電子找到電子2的概率。的概率。4.氫原子波函數(shù)的求解氫原子波函數(shù)的求解基本思路基本思路:試探解試探解+變分法

26、變分法舉例舉例 假定有試探解假定有試探解,H=E,因此因此dddddHEEHE 因此：海特勒海特勒-倫敦法求氫分子波函數(shù)倫敦法求氫分子波函數(shù)1.變分函數(shù)變分函數(shù)=C1a(1)b(2)+C2a(2)b(1)庫倫積分庫倫積分1)核間排斥能核間排斥能+兩電子云排斥能兩電子云排斥能+電子受對方核的吸引能電子受對方核的吸引能;2)核間距較大時核間距較大時,第三項大于前兩項之和第三項大于前兩項之和,分子結(jié)合。分子結(jié)合。交換積分交換積分(交換指由交換指由a(1)b(2)到到a(2)b(1)。交換積分是量子力學(xué)。交換積分是量子力學(xué)所特有的所特有的,它使原子間結(jié)合成分子。它使原子間結(jié)合成分子。 22222212

27、212212 d d22 dabbaeeeKRrr 2121222111221d d222 d11 dababababaeJrer 海特勒海特勒-倫敦法求氫分子能量倫敦法求氫分子能量2.氫分子的系統(tǒng)總能量氫分子的系統(tǒng)總能量其中其中EH:孤立氫原子基態(tài)能量孤立氫原子基態(tài)能量J：總是負(fù)的總是負(fù)的HH22EEKJEEKJ 2121222111221d d222 d11 dababababaeJrer 例例 用不確定關(guān)系估算用不確定關(guān)系估算 氦原子基態(tài)能量。氦原子基態(tài)能量。解解設(shè)原子最大概率半徑為設(shè)原子最大概率半徑為R,則有則有根據(jù)不確定關(guān)系：根據(jù)不確定關(guān)系：因此基態(tài)能量為：因此基態(tài)能量為：零零dE/

28、dR=0,可得可得R=4a0/7,因此氦原子基態(tài)能量為因此氦原子基態(tài)能量為 E=-3.06e2/a0,而實驗值為而實驗值為-2.90e2/a0222212121211122eHemrrrpp121211111,2rrRrR222212/ R pp2221422eEHRR第第1章作業(yè)章作業(yè)31.3.1已知量子力學(xué)中坐標(biāo)的算符就是坐標(biāo)本身已知量子力學(xué)中坐標(biāo)的算符就是坐標(biāo)本身,請據(jù)此寫出量子的請據(jù)此寫出量子的x坐標(biāo)的平均值表達(dá)式坐標(biāo)的平均值表達(dá)式,并解釋其含義。并解釋其含義。1.3.2請根據(jù)教材中的角動量算符形式請根據(jù)教材中的角動量算符形式,寫出其分量寫出其分量Lx的表達(dá)式。請的表達(dá)式。請問角動量分

29、量算符是矢量算符嗎？問角動量分量算符是矢量算符嗎？1.3.3微擾理論中微擾理論中,第第n個能級的波函數(shù)與第個能級的波函數(shù)與第n級波函數(shù)是同一個概念級波函數(shù)是同一個概念嗎？請對它們進(jìn)行描述。嗎？請對它們進(jìn)行描述。1.3.4定態(tài)微擾理論的背景是什么？非簡并微擾的基本思路是什么？定態(tài)微擾理論的背景是什么？非簡并微擾的基本思路是什么？1.3.5請舉一個微擾的具體例子。請舉一個微擾的具體例子。1.3.6原子能級中原子能級中,3d與與4s的能級差為什么較??？的能級差為什么較小？1.3.7原子能級圖對于所有的原子都適用嗎？為什么？原子能級圖對于所有的原子都適用嗎？為什么？1.3.8庫倫積分的物理意義與庫侖定

