1、硬核：狙擊2020中考數學重點/難點/熱點一、相似三角形的性質 1. 兩個三角形相似，對應角相等；2. 兩個三角形相似，對應邊成比例； 2. 兩個三角形相似，對應線之比（高線、角平分線、中線）等于相似比； 3. 兩個三角形相似，周長比等于相似比； 4. 兩個三角形相似，面積比等于相似比的平方.二、一線三等角 1. 如圖1，若ACB=D=E=90°，若AC=BC，即ACB為等腰直角三角形，則有ACDCBE； 2. 如圖2，若ACB=D=E=90°，此為一線三直角，也稱“K字型”，則有ACDCBE； 3. 如圖3，若ACB=D=E，此為一般的一線三等角，則有ACDCBE. 圖1

2、 圖2 圖3一、構造一線三等角 1. 當出現特殊角度45°時，聯想到直角三角形，聯想到一線三垂直，如圖4有ACDCBE；圖4 2. 當出現特殊角度30°時，聯想到直角三角形，聯想到一線三垂直，如圖5有ACDCBE；圖5 3. 當出現時，聯想到直角三角形，聯想到一線三垂直，如圖6有ACDCBE；二、構造子母型相似 BACBEA BA2=BC·BE則 BD2+AD2=BC·BE 三、整體旋轉法如圖，已知點，將點A繞原點O順時針旋轉45°角，求其對應點A的坐標. 解題： 【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，經過點A的雙曲線y（x0）同時經過點B，且點

3、A在點B的左側，點A的橫坐標為，AOBOBA45°，則k的值為【解析】過A作AMy軸于M，過B作BDx軸于D，直線BD與AM交于點N，如圖所示：則ODMN，DNOM，AMOBNA90°，AOM+OAM90°，AOBOBA45°，OABA，OAB90°，OAM+BAN90°，AOMBAN，在AOM和BAN中，AOMBAN（AAS），AMBN，OMAN，OD+，BD，B（+，），雙曲線y（x0）同時經過點A和B，（+）（）k，整理得：k22k40，解得：k1±（負值舍去），k1+；故答案為：1+【例題2】（2018武漢模擬）如圖

4、，在矩形ABCD中，AB6，AD12，E為邊AB上一點，AE2，P、Q分別為邊AD、BC上的兩點，且PEQ45°，若EPQ為等腰三角形，則AP的長為【解析】（1）如圖1，當PEPQ時，作QFAD，則四邊形ABQF是矩形，可得QFAB6APFQEPQ90°，APE+QPF90°，APE+AEP90°，AEPQPF，PEPQ，AEPFPQ（AAS），APFQ6；（2）如圖2，當QEQP時，作PFBC，則四邊形ABFP是矩形，可得PFAB6，同法可得：BEQFQP（AAS），BEFQ4，BQFP6，APBF10；（3）如圖3，當EPEQ時，作PMPE交EQ的延

5、長線于點M，作MFAD于點F，MF交BC于點HEPEQ，BEMH，同法可得AEPFPM（AAS），綜合（1）、（2）、（3）可知：AP6或AP10或故答案是：6或10或4+2【例題3】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線yx+m分別交x軸，y軸于A，B兩點，已知點C（2,0）（1）當直線AB經過點C時，點O到直線AB的距離是；（2）設點P為線段OB的中點，連結PA，PC，若CPAABO，則m的值是【解析】（1）當直線AB經過點C時，點A與點C重合，當x2時，y2+m0，即m2，所以直線AB的解析式為yx+2，則B（0，2）OBOA2，AB2設點O到直線AB的距離為d，由SOABOA2ABd，得

6、42d，則d故答案是：（2）作ODOC2，連接CD則PDC45°，如圖，由yx+m可得A（m，0），B（0，m）所以OAOB，則OBAOAB45°當m0時，APCOBA45°，所以，此時CPA45°，故不合題意所以m0因為CPAABO45°，所以BPA+OPCBAP+BPA135°，即OPCBAP，則PCDAPB，所以，即，解得m12故答案是：12【例題4】如圖，已知點A（2，3）和點B（0，2），點A在反比例函數y的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉45°，交反比例函數圖象于點C，則點C的坐標為【解析】

