1、第12次課 第第 三三 節節 相關分析及其應用相關分析及其應用 第第 四四 節節 功率譜分析及其應用功率譜分析及其應用復習前面學過的隨機信號的特征及特征參數一、概述 隨機信號是不能用確定的數學關系式來描述的不能預測其未來任何瞬時值，任何一次觀測值只代表在其變動范圍中可能產生的結果之一，但其值的變動服從統計規律。隨機信號隨機信號隨機過程平穩過程非平穩過程各態歷經隨機過程非各態歷經隨機過程二、隨機信號的主要特征參數（一）均值、方差和均方值均值、方差和均方值1、均值為ux. 均值表示信號的常值分量。 ux2描述了信號的靜態量。 dttxTTTx01lim 2、方差描述隨機信號的波動分量，它是偏離均值

2、ux的平方的均值，即 方差反映了信號繞均值的波動程度。3、均方值2x描述隨機信號的強度，它是x(t)平方的均值，即均方值的正平方根稱為均方根值均值、方差、和均方值的相互關系是222xxx dttxTTTx0221limrmsx在工程信號測量中一般儀器的表頭示值顯示的就是信號的均方值。 一、相關系數一、相關系數二、自相關函數及應用舉例三、互相關函數及應用舉例第第 三三 節相關分析及其應用節相關分析及其應用一、一、兩隨機變量的相關系數兩隨機變量的相關系數對于變量之間的相關程度常用相對于變量之間的相關程度常用相關系數表示之關系數表示之yxyxxyyxE意 義目 錄y yxx0y y0 2222yyx

3、xyxyyxxyExEyxyExxExE的標準差，、隨機變量、的均值，隨機變量的均值，隨機變量數學期望；又利用柯西-許瓦茲不等式222yxyxyExEyxE1xy接近1，兩量的相關性愈好接近于0，兩變量之間無關目 錄二、信號的自相關函數1、自相關函數定義過程設x(t)是某各態歷經隨機過程的一個樣本記錄， 是 x(t) 時移后的樣本，在任何時刻 ，從兩個樣本得到兩個量值 和 ，而且它們具有相同的均值和標準差。同時把 簡寫作 ，那么有txitt itxitx 201limxxTxTxdttxtxT目 錄)()(txtx)(x將分子展開并由于有 xTTxTTdttxTdttxT001lim1lim

4、2021limxTxTxdttxtxT對各態歷經隨機信號及功率信號定義自相關函數 為 xR TTxdttxtxTR01lim目 錄 通過公式可知， 和 均隨 而變化，且兩者成線性關系。 22xxxxR 2、 自相關函數具有的性質：1）由上是式有 又由于 所以 22xxxxR 1x 2222xxxxxR2）自相關函數在 時為最大值，等于信號的均方值0目 錄)(x xR 201lim0 xTTxdttxtxTR3）當 足夠大時或 時，隨機變量x(t)和 之間不存在內在聯系，彼此無關。4）因為x(t)提前或滯后，x(t)、x(t+) 、 x(t-) 具有相同的均值和標準差，即 故自相關函數為偶函數

5、5）周期周期函數的自相關函數仍為同頻率同頻率的周期周期函數，其幅值與原周期函數的幅值有關，但丟失了相位丟失了相位信息。)(tx)()(xxRR2000 )(lim1lim)(1lim)()(1limlim)(0)(xxxTTTTTTxxdttxTdttxTdttxtxTR解：該正弦函數的自相關函數為式中 dtttxTdttxtxTRTTTx002000sinsin11lim2,00TT正弦函數的周期目 錄例5-1求正弦函數x(t)=x0sin(t+)的自相關函數，初始相角為一隨機變量。例題分析令 ，則 ，于是)(cos2)cos(2)sin40)202(cos2)sin42sin)22sin2

6、1(cos2)sin22sin)22cos1(cos2)sincoscos(sinsin2sinsin22020202020202020202020 xxxxdxdxdxRxtddt 可見，正弦函數的自相關函數是一個余弦函數，在=0時具有最大值，但它不隨的增加而衰減至零。它保留了原正弦信號的幅值和頻率信息，而丟失了初始相位信息.以下有四種典型信號的自相關函數自相關函數 分析一個實例-關于某一機械加工表面粗糙度的波形。3、工程應用 區別信號類型 檢測混雜在隨機信號中的周期成分。返 回目 錄三、信號的互相關函數1、互相關函數定義過程兩個各態歷經過程的隨機信號x(t)和y (t)的互相關函數 定義為

7、 TTxydttytxR0lim xyR當時移足夠大或趨于無窮時， x(t)和y (t)互不相關， 而 。 的最大變動范圍在 之間，即0 xy yxxyR xyRyxyx yxyxxyyxyxR目 錄 如果x(t)和y (t)兩信號是同頻率的周期信號或者包含有同頻率的成分，那么即使趨于無窮，互相關函數也不收斂并會出現該頻率的周期成分。如兩信號含頻率不等的周期成分，則兩者不相關。就是說同頻相關，不同頻不相關（周期信同頻相關，不同頻不相關（周期信號）號）。2、性質、不是偶函數、在時刻取得最大值、若不含同頻周期分量，、若含同頻周期分量， yxxyxyR0, 也表現有同頻成分xyR,目 錄例題5-2設