30、律有什么關(guān)系？請結(jié)合庫侖積分庫倫積分的物理意義與庫侖定律有什么關(guān)系？請結(jié)合庫侖積分表達(dá)式具體說明。表達(dá)式具體說明。1.3.9氫分子形成共價鍵氫分子形成共價鍵,請問共價鍵主要與哪一種積分有關(guān)？請問共價鍵主要與哪一種積分有關(guān)？1.3.10寫出氦原子的定態(tài)波函數(shù)的形式寫出氦原子的定態(tài)波函數(shù)的形式,并解釋其含義。注意并解釋其含義。注意:氦原氦原子定態(tài)波函數(shù)是無法具體解出的。子定態(tài)波函數(shù)是無法具體解出的。1.3.11對于氫分子問題對于氫分子問題,S12=1 12 2dd=0 0在何時成立？其中的積分在何時成立？其中的積分是對于整個空間。是對于整個空間。1.3.12請分別解釋庫侖積分中三項的含義。請分別解

31、釋庫侖積分中三項的含義。1.3.13交換積分也有三項交換積分也有三項,其含義能仿照庫侖積分解釋嗎？其含義能仿照庫侖積分解釋嗎？1.3.14庫侖積分的第三項中庫侖積分的第三項中,包含電子與自身原子核的庫倫作用嗎？包含電子與自身原子核的庫倫作用嗎？為什么？為什么？第第2章章 晶體的結(jié)構(gòu)、衍射與結(jié)合晶體的結(jié)構(gòu)、衍射與結(jié)合晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 主要知識見材科主要知識見材科,本課程僅作必要補(bǔ)充。本課程僅作必要補(bǔ)充。晶體衍射晶體衍射 指外來射線投射指外來射線投射(入射入射)到晶體之后到晶體之后,晶體原子對它晶體原子對它們的們的散射散射的疊加。的疊加。晶體結(jié)合晶體結(jié)合 指晶體中原子指晶體中原子(分子分子)間的結(jié)

32、合間的結(jié)合,主要結(jié)合鍵分為金主要結(jié)合鍵分為金屬鍵屬鍵,離子鍵和共價鍵；一些較弱的結(jié)合鍵包括離子鍵和共價鍵；一些較弱的結(jié)合鍵包括氫鍵和范德華力。氫鍵和范德華力。晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)=空間點陣空間點陣+基元基元 空間點陣空間點陣數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象,是幾何點是幾何點,要求環(huán)境完全相同。要求環(huán)境完全相同?；挥陉圏c上的物質(zhì)位于陣點上的物質(zhì)(或物質(zhì)集團(tuán)或物質(zhì)集團(tuán))例例 金剛石金剛石;NaCl晶體與晶體與Cu晶體。晶體。解解金剛石金剛石與與NaCl屬屬復(fù)式格子復(fù)式格子;Cu晶體為晶體為簡單格子簡單格子。點陣矢量點陣矢量點陣中點陣中, 原點到某陣原點到某陣點的矢量點的矢量,通常稱為通常稱為點

33、陣矢量。點陣矢量。原胞原胞只含一個陣點只含一個陣點(或一個基元或一個基元)的晶胞。的晶胞。例如例如:簡單立方晶胞是原胞簡單立方晶胞是原胞;但面心立方晶胞但面心立方晶胞與體心立方晶胞等不是原胞。與體心立方晶胞等不是原胞?；富?描述一個描述一個原胞的原胞的三個點陣矢量。三個點陣矢量。例例 簡單立方基矢簡單立方基矢:體心立方基矢體心立方基矢:123,aaaai aj ak123222aaa aijkaijkaijk基矢概念的應(yīng)用基矢概念的應(yīng)用 設(shè)晶體中某一物理量設(shè)晶體中某一物理量(如靜電勢如靜電勢)為為V(r),晶晶體的三個基矢為體的三個基矢為a1, a2, a3，則有，則有其中其中l(wèi)1, l2