7、解法一：如圖所示，過A作AEx軸于E，以AE為邊在AE的左側作正方形AEFG，交AB于P，根據點A（2，3）和點B（0，2），可得直線AB的解析式為yx+2，由A（2，3），可得OF1，當x1時，y+2，即P（1，），PF，將AGP繞點A逆時針旋轉90°得AEH，則ADPADH，PDHD，PGEH，設DEx，則DHDPx+，FD1+2x3x，RtPDF中，PF2+DF2PD2，即（）2+（3x）2（x+）2，解得x1，OD211，即D（1，0），根據點A（2，3）和點D（1，0），可得直線AD的解析式為y3x3，解方程組，可得或，C（1，6），故答案為：（1，6）解法二：如圖，過A作

8、ADy軸于D，將AB繞著點B順時針旋轉90°，得到A'B，過A'作A'Hy軸于H，由ABBA'，ADBBHA'90°，BADA'BH，可得ABDBA'H，BHAD2，又OB2，點H與點O重合，點A'在x軸上，A'（1，0），又等腰RtABA'中，BAA'45°，而BAC45°，點A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直線AC的解析式為y3x3，解方程組，可得或，C（1，6），故答案為：（1，6）解法三：如圖，過B作BFAC于F，過F作FDy

9、軸于D，過A作AEDF于E，則ABF為等腰直角三角形，易得AEFFDB，設BDa，則EFa，點A（2，3）和點B（0，2），DF2aAE，ODOBBD2a，AE+OD3，2a+2a3，解得a，F（，），設直線AF的解析式為ykx+b，則，解得，y3x3，解方程組，可得或，C（1，6），故答案為：（1，6）【例題5】如圖1，平面直角坐標系中，直線yx+1與拋物線yx2+bx+c交于A，B兩點，點A在y軸上，點B的橫坐標為，點P是直線AB上方的拋物線上的一動點（不與點A，B重合），作PCAB于點C（1）求拋物線的解析式；（2）設點P的橫坐標為m用含m的代數式表示PC的長；求PC長的最大值；（3）如

10、圖2，連接PA，若PAB45°，求點P的坐標【解析】（1）將x0代入yx+1得：y1，A（0，1）將x代入yx+1得：y，B（，），把A、B兩點坐標代入yx2+bx+c得到，解得，拋物線的解析式為yx2+4x+1；（2）如圖1，作PFx軸于F，交AB于E，直線AB交x軸于D把y0代入yx+1得：x+10，解得x2，D（2，0）設P（m，m2+4m+1），則E（m，m+1），點P在直線AB上方，PEm2+4m+1（m+1）m2+m，OA1，OD2，AD，PFOA，DAODEFPEC，AODPCE90°，PCEDOA，即PC（m2m），PC（m2m）（m）2+，0，m時，PC有

11、最大值，最大值為；（3）如圖2所示，過點A作ACx軸，交拋物線與點C，作CDy軸交AB與點D，將ACD旋轉90°得到AEF，延長EF交AP與點G，連結GD將y1代入拋物線的解析式得：x2+4x+11，解得：x0或x4點C的坐標為（4，1）將x4代入直線AB的解析式得：y3，點D的坐標為（4，3）由旋轉的性質可知：AFAC4，EFDC2，AEAD點E的坐標為（2，5）在AEG和ADG中，AEGADGEGDG設點D的坐標為（x，y），由兩點間的距離公式可知：（x+2）2+（y5）2（x4）2+（y3）2，整理得：y3x+1直線AG的解析式為y3x+1將y3x+1代入yx2+4x+1得：3

12、x+1x2+4x+1，整理得：x2x0，解得：x0或x1點P的橫坐標為1將x1代入y3x+1得：y4點P的坐標為（1，4）1（2018龍崗區一模）如圖，已知反比例函數y（x0）的圖象經過點A（3，4），在該圖象上面找一點P，使POA45°，則點P的坐標為 【解析】作AEy軸于E，將線段OA繞點O順時針旋轉90°得到OA，作AFx軸于F，則AOEAOF，可得OFOE4，AFAE3，即A（4，3）反比例函數y（x0）的圖象經過點A（3，4），所以由勾股定理可知：OA5，4，OA5，k12，y，AA的中點K（，），直線OK的解析式為yx，由，解得或，點P在第一象限，P（2，），故

13、答案為（2，）2（2017孝感）如圖，在平面直角坐標系中，OAAB，OAB90°，反比例函數y（x0）的圖象經過A，B兩點若點A的坐標為（n，1），則k的值為【解析】作AEx軸于E，BFx軸于F，過B點作BCy軸于C，交AE于G，如圖所示：則AGBC，OAB90°，OAE+BAG90°，OAE+AOE90°，AOEGAB，在AOE和BAG中，AOEBAG（AAS），OEAG，AEBG，點A（n，1），AGOEn，BGAE1，B（n+1，1n），kn×1（n+1）（1n），整理得：n2+n10，解得：n（負值舍去），n，k；故答案為：3（2017