8、有兩個周期信號x(t)和y (t) tytytxtxsinsin00 的相位差與；初相時刻的相位角相對于式中tytxttx)(0試求其互相關函數 xyR目 錄解： 因為函數是周期信號，可以用一個共同周期內的平均值代替其整個歷程的平均值，故 cos21sinsin1lim000000yxdtttxTdttytxRTTTxy此例可知，兩個均值為0且同頻率的信號，其互相關函數保留了圓頻率、幅值、及相位差值信息。目 錄例5-3若兩個周期信號的圓頻率不等試求其互相關函數 tytytxtx2010sinsin解：因為兩信號不具有共同的周期，所以有 TTTTxydtttyxTdttytxTR021000si

9、nsin1lim1lim根據正余弦函數的正交性，可知 0 xyR目 錄例題完例題完互相關函數的性質目 錄 xyRyxyxyxyxyx0t0（1）、相關濾波器（2）、測速（3）、測距3、應 用4、相關函數估計 dttytxTRdttxtxTRTxyTx0011目 錄三節完第四節 功率譜分析及其應用 功率譜分析從頻域 提供相關技術所能提供的信息，是研究平穩隨機過程的重要方法。一、自功率譜密度函數二、互功率譜密度函數第四節 功率譜分析及其應用一、自功率譜密度函數1、定義 假定x(t)是零均值的隨機過程，又假定x(t)中沒有周期分量，那么當趨于無窮，自 相關趨于0，則自相關函數 滿足傅立葉變換的條件

10、，有自相關函數 的傅立葉變換和其逆變換 定義 為的自功率譜密度函數，簡稱自譜或自功率譜。 包含著 的全部的信息。因為 為實偶函數 也為實偶函數。由此常用在 xR dRx deRfSfjxx2 dfefSRfjxx2 fSx fSx xR fSx xR 0f目 錄 xR范圍內 來表示信號的全部功率譜，并把 稱為信號x(t)的單邊功率譜， fSfGxx2 fGx 若=0，則根據自相關函數和自功率譜密度函數的定義，可得到 dffSdttxTRxTTx021lim0 可見，自功率譜密度函數的曲線下和頻率軸所包圍的面積就是信號的平均功率。2、物理意義目 錄3、巴塞伐爾定理 在時域中計算的信號總能量，等于

11、在頻域中計算的總能量，這就是巴塞伐爾定理即 dffXdttx22 能量譜密度幅頻譜密度2fXfX推論： 2221lim1lim1limfXTfSdffSPdffXTdttxTPTxxavTTav目 錄4、功率譜的計算功率譜的計算有以下幾種方法。 第一種為布拉克杜開（BlackmanTukey）法。這種方法首先根據原始信號計算出相關函數，然后進行傅 立葉變換而得到相應的功率譜函數； 第二種為模擬濾波器法。它是采用模擬分析儀進行分析計算的一種方法；第三種是庫立第三種是庫立杜開（杜開（CooleyTukey）法）法，即用FFT計算功率譜。前兩種方法是較早采用的方法。由于計算機的飛速發展，用FFT算法

12、進行實時、在線信號處理已經成為現實. FFT算法的估計式: 模擬信號自譜的估計式為： 12 , 1 , 012 NkkXNkSx其中單邊譜 22kXNfGx計算方法目 錄數字信號自譜的估計式為： rRkSkXNkXkXnxtxxIFFTxFFT221平均模平方周期圖法5、工程應用 （1）分析信號的頻域結構FT: X(f) 功率譜： fSx（2）可分析系統的 fH fSfSfxfyfxfyfxfyfHfHfHxy222 fxfyfH返 回目 錄（3）用自譜檢測信號中的周期成分二、互譜密度函數1、定義 如果互相關函數 滿足傅立葉變換的條件 ，則定義稱為信號x(t)和y(t)的互譜密度函數，簡稱互譜

13、。根據傅立葉逆變換，有 xyR deRfSfjxyxy2 dfefSRfjxyxy2目 錄2、互譜分析的估計 對于模擬信號 對于數字信號 iiyxiixyfYfXTfSfYfXTfS11 iixyiixykYkXNkSkYkXNkS113、工程應用 （1）可利用互譜求系統的 （2）可在強噪聲背景下分析系統的傳輸特性 fH fH f fSfSfXfxfXfyfxfyfHxxyX(t)y(t) tn3系統2 tn1系統1 tn2目 錄 tntntntxty321互相關 nxxnxnxxxyRRRRR321 fSfSfSfSfHfSfSRRxxxxxyxxxyxxxy排噪功能目 錄(3)利用功率譜進行設備診斷 圖2.22是汽車變速箱上加速度信號的功率譜圖.圖（a）是變速箱正常工作譜圖，（b）為機器運行不正常時的譜圖。可以看到圖（b）比（a）增加了9.2Hz和18.4Hz兩個譜峰，這兩個頻率為設備故障的診斷提供了依據。 4、相干函數目 錄通常相干函數用2xy