34、, l3為點陣坐標(biāo)為點陣坐標(biāo),它們都是整數(shù)。它們都是整數(shù)。 1 12233VlllV+ a + a + arr sin2sinnxx一個一個(靜止靜止)電子對電子對X射線的散射射線的散射成成經(jīng)典電磁學(xué)理論經(jīng)典電磁學(xué)理論 對于長入射波對于長入射波, 相對靜止的電子受到電磁相對靜止的電子受到電磁(橫橫)波波的周期力的周期力,做受迫振動做受迫振動;振動電子散射出同頻率的振動電子散射出同頻率的“球面球面”電磁波。電磁波。說明說明: 1球面波與平面波對應(yīng)球面波與平面波對應(yīng),但振幅隨距離增大衰減但振幅隨距離增大衰減 2球面波球面波波前波前呈球面呈球面;入射入射(橫橫)波通常是非偏振的波通常是非偏振的 3電

35、子相對靜止概念值得重視電子相對靜止概念值得重視;同時同時,能量也有相能量也有相對高低的概念對高低的概念(靜止靜止)電子對電子對X射線的散射強(qiáng)度射線的散射強(qiáng)度波波222e0221 1cos 22eIImcR康普頓效應(yīng)康普頓效應(yīng)1外層外層“自由電子自由電子”對于光子的非彈性散射對于光子的非彈性散射 要求同時滿足能量守恒與動量守恒要求同時滿足能量守恒與動量守恒,“自由電子自由電子”會被撞動會被撞動,散射波頻率小于入射波散射波頻率小于入射波2內(nèi)層束縛電子對于光子的彈性散射內(nèi)層束縛電子對于光子的彈性散射 內(nèi)層電子與原子核緊密結(jié)合內(nèi)層電子與原子核緊密結(jié)合,光子碰撞的是光子碰撞的是“光光子子-原子核原子核”

36、整體整體,因此只有彈性散射因此只有彈性散射3電子自由與否的相對性電子自由與否的相對性 取決于電子的結(jié)合能與光子能量的差異取決于電子的結(jié)合能與光子能量的差異康普頓效應(yīng)參考康普頓效應(yīng)參考:楊福家楊福家“原子物理學(xué)原子物理學(xué)”第第4版版P280異位電子散射相對于原點電子散射的相位差異位電子散射相對于原點電子散射的相位差息息 1.k0與與k稱為入射波矢與散射波矢稱為入射波矢與散射波矢,2.s稱為稱為散射矢量散射矢量:3. 2/ 是光程差換算為相位差的是光程差換算為相位差的“比例尺比例尺”02/ kk02ONMPkkrs r002sin4/sin skkk第第j 個電子個電子(波函數(shù)波函數(shù))在在k方向的

37、散射波合成振幅方向的散射波合成振幅 說明說明 1.不同相位波的疊加是兩個不同相位波的疊加是兩個 (同振幅同振幅)波在同一點處振幅波在同一點處振幅 的疊加。表示成強(qiáng)度為的疊加。表示成強(qiáng)度為原原 2.旁軸條件下旁軸條件下,點的疊加就是點的疊加就是“方向方向”的疊加的疊加 iedjjEEes rr121 2121 20022cos22cosiIIII I eIII III22/22/ax Da一個原子中所有電子的相干散射振幅疊加一個原子中所有電子的相干散射振幅疊加 原子散射因子原子散射因子分析分析1.很小的含義很小的含義2.很大的含義很大的含義 iiaee11ddZZjjjjEEEeEes rs r

38、rr iaedEfeEs rsr例例 證明基態(tài)氫原子的散射因子為證明基態(tài)氫原子的散射因子為:證明證明 原子散射因子定義為原子散射因子定義為1.對于基態(tài)氫原子對于基態(tài)氫原子,電子波函數(shù)是球?qū)ΨQ的電子波函數(shù)是球?qū)ΨQ的;2.取球坐標(biāo)且取球坐標(biāo)且球坐標(biāo)極軸取為球坐標(biāo)極軸取為s,則有則有結(jié)論結(jié)論:(1)s,a0越小越小,f越大越大;(2)f(s)與原子散射因子曲線吻合與原子散射因子曲線吻合 222016/ 4fas+ s idfes rsr2cosd2sin d ds rrr s r 0icos200202 /222203002sin d dsin4dsin4d16/ 4s rr aferrsrrrsr