14、新區一模）（1）如圖1，已知ABC，以AB，AC為邊分別向ABC外作等邊ABD和等邊ACE，連結BE，CD，請你完成圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BECD；（2）如圖2，利用（1）中的方法解決如下問題：在四邊形ABCD中，AD3，CD2，ABCACBADC45°，求BD的長（3）如圖3，四邊形ABCD中，CAB90°，ADCACB，tan，CD5，AD12，求BD的長【解析】（1）如圖1，分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D，連接AD、BD，再分別以A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于點E，連接AE、CE，則ABD、ACE就是所求作的等邊三角

15、形；證明：如圖1，ABD和ACE都是等邊三角形，ADAB，ACAE，DABEAC60°，DACBAE，DACBAE（SAS），BECD；（2）如圖2，過A作AEAD，使ADAE3，連接DE、CE，由勾股定理得：DE3，EDA45°，ADC45°，EDCEDA+ADC90°，ACBABC45°，CAB90°，CAB+DACEAD+DAC，即EACDAB，AEAD，ACAB，DABEAC（SAS），ECBD，在RtDCE中，EC，BDEC；（3）如圖3，作直角三角形DAE，使得DAE90°，DEAACB，連接EC，容易得到DAE

16、BAC，即，DAEBAC90°，DAE+DACBAC+DAC，即EACDAB，EACDAB，在DCE中，ADCACB，EDAABC，EDC90°，AD12，AE9，DAE90°，DE15，CE5，由EACDAB，BD4（2019成都一模）如圖，反比例函數的圖象過格點（網格線的交點）A（1）求反比例函數的解析式；（2）若點P是該雙曲線第一象限上的一點，且AOP45°，填空：直線OP的解析式為yx；點P的坐標為（，）【解析】（1）由圖知，點A（1，3），點A（1，3）在反比例函數y圖象上，k1×33，反比例函數的解析式為y；（2）如圖，過點O作OA

17、的垂線OE，取x軸上點（3，0），記D，則D（3，0），OD3，過點D作BDx軸，交OE于B，OP于C，易知，B（3，1），OAOB，AOP45°，BOCAOBAOP45°AOC，OCOC，AOCBOC（SAS），ACBC，設C（3，m），A（1，3），B（3，1），AC，BCm+1，m+1，m，C（3，），設直線OP的解析式為ykx，3k，k，直線OP的解析式為yx，故答案為：yx；由知，直線OP的解析式為yx（），由（1）知，反比例函數解析式為y（），聯立（）（）解得，或（由于點P在第一象限內，所以，舍去），P（，），故答案為：（，）5如圖，已知拋物線yx2+bx+c經

18、過點A（0，3），C（3，0）；過A作ABx軸交拋物線于點B，連接AC、BC，點P為拋物線上動點（1）求拋物線解析式；（2）當PABBCA時，求點P的坐標；（3）當點P在拋物線上BC兩點之間移動時，點Q為x軸上一動點，連接AP、AQ，使得tanPAQ2，且AP交BC于點G，過G作GHAQ交AQ于點H，設點H的坐標為（m，n），求n關于m的函數關系式 【解析】（1）將A（0，3），C（3，0）代入得：，解得b2，c3拋物線的解析式為yx2+2x+3；（2）如圖1中，當點P在拋物線上BC兩點之間時，連接PA交BC于E，作BMOC于M，ENBM于NPABACB，ABEABC，ABECBA，AB2BE

19、BC，BEBC4，BC，BE，ENMC，BN，EN，E（，），A（0，3），直線AE的解析式為yx+3，由解得或，A（0，3），P（，），根據對稱性直線AP關于直線AB的對稱的直線AP的解析式為yx+3，由解得或，P（，），綜上所述，滿足條件的點P坐標為P（，）或（，）；（3）如圖2中，作HMOA于M，GNMH于NAHGH，AHG90°，由AHMHGN，tanGAH2，H（m，n），HN62n，GN2m，G（62n+m，2m+n），直線BC的解析式為y3x+9，點G在直線BC上，2m+n3（62n+m）+9，nm+6（2018成都模擬）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線yax24ax+

