1、一、集合§ 1.1 集合與元素集合與元素的關(guān)系：和。集合中元素的特征： 、。集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：、。集合的表示方法： 、。§ 1.2 集合與集合關(guān)系子集：若 xA xB，則，即 A是B的子集。真子集：若 AB 且 AB （即至少存在x0B ，但），則 A 是 B 的真子集。若集合 A 中有 n 個元素，則集合A 的子集個數(shù)為，真子集個數(shù)為。任何一個集合是它本身的子集，即。對于集合 A， B ， C ，如果 AB，且 BC ，則?？占侨魏渭系模侨魏渭系恼孀蛹＜舷嗟龋?AB 且AB 。運算交集：定義：A B x |且 性質(zhì)： A A, A ,AB

2、 A，AB B,ABA B。并集：定義：A B x |或 性質(zhì)： A A, A ,AB A，AB B,ABA B。Card ( A B) Card (A) Card ( B) Card ( ) 。補集：定義： CU A x |且 性質(zhì)： (CU A) A,(CUA) A,CU (CU A) ,CU (AB)， CU (AB)。二、函數(shù)§2.1 函數(shù)及其表示映射：設(shè) A ， B 是兩個非空的集合，按照某種對應(yīng)關(guān)系有的元素和它對應(yīng)，那么就稱f： AB 為從集合函數(shù)的三要素： 、。函數(shù)的主要表示方法： 、。函數(shù)的定義域：分式的分母。偶次根式的被開方數(shù)。對數(shù)的真數(shù)，底數(shù)。零次冪的底數(shù)。f ，

3、使對于集合A 中的元素A 到集合 B 的一個映射。x ，在集合B 中都三角函數(shù)中的正切函數(shù)ytan x ，xk(kZ ) 。2已知函數(shù)已知函數(shù)f ( x) 定義域為 D ，求函數(shù)f g (x) 的定義域，只需。f g ( x) 定義域為 D ，求函數(shù)f ( x) 的定義域，只需要求g( x)的D。§2.2函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f ( x) 的定義域為I：（ 1 ）如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意 兩個自變量的值x1 、x2 ，當(dāng)x1x2 時， 都有f ( x1 )f ( x2 ) ，就說f ( x)在這個區(qū)間上是。（ 2 ）如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意 兩個

4、自變量的值x1 、x2 ，當(dāng)x1x2 時，都有f ( x1 )f ( x2 ) ，就說f ( x)在這個區(qū)間上是。利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性設(shè)函數(shù) yf ( x) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果個區(qū)間上為減函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：f ' ( x)0 ，則f ( x) 在這個區(qū)間上為；如果，則f ( x)在這若 f ( x) ， g( x) 均為某區(qū)間上的增函數(shù)，則 f (x)g( x) 在這個區(qū)間上也為；為某區(qū)間上的減函數(shù)，則f (x)g( x) 在這個區(qū)間上也為。若 f (x)， g( x)均若 f ( x) 為增函數(shù)，則f ( x) 為；若 f ( x) 為減函數(shù)，則f (x) 為。若

5、f ( x) 與 g(x) 的單調(diào)性相同，則f g(x) 是；若 f (x) 與 g (x) 的單調(diào)性不同，則奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性。常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象函數(shù)的奇偶性f g(x) 是。對于函數(shù)f ( x) ，如果對于定義域內(nèi)任意 一個 x ，都有 ，那么f (x) 就叫做奇函數(shù)；如果對于定義域內(nèi)任意一個 x ，都有 f (x)f (x) ，那么 f ( x) 就叫做。奇函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱圖形。反之也成立。函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論如果一個奇函數(shù)在x 0 處有定義，則f (

6、x)；如果一個函數(shù) yf ( x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f ( x) （反之不成立 ）。兩個奇函數(shù)之和（或差）為函數(shù)，兩個偶函數(shù)之和（或差）為函數(shù)；兩個奇函數(shù)之積（或商）為函數(shù)，兩個偶函數(shù)之積（或商）為函數(shù)。一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（或商）為函數(shù)。兩個函數(shù) yf (u) 和 ug( x) 復(fù)合而成的函數(shù)， 只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)是，該復(fù)合函數(shù)是函數(shù)。函數(shù)的周期性對于函數(shù) yf (x) ，如果存在一個不為零的常數(shù)T ，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都成立，那么 f ( x) 是周期函數(shù)，T 是它的周期。f (x) 的圖象向左平移函數(shù)圖象的

7、畫法描點連線法：、。函數(shù)變換：平移變換： yy f ( x) 的圖象向右平移y f ( x) 的圖象向上平移y f ( x) 的圖象向下平移伸縮變換：a 個單位，得到函數(shù)的圖象；a 個單位，得到函數(shù)的圖象；b 個單位，得到函數(shù)的圖象；b 個單位，得到函數(shù)的圖象。yf ( x) 的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? ，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象；yf ( x) 的圖象上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁 倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象。對稱變換：yf (x) 與 yf ( x) 的圖象關(guān)于軸對稱；yf ( x) 與 yf ( x) 的圖象關(guān)于軸對稱；yf (x) 與 yf (x) 的圖象關(guān)于對稱；y |