39、ersrraasr srr+ s第第2章作業(yè)章作業(yè)12.1.1相對于材料科學(xué)基礎(chǔ)相對于材料科學(xué)基礎(chǔ),本課程關(guān)于晶體的知識中本課程關(guān)于晶體的知識中,哪些是新的并哪些是新的并且是重要的？且是重要的？2.1.2對比下式對比下式,能發(fā)現(xiàn)其中的空間變量能發(fā)現(xiàn)其中的空間變量r(或或x)的取值有什么特點？的取值有什么特點？2.1.3寫出面心立方的寫出面心立方的3個基矢表達(dá)式個基矢表達(dá)式(可參考可參考PPT中的體心立方基矢中的體心立方基矢表達(dá)式表達(dá)式)。2.1.4散射的經(jīng)典電磁理論中散射的經(jīng)典電磁理論中,為什么強(qiáng)調(diào)入射波為長波？為什么強(qiáng)調(diào)入射波為長波？2.1.5為什么說散射波是為什么說散射波是“球面波球面波”

40、？為什么最終仍然將散射波看成？為什么最終仍然將散射波看成是平面波？是平面波？ 2.1.6計算計算0.07nm的的X射線的能量射線的能量,并與石墨的外層電子結(jié)合能比較并與石墨的外層電子結(jié)合能比較2.1.7為什么用石墨做康普頓效應(yīng)實驗？如果不考慮價格為什么用石墨做康普頓效應(yīng)實驗？如果不考慮價格,用金剛石用金剛石可否？用可否？用Pb可能帶來哪些問題？可能帶來哪些問題？ 2.1.8 Cu電子結(jié)構(gòu)為電子結(jié)構(gòu)為1s22s22p63s23p63d104s1,請問各電子對于請問各電子對于Cu的的散射因子的貢獻(xiàn)有什么差異？為什么？散射因子的貢獻(xiàn)有什么差異？為什么？2.1.9原子散射因子原子散射因子原子序數(shù)原子序

41、數(shù),請問為什么？請問為什么？ 1 12233sin2sinVlllVnxxrr+ a + a + a2.1.10在晶體衍射實驗中在晶體衍射實驗中,要求測量點到晶體的距離必須遠(yuǎn)大于入射要求測量點到晶體的距離必須遠(yuǎn)大于入射線的波長。為什么？線的波長。為什么？2.1.11由圖由圖2.2.3,Cu比比C的原子散射因子衰減得更快的原子散射因子衰減得更快,請問為什么請問為什么?2.1.12教材中說教材中說:“由圖由圖2.2.3可見可見,當(dāng)所觀測的散射角一定下當(dāng)所觀測的散射角一定下,不同不同波長入射時隨的減小而很快減弱波長入射時隨的減小而很快減弱,即在同一散射角上即在同一散射角上,較短波長入較短波長入射時散

42、射振幅較小射時散射振幅較小”。請問為什么散射角相同時。請問為什么散射角相同時,短波被散射的短波被散射的可能性下降？可能性下降？單晶體對單晶體對X射線的衍射射線的衍射(本節(jié)中本節(jié)中)單晶體的含義單晶體的含義晶胞為原胞晶胞為原胞,三個方向上原子數(shù)為三個方向上原子數(shù)為N1,N2,N3任意一個陣點的描述任意一個陣點的描述原子間原子間相位差公式相位差公式 ( rQ是晶格矢量是晶格矢量) 這這123mnpraaa02()()QQONMQrkkrs晶體的衍射振幅公式晶體的衍射振幅公式例例 上式在一個原胞中的驗證。上式在一個原胞中的驗證。解解 原子坐標(biāo)原子坐標(biāo):(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),