20、c與直線ykx+1（k0）交于y軸上一點A和第一象限內一點B，該拋物線頂點H的縱坐標為5（1）求拋物線的解析式；（2）連接AH、BH，拋物線的對稱軸與直線ykx+1（k0）交于點K，若SAHB，求k的值；（3）在（2）的條件下，點P是直線AB上方的拋物線上的一動點（如圖2），連接PA當PAB45°時，）求點P的坐標；）已知點M在拋物線上，點N在x軸上，當四邊形PBMN為平行四邊形時，請求出點M的坐標【解析】（1）拋物線yax24ax+c與直線ykx+1交于y軸上一點AA（0，1），即c1拋物線yax24ax+ca（x2）24a+c頂點坐標為（2，c4a）c4a5a1拋物線解析式yx2

21、+4x+1（x2）2+5（2）拋物線與直線相交kx+1x2+4x+1x10，x24kB點橫坐標為4k點B在第一象限4k0即k4SAHBHK×（4k）（52k1）×（4k）解得：k1，k2（不合題意舍去）（3）如圖：將AB繞B點順時針旋轉90°到BC位置，過B點作BDx軸，過點C點作CDBD于D，過A點作AEBD于Ek，B（，）A（0，1），B（，）AE，BE旋轉BCAB，ABC90°CAB45°，CBD+ABE90°且CBD+DCB90°ABEDCB且ABBC，DAEB90°ABEBCDAEBD，BECDC（，）設

22、AC解析式ybx+1b+1b3AC解析式y3x+1P是直線AC與拋物線的交點3x+1x2+4x+1x10，x21P（1，4）如圖2：設PM與BN的交點為H四邊形PBMN為平行四邊形PHNH，BHMH設點M坐標為（x，y）y（x2）2+5解得：x1，x2點M坐標為（，），（，）7（2014白銀）如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線是由拋物線yx23向右平移一個單位后得到的，它與y軸負半軸交于點A，點B在該拋物線上，且橫坐標為3（1）求點M、A、B坐標；（2）連接AB、AM、BM，求ABM的正切值；（3）點P是頂點為M的拋物線上一點，且位于對稱軸的右側，設PO與x正半軸的夾角為，當AB

23、M時，求P點坐標【解析】（1）拋物線yx23向右平移一個單位后得到的函數解析式為y（x1）23，頂點M（1，3），令x0，則y（01）232，點A（0，2），x3時，y（31）23431，點B（3，1）；（2）過點B作BEAO于E，過點M作MFAO于M，EBEA3，EABEBA45°，同理可求FAMFMA45°，ABEAMF，又BAM180°45°×290°，tanABM；（3）過點P作PHx軸于H，y（x1）23x22x2，設點P（x，x22x2），點P在x軸的上方時，整理得，3x27x60，解得x1（舍去），x23，點P的坐標為（

24、3，1）；點P在x軸下方時，整理得，3x25x60，解得x1（舍去），x2，x時，x22x2×，點P的坐標為（，），綜上所述，點P的坐標為（3，1）或（，）8（2018宿遷三模）如圖，二次函數yx2+2x+3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C（1）求頂點D的坐標；（2）若點P（0，t） （t1）是y軸上的點，將點Q （5，0）繞著點P按順時針方向旋轉90度得到點E，當點E恰好落在該二次函數的圖象上時，求t的值；（3）在（2）的條件下，連接AD、AE，若M是該二次函數圖象上的一點，且DAEMCB，求點M的坐標【解析】（1）二次函數的表達式為：yx2+2x+3（x1）24，所以頂點

25、D的坐標為（1，4）；（2）如圖1，過點E作EHy軸于點H，PQO+OPQ90°，OPQ+HPE90°，HPEPQO，由旋轉知，PQPE，在EPH和PQO中，EPHPQO（AAS），EHOPt，HPOQ5E（t，5+t）當點E恰好在該二次函數的圖象上時，有5+tt22t+3解得t12，t21（由于t1所以舍去），（3）設點M（a，a2+2a+3）若點M在x軸上方，如圖2，過點M作MNy軸于點N，過點D作DFx軸于點FEABOCB45°，DAEMCBMCNDAFMCNDAF，即a1，a20（舍去）M（ ，），若點M在x軸下方，如圖3，過點M作MNy軸于點N，過點D作

26、DFx軸于點FEABOCB45°，DAEMCBMCNADFMCNADF，即a14，a20（舍去）M（4，5）綜上所述，M（ ，）或M（4，5）9（2009武漢）如圖，拋物線yax2+bx4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B（1）求拋物線的解析式；（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；（3）在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且DBP45°，求點P的坐標【解析】方法一：解：（1）拋物線yax2+bx4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，解得，拋物線的解析式為yx2+3x+4；（2）點D（m，m+