8、f ( x) | 的圖象可將 y f (x)的圖象在軸下方的部分關(guān)于軸對稱，其余部分不變；yf (| x |) 的 圖 象 可 先 作 出 yf ( x) ( x0) 的 圖 象 ， 再 根 據(jù) 的 圖 象 關(guān) 于 y 軸 對 稱 ， 作 出yf ( x) ( x0) 的圖象。§2.3 基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)的運算： n a m。a r a s(a 0，r ， sQ) ； ( ar )s(a 0， r， sQ) ；(ab)r(a 0， b0， rQ) 。指數(shù)函數(shù)：定義：一般地，把函數(shù)( a0， a 1) 叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù) ya x (a 0， a 1)定義域x值域y作出函數(shù)

9、ya x(0a 1) 的圖象作出函數(shù) yax(a 1) 的圖象圖象過定點單調(diào)性：單調(diào)性：作出函數(shù)性質(zhì)x ( ，0)時， y；x ( ，0) 時， y；x (0， ) 時， y。x ( 0， ) 時， y。y a x ， y bx ( ab) 的圖象作出函數(shù) y ax ， y b x (ab) 的圖象對數(shù)函數(shù)對數(shù)的運算： log a N ， a 為，N為。性質(zhì)： log a (M N )； log aM；log a M nN nN； log am。 (a0， a1， M0， N0)換底公式：log ab。(a，c0ac 1b0)， ，對數(shù)函數(shù)：定義：一般地，把函數(shù)( a0， a1) 叫做對數(shù)函數(shù)

10、。對數(shù)函數(shù) ylog ax (a0， a 1)定義域x值域y作出函數(shù) ylog ax (0a1) 的圖象作出函數(shù) ylog a x (a 1) 的圖象圖象過定點單調(diào)性：單調(diào)性：x(0，1) 時， yx(1，) 時，y；。x(0，1) 時， yx(1，) 時，y；。作出函數(shù)ylog ax ，作出函數(shù)ylog ax ，性質(zhì)ylog bx (ab) 的圖象ylogbx( ab) 的圖象冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，x 是自變量，是常數(shù)。性質(zhì)：所有冪函數(shù)在(0，) 上都有定義，并且圖象都通過點。如果0 ，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間0，) 為。如果當(dāng)0 ，則冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，) 是。為

11、奇數(shù)時，冪函數(shù)為，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為。冪函數(shù) y x (R)p01110q作出函數(shù)圖象p 為奇數(shù)q 為奇數(shù)p 為奇數(shù)q 為偶數(shù)p 為偶數(shù)q 為奇數(shù)第一象限單調(diào)性：單調(diào)性：性質(zhì)二次函數(shù)1二次函數(shù)的定義：如果 yax 2bxc （ a 、 b 、 c 是常數(shù)， a0 ），那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。2二次函數(shù)的表達式：一般式 ： yax2bxc （ a0 ）； yax2c （ a0 ）； yax2 （ a0）；頂點式 ： ya xh 2k （ a0 ）；ya( xb24acb2（ a0 ）；()4a交點式 ： ya(xx1 )( xx2 ) （ a0 ）；2a3二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù) ya

12、x2bxc （ a0 ）的圖像是拋物線。開口 ：當(dāng) a0 時開口向上，并向上無限延伸；當(dāng)a0時開口向下，并向下無限延伸。頂點、對稱軸 ：把二次函數(shù)y ax2bxc （ a0 ）的右邊二次三項式配方，得ya( xb ) 24acb2（ a0）2a4a點 (b, 4acb 2) 為拋物線的頂點，直線xb為拋物線的對稱軸。2a4a2a奇偶性：奇偶性：奇偶性：過定點：4二次函數(shù)的性質(zhì)：拋物線yax2y ax2cy a( xh)2y a(xh)2ky ax2bxcy a (xb24ac b 2)4a2a開口方向當(dāng) a0 時開口向上，并向上無限延伸；當(dāng)a0時開口向下，并向下無限延伸。頂點坐標(biāo)(0,0)(0

13、, c)(h,0)(h, k)(b, 4ac b2)2a4a對稱軸y 軸y 軸直線 xh直線 xhb直線 xx0時，x 0 時，x h 時，x h 時，2aa0xb4acb 2ymin0ymincymin0ymink2a時， ymin4a最值0x0時，x 0 時，x h 時，x h 時，xb4acb 2aymax0ymaxcymax0ymaxk2a時， ymax4a作出函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)，y 隨 x 的增大而減小a0增在對稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而增大減性在對稱軸左側(cè)，y 隨 x 的增大而增大a0在對稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而減小5. 二次函數(shù) y ax2bx c （ a0 ）的系數(shù)

14、 a ， b ， c ，與拋物線的關(guān)系aa 決定開口方向：a0時開口向上a0時開口向下a ， b 同時決定對稱軸位置：a ， b 同號時對稱軸在y 軸左側(cè)a ， ba ， b 異號時對稱軸在y 軸右側(cè)b 0 時對稱軸是 y 軸c 決定拋物線與 y 軸的交點： c >0 時拋物線交于y 軸的正半軸cc <0 時拋物線交于y 軸的負半軸>0 時，方程 ax2c 0 時拋物線過原點bxc0 （ a0）有兩個實根，拋物線與x 軸有兩個交點<0 時，方程 ax22bxc0 （ a0）沒有實根，拋物線與x 軸沒有交點 0 時，方程 axbx c0 （ a0 ）有一個實根，拋物線與x 軸有一個交點，或者說拋物線與 x 軸相切§ 2.4 函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程零點與根的關(guān)系：零點：對于函數(shù)定理：如果函數(shù)