43、(0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) 3123121111iiiicee0000NNNNpmnQmnpEfEefEeeeQrsa sa sa s3121323123121i 1i 0i 1i 1cee0iiiieNiQEfEefEeeeefEeeee Qr sa ssa sa sa a sa +a sa a +a sa a s續(xù)前續(xù)前312312312312121212111iiice000ii 0ii 0ii 0eii 0iiii 0ei 0iiieeNNNpmnmnpEfEeeefEeeeeeefEeeeeeefEeeeefE a sa sa s

44、a ssa ssa ssa ssa sa sa +asssa sa sa +as31323123iiiieeeea saasaasa +aas單晶體的衍射強(qiáng)度公式單晶體的衍射強(qiáng)度公式 等等3312123312123 31 12 2312ccc111111i-iii-i-iee000000iii-i22eiii111111NNNNNNppmnmnmnpmnpNNNNIE EfEeeefEeeeeeeef Eeee a sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa s3 31 12 2312-i-i-i-i-i22331122e1232221122322e22121111112

45、 2cos2 2cos2 2cos2 2cos2 2cos2 2cos111sinsinsin22211sinsin22NNeeeeeNNNf ENNNf Ea sa sa sa sa sa ss as as as as as as as as as a3231sin2s as a原子散射強(qiáng)度原子散射強(qiáng)度Ia與干涉函數(shù)與干涉函數(shù)I(s) Ia在任何情況下均不為零在任何情況下均不為零,問題的核心是問題的核心是I(s) 2221122332221232221a2b3c222abca1b2c3111sinsinsin222111sinsinsin222sinsinsinsinsinsin111222

46、NNNINNN其中：s as as ass as as as as as a22cea( )( )( )If E II Isss晶體衍射分析思路的小結(jié)晶體衍射分析思路的小結(jié)來來1.從單個靜態(tài)電子的散射開始從單個靜態(tài)電子的散射開始2.兩個靜態(tài)電子的散射之間的相位差關(guān)系兩個靜態(tài)電子的散射之間的相位差關(guān)系3.(單個單個)電子云的概率密度散射及疊加電子云的概率密度散射及疊加4.原子散射因子概念原子散射因子概念5.單晶體中不同原子的散射及疊加單晶體中不同原子的散射及疊加對入射波的要求：對入射波的要求：1.單色波單色波(頻率一致頻率一致);2.非偏振波非偏振波干涉函數(shù)干涉函數(shù)I(s)的性質(zhì)的性質(zhì)1主極大值

47、位置主極大值位置(以一維為例以一維為例) h為含零的整數(shù)為含零的整數(shù)2主極大值的數(shù)值為主極大值的數(shù)值為(N1)2ha=21aa1a1a12aaaadsindsincosdsincossindNNNNa1a22a1a111aaadsin2dcos2dcos2sin2dhNNNNN 3 (一維一維)干涉函數(shù)的形狀干涉函數(shù)的形狀 4主極大的寬度主極大的寬度(以以N1=5為例為例)解解 使下式為零的自變量為使下式為零的自變量為 p為正負(fù)整數(shù)為正負(fù)整數(shù),所求寬度對應(yīng)所求寬度對應(yīng)p=1,因此寬因此寬度為度為:5當(dāng)晶體原子數(shù)大于當(dāng)晶體原子數(shù)大于106,能量集中在主極大能量集中在主極大a201a2a1sin0