27、1）在拋物線上，m+1m2+3m+4，即m22m30m1或m3點D在第一象限點D的坐標為（3，4）由（1）知OCOBCBA45°設點D關于直線BC的對稱點為點EC（0，4）CDAB，且CD3ECBDCB45°E點在y軸上，且CECD3OE1E（0，1）即點D關于直線BC對稱的點的坐標為（0，1）；（3）方法一：作PFAB于F，DEBC于E，由（1）有：OBOC4OBC45°DBP45°CBDPBAC（0，4），D（3，4）CDOB且CD3DCECBO45°DECEOBOC4BC4BEBCCEtanPBFtanCBD設PF3t，則BF5t，OF5

28、t4P（5t+4，3t）P點在拋物線上3t（5t+4）2+3（5t+4）+4t0（舍去）或tP（，）；方法二：過點D作BD的垂線交直線PB于點Q，過點D作DHx軸于H，過Q點作QGDH于G，PBD45°，QDDB，QDG+BDH90°，又DQG+QDG90°，DQGBDH，QDGDBH，QGDH4，DGBH1由（2）知D（3，4），DH4，OH3HGOH3，QGDH4，QFQGGF431Q（1，3）B（4，0）直線BQ的解析式為yx+，解方程組，得，點P的坐標為（，）方法二：（1）略（2）點D（m，m+1）在拋物線上，m+1m2+3m+4，即m22m30m1或m3

29、點D在第一象限點D的坐標為（3，4）B（4，0），C（0，4），lBC：yx+4，D，E關于BC對稱，DEBC，DE與BC的交點F為DE的中點，KDE×KBC1，KBC1，KDE1，lDE：yx+1，lBC：yx+4，lDE與lBC的交點F（，），FX，FY，E（0，1）（3）過點D作直線BF的垂線，垂足為H，設點H（a，b），DBP45°，DHB為等腰三角形，點B可視為點D繞點H順時針旋轉90°而成，將點H平移至原點得點H，則點D（3，4）平移后為D（3a，4b），將點D順時針旋轉90°，則點B（4b，a3），將H平移至H，則B平移后即為點B（4+ab

30、，a+b3），B（4，0），4+ab4，a+b30，ab，H（，），P在直線BH上，KBH，lBH：yx，點P的坐標為（，）10（2020青浦區一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x2，點A的坐標為（1，0）（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），聯結PC當PCBACB時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應點為點Q，當ODDQ時，求拋物線平移的距離【解析】（1）對稱軸為直線x2，點A的坐標為（1，0），點B

31、的坐標是（3，0）將A（1，0），B（3，0）分別代入yx2+bx+c，得解得則該拋物線解析式是：yx24x+3由yx24x+3（x2）21知，該拋物線頂點坐標是（2，1）；（2）如圖1，過點P作PNx軸于N，過點C作CMPN，交NP的延長線于點M，CON90°，四邊形CONM是矩形CMN90°，COMN、yx24x+3，C（0，3）B（3，0），OBOC3COB90°，OCBBCM45°又ACBPCB，OCBACBBCMPCB，即OCAPCMtanOCAtanPCM故設PMa，MC3a，PN3aP（3a，3a），將其代入拋物線解析式yx24x+3，得（

32、3a）24（3a）+33a解得a1，a20（舍去）P（，）（3）設拋物線平移的距離為m，得y（x2）21mD（2，1m）如圖2，過點D作直線EFx軸，交y軸于點E，交PQ延長線于點F，OEDQFDODQ90°，EOD+ODE90°，ODE+QDP90°EODQDFtanEODtanQDF，解得m故拋物線平移的距離為11（2017咸寧）如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OBOC6（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當FABEDB時，求點F的坐標；（3）平行于

33、x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQMN時，求菱形對角線MN的長【解析】（1）OBOC6，B（6，0），C（0，6），解得，拋物線解析式為yx22x6，yx22x6（x2）28，點D的坐標為（2，8）；（2）如圖1，過F作FGx軸于點G，設F（x，x22x6），則FG|x22x6|，在yx22x6中，令y0可得x22x60，解得x2或x6，A（2，0），OA2，則AGx+2，B（6，0），D（2，8），BE624，DE8，當FABEDB時，且FGABED，FAGBDE，即，當點F在x軸上方時，則有，解得x2（舍去）或x7，此進F點坐標為（7，）；當點F在x軸下方時，則有，解得x2（舍去）或x5，此進F點坐標為（5，）；綜上可知F點的坐標為（7，）或（5，）；（3）點P在x軸上，由菱形的對稱性可知