48、sinNphN1225N勞厄方程勞厄方程三維單晶體對應(yīng)的主極大條件三維單晶體對應(yīng)的主極大條件勞厄方程勞厄方程a1b2c3121212hkls as as a123222hkls as as a勞厄方程的倒格矢形式勞厄方程的倒格矢形式將勞厄方程三個式子分別乘以將勞厄方程三個式子分別乘以l1, l2, l3再相加可得再相加可得因此因此 根據(jù)倒格矢需滿足的條件可知根據(jù)倒格矢需滿足的條件可知,上式中的散射矢上式中的散射矢量量s一定是一定是倒格矢倒格矢。勞厄方程的解釋勞厄方程的解釋： 當(dāng)散射矢量當(dāng)散射矢量s滿足勞厄方程時滿足勞厄方程時,它一定是倒格矢它一定是倒格矢,而倒格矢而倒格矢s一定對應(yīng)正空間中的某

49、一晶面。一定對應(yīng)正空間中的某一晶面。1 122331232lllhlklllsaaa2l是整數(shù)s R勞厄方程的幾何意義勞厄方程的幾何意義 的幾何意義的幾何意義h=0時時,出射矢量出射矢量k構(gòu)成錐面構(gòu)成錐面,軸線為軸線為a1；h=1時時,出射矢量出射矢量k構(gòu)成另一錐面構(gòu)成另一錐面,軸線為軸線為a1；勞厄方程的幾何意義勞厄方程的幾何意義某一矢量某一矢量k同時存在同時存在于以于以a1、a2、a3為軸為軸線的線的,且滿足勞厄方且滿足勞厄方程的三個錐面內(nèi)。程的三個錐面內(nèi)。12hs a衍射線方向入射線方向O一維晶體的衍射花樣一維晶體的衍射花樣( (圖像圖像) )衍射錐衍射錐底片上衍射花樣底片上衍射花樣1.

50、入射線入射線晶軸晶軸2.入射線入射線底片底片二維晶體的衍射花樣二維晶體的衍射花樣( (圖像圖像) ) 衍射雙錐衍射雙錐 背面上的衍射花樣背面上的衍射花樣 1.1.二維點陣相互垂直二維點陣相互垂直 2.2.入射線入射線二維點陣二維點陣 3.3.入射線入射線底片底片三維晶體的衍射花樣三維晶體的衍射花樣( (圖像圖像) ) 衍射三錐衍射三錐 背面上的衍射花樣背面上的衍射花樣 1.1.晶體屬正交系晶體屬正交系 2.2.入射線入射線一個晶軸一個晶軸 3.3.入射線入射線底片底片衍射花樣衍射花樣( (圖像圖像) )規(guī)律規(guī)律1.單個原子的散射圖像單個原子的散射圖像 較為均勻的云霧狀圖像較為均勻的云霧狀圖像2

51、.一維晶體的衍射花樣一維晶體的衍射花樣 單錐背底片相截的雙曲線單錐背底片相截的雙曲線(特殊角度下為圓特殊角度下為圓)3.二維晶體的衍射花樣二維晶體的衍射花樣 雙錐相交的衍射斑點雙錐相交的衍射斑點4.三維晶體的衍射花樣三維晶體的衍射花樣 以上圖像均一定存在以上圖像均一定存在,但三維條件下衍射極大不一但三維條件下衍射極大不一定存在定存在,需要矢量散射需要矢量散射s滿足勞厄方程。滿足勞厄方程。5.衍射花樣中衍射花樣中,只能看到最明亮的線或斑點只能看到最明亮的線或斑點,其它由其它由于曝光于曝光的原因而無法觀察。的原因而無法觀察。第第2章作業(yè)章作業(yè)22.2.1衍射振幅公式針對理想單晶體。如果有位錯衍射振

52、幅公式針對理想單晶體。如果有位錯, 衍射振幅會怎樣衍射振幅會怎樣變化變化?2.2.2 Ia的自變量是什么？該自變量又以誰為自變量？的自變量是什么？該自變量又以誰為自變量？2.2.3三個晶體三個晶體“方向方向”上上,有兩個是極大而另一個不是有兩個是極大而另一個不是,請問對成像請問對成像有何影響？有何影響？2.2.4在衍射三錐的底片中在衍射三錐的底片中,中心斑對應(yīng)什么？為什么說它的作用并中心斑對應(yīng)什么？為什么說它的作用并不大？不大？ 2.2.5主極大的寬度是誰的函數(shù)？該寬度的量綱是什么？主極大的寬度是誰的函數(shù)？該寬度的量綱是什么？2.2.6對于一維晶體對于一維晶體,當(dāng)入射線平行于晶軸時當(dāng)入射線平行

53、于晶軸時,在垂直于晶軸的背面在垂直于晶軸的背面,衍衍射圖像是怎樣的？射圖像是怎樣的？2.2.7入射波矢入射波矢k0與三個基矢與三個基矢a1, a2, a3的邏輯關(guān)系是什么？其背景是的邏輯關(guān)系是什么？其背景是:勞厄方程中勞厄方程中,s與晶體是否相關(guān)。與晶體是否相關(guān)。2.2.8錐面是等強(qiáng)度面是什么意思？錐面是等強(qiáng)度面是什么意思？2.2.9 X射線是波射線是波,根據(jù)量子力學(xué)根據(jù)量子力學(xué),電子構(gòu)成電子波。請問晶體中原子電子構(gòu)成電子波。請問晶體中原子對于電子波的散射與對于對于電子波的散射與對于X射線的散射的主要差別是什么？射線的散射的主要差別是什么？2.2.10置換固溶體中置換固溶體中,假定原子半徑相同

54、假定原子半徑相同,請問溶質(zhì)原子與溶劑原子請問溶質(zhì)原子與溶劑原子的差異的差異(原子序數(shù)不同所致原子序數(shù)不同所致)對于布拉格方程有無影響？對于布拉格方程有無影響？倒易點陣倒易點陣正空間概念正空間概念 數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)中,空間概念最基本的含義是空間概念最基本的含義是元素元素構(gòu)成的構(gòu)成的集合集合;正正空間元素由晶體中原子直接抽象而成空間元素由晶體中原子直接抽象而成,稱為正格點或正稱為正格點或正格矢格矢,它們構(gòu)成它們構(gòu)成(正空間正空間)點陣。點陣。三維矢量空間定義三維矢量空間定義 全體三維矢量構(gòu)成的集合全體三維矢量構(gòu)成的集合,連同定義的運算連同定義的運算,稱為稱為。倒易點陣倒易點陣 由正空間點陣的原胞基矢由正

55、空間點陣的原胞基矢,可以定義倒易點陣中原胞的可以定義倒易點陣中原胞的三個基矢三個基矢,即即b1, b2, b3。倒易點陣中任意陣點。倒易點陣中任意陣點(即倒空即倒空間元素間元素)是它們的線性組合是它們的線性組合,線性組合的系數(shù)均為整數(shù)線性組合的系數(shù)均為整數(shù)。倒易點陣基矢與正點陣基矢的關(guān)系倒易點陣基矢與正點陣基矢的關(guān)系設(shè)正點陣設(shè)正點陣(原胞原胞)基矢為基矢為a1, a2, a3,定義定義 倒易點陣中的陣點矢量倒易點陣中的陣點矢量(倒格矢倒格矢)為為h1, h2, h3均為整數(shù)均為整數(shù),倒格矢的量綱為倒格矢的量綱為m-1。1232baa2312baa3122baa123aaa1 1223 3hhh

56、hGbbb例例 二維倒易點陣基矢二維倒易點陣基矢 簡單立方倒易點陣特點簡單立方倒易點陣特點:1.也是立方點陣也是立方點陣,但倒易點陣基矢的但倒易點陣基矢的“長度長度”為為2/a;2.正、倒點陣的對應(yīng)基矢方向一致。正、倒點陣的對應(yīng)基矢方向一致。1221baba倒易點陣基矢的性質(zhì)倒易點陣基矢的性質(zhì)倒格矢需滿足的條件倒格矢需滿足的條件 設(shè)任意正空間格矢為設(shè)任意正空間格矢為: 倒格矢倒格矢Gh必須都能滿足必須都能滿足220ijijijija b1 12233llllRaaa1 1223 32(lhlhhh為整數(shù))R GRbbb倒格矢與正空間晶面倒格矢與正空間晶面(h1h2h3)的關(guān)系的關(guān)系1.2.3.

57、倒格矢表示正空間晶面倒格矢表示正空間晶面(h1h2h3)的優(yōu)勢的優(yōu)勢 (1)簡潔簡潔,因為一個倒格矢就能完整地表示因為一個倒格矢就能完整地表示 (2)在波動問題中在波動問題中,倒空間是常見的倒空間是常見的 1 2 31 1223 31 23()hh h hhhhhh hGGbbb1 2 31 2 32h h hh h hdG倒格矢與正空間晶面倒格矢與正空間晶面(h1h2h3)關(guān)系的證明關(guān)系的證明1.概念說明概念說明 (1)無論正、倒空間無論正、倒空間,均為均為同一同一(總總)空間的子空間的子空間空間,因此兩個子空間中的矢量間有正常的因此兩個子空間中的矢量間有正常的幾何關(guān)系幾何關(guān)系; (2)量綱

58、不同并不影響量綱不同并不影響 幾何上的垂直或平行幾何上的垂直或平行2.證明要點證明要點 晶面由兩個晶向確定晶面由兩個晶向確定3.證明過程證明過程 112233,hhhO OA AO OB BO OC Caaa211 1223 3221121311 1223 333113100hhhhhhhhhhhhABABACACaaGbbbbab aaaGbbbb ab a1 2 31 12233112hh h hhhhhhhdOMhO OA AbbbGaGGG正空間與倒空間關(guān)系的總結(jié)正空間與倒空間關(guān)系的總結(jié)1.均屬于同一個均屬于同一個(總總)空間空間,即數(shù)學(xué)的三維矢量空間即數(shù)學(xué)的三維矢量空間,是這個是這個

59、(總總)空間的兩個不同的子空間空間的兩個不同的子空間;2.正空間由晶體決定正空間由晶體決定,倒空間由正空間決定倒空間由正空間決定;晶體不晶體不同同,正空間不同正空間不同,倒空間因此也不同倒空間因此也不同;3.正正/倒空間均是離散空間倒空間均是離散空間;而三維矢量空間是連續(xù)而三維矢量空間是連續(xù)空間空間;4.正空間矢量表示晶格格點最為方便正空間矢量表示晶格格點最為方便;倒空間矢量倒空間矢量表示波矢最為方便表示波矢最為方便;倒空間矢量表示倒空間矢量表示(正空間正空間)晶面晶面更為方便更為方便;5.類似于兩套坐標(biāo)系類似于兩套坐標(biāo)系衍射斑點大小衍射斑點大小1問題的背景問題的背景大尺寸晶體衍射大尺寸晶體衍

60、射2小尺寸晶體情況小尺寸晶體情況a)厚壁厚壁衍射錐衍射錐b)壁厚壁厚反比于反比于N13正正/倒點陣的幾何倒點陣的幾何關(guān)系關(guān)系(之一之一):薄片薄片(正空間晶體正空間晶體) 細(xì)長桿細(xì)長桿(倒空間衍射斑倒空間衍射斑)由勞厄方程推導(dǎo)一級布拉格方程由勞厄方程推導(dǎo)一級布拉格方程s(hkl);假定假定h,k,l互質(zhì)互質(zhì),則得到一級布拉格方程則得到一級布拉格方程含義解釋含義解釋 以以(hkl)為反射面為反射面,衍射角為衍射角為。布拉格：將勞厄的點的散射疊加，轉(zhuǎn)換為面的選擇性反射布拉格：將勞厄的點的散射疊加，轉(zhuǎn)換為面的選擇性反射1/222sin4 sin/hklhklhdd s ass312312122200