1、數列通項公式的求法集錦非等比、等差數列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎，筆者結合近幾年的高考情況，對數列求通項公式的方法給以歸納總結。一、累加法形如 anan 1f (n) (n=2 、 3、 4 .)且 f (1)f (2).f (n1) 可求，則用累加法求 an 。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1.在數列 an 中， a1 =1， anan 1n1 (n=2 、 3、 4 ) ，求 an 的通項公式。解： n1時， a11n 2時, a2 a1 1 a3 a2 2 a4 a3 3.anan 1n1這 n-1 個等式累加得：n(n 1)ana11 2 . （

2、n-1 ）=2故 an n(n1)a1n2n2且 a11也滿足該式 ann2n2( nN ).222例 2在數列 an 中，a1 =1， an1an2n( n N ),求 an 。n2時 , a2a12a3a222解： n=1 時 ,a =1a4a323以上 n-1個等式累加得1.anan 12n 1an a1 22.2n 12(12n1)n2 ，故 anna1n1 且 a11也滿2=12= 22 22足該式 an2n 1(nN) 。二、累乘法形如 anf ( n)(n=2、 3、 4 ) ，且 f (1) f (2) .f (n1) 可求，則用累乘法an1求 an 。有時若不能直接用，可變形

3、成這種形式，然后用這種方法求解。例 3在數列 an 中， a1 =1， an 1nan ，求 an 。解：由已知得 an 1n ，分別取 n=1、 2、 3 (n-1),代入該式得n-1 個等式累乘，an即 a2. a3. a4 . an=1 × 2 × 3 × × (n-1)=(n-1)!所 以 時 ， an(n 1)! 故a1a2a3an 1a1an(n1)!且 a1 0! =1 也適用該式 an(n 1)!( nN ).例 4已知數列 an 滿足 a1 =2 ， an1nan ，求 an 。3n1解：由已知得an1n，分別令 n=1， 2， 3，

4、.(n-1),代入ann1上式得 n-1個等式累乘，即a2 . a3 . a4 . an=1 23.n1a1 a2 a3an 12 3 4n所以 an1，又因為 a12也滿足該式，所以an2。a1n33n三、構造等比數列法原數列 an 既不等差，也不等比。若把 an 中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出 an 。該法適用于遞推式形如an 1 = banc 或 an1 = banf n 或an 1 = bancn 其中 b、c 為不相等的常數，fn 為一次式。例 5、（ 06 福建理22）已知數列 an 滿足 a1 =1， an 1 =2an1( nN ) ，求數列 an

5、的通項公式。解：構造新數列anp ，其中 p 為常數，使之成為公比是an 的系數2 的等比數列即 an 1p = 2(anp)整理得：an 1 = 2ap 使之滿足 an 1 = 2a1 p=1nn即 an1 是首項為 a11=2， q=2 的等比數列 an1= 2 2n1an = 2n1例 6、（ 07 全國理 21）設數列 an 的首項 a1(0,1) ， an =3 an 1 ，n=2、3、42（）求 an 的通項公式。解：構造新數列an p ，使之成為 q1的等比數列2即 anp =1(an 1 p)整理得： an =133an 12an 1p 滿足 an=222得3 p =3 p=-

6、1即新數列an1 首項為 a11， q1的221121=n 1故）（n1等比數列）（）(a11an =(a1 1+1an22例 7、（ 07 全國理 22）已知數列 an 中， a1 =2， an 1 =(21) (an2)n N（）求 an 的通項公式。解：構造新數列anp，使之成為 q21的等比數列an 1p =(21) (anp)整理得： an1 = (2 1)an +(2 2) p使之 滿足已知條件an 1 = (2 1) an +2 ( 21)( 22) p2( 21) 解得p2 an2 是首項為 22q2 1的等比數列，由此得an2 =(22) ( 2 1)n 1 an = 2(

7、2 1)n2例 8、已知數列 an 中， a1 =1， an 1 = 2an3n ，求數列的通項公式。分析：該數列不同于以上幾個數列，該數列中含3n 是變量，而不是常量了。故應構造新數列 an3n ，其中為常數，使之為公比是an 的系數 2 的等比數列。解：構造數列 an3n ，為不為0 的常數，使之成為q=2 的等比數列即 an 13n 1= 2(an3n )整理得： an1= 2an (23n3n 1)滿 足an 1 = 2an 3n得 2 3n3n 13n1 新 數 列 an3n 是 首 項 為a1 31 = 2 ， q=2 的等比數列 an3n =22n1 an = 3n2n例 9、（

8、 07 天津文20）在數列 an 中， a1 =2， an1 = 4an3n1 ，求數列的通項an 。解：構造新數列annq=4的等比數列， 則an 1(n1) = 4(ann) ，使之成為整理得：an1 = 4an3n滿足 an1 = 4an3n1 ，即 3 n3n1得1 新數列 ann的首項為 a111，q=4 的等比數列 an n 4n 1 an4n 1n四、構造等差數列法數列 an 既不等差， 也不等比， 遞推關系式形如ababn 1f ( n) ，那么把兩邊n 1n同除以 bn 1 后，想法構造一個等差數列，從而間接求出an 。例 10（ 07石家莊一模） 數列 an 滿足 an2a

9、n 12n 1 ( n2) 且 a481。求 1)(a1 、a2 、a3 (2) 是否存在一個實數，使此數列 an2n 為等差數列？若存在求出的值及 an ；若不存在，說明理由。解： (1)由 a4 = 2a3241=81得 a3 =33；又 a3 = 2a2231 =33 得 a2 =13；又 a2 =2a1221=13， a1 =5(2) 假設存在一個實數，使此數列 an 為等差數列2n即 anan1=an2an1=2n1=11該數為常數2n2n 12n2n2n=1即 an1 為首項 a112 ， d=1 的等差數列2n21 an1 =2+ (n 1)1=n+1 an = (n1)2n12

10、n例 11、數列 an 滿足 an1=2an (2)n1(nN) ，首項為 a12 ，求數列 an 的通項公式。解： an 1 =2a( 2)n1 兩邊同除以 (2)n 1 得an 1=an+1n(2) n1 ( 2)n數列 ann1=1 d=1的等差數列ann=1+(n 1)1 n 是首項為2，(2)( 2)(2)故 an = n(2)n例 12數列 a 中， a =5，且 a3a13n1 （ n=2、 3、4），試求數列 a n1nnn的通項公式。解：構造一個新數列 an ， 為常數，使之成為等差數列， 即 anan 1d3n3n3n1整理得 a3a13n d +3 ，讓該式滿足a3a3n

11、1 取 d 3n3n ，nnnn 11ana11321 得2，即是首項為d=1的等差數列。，公差2d=13n312an131112(n 1) 1 n) 3n故3n2 an = ( n222例 13、（ 07 天津理21）在數列 an 中， a1 =2，且 an 1ann 1(2 )2 n（ nN ）其中0， ( ) 求數列 an 的通項公式。解：n 1的底數與 an的系數相同，則兩邊除以n 1得an 1an12n 12nn 1nn 1nan 12n 1an 2nan2na12即n 1n1 n 是首項為0 ，公差 d=1 的等差數列。 ann2n0 (n 1) n 1 an(n 1) n2n 。

12、五、取倒數法有些關于通項的遞推關系式變形后含有anan 1 項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以 anan1 后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出an 。例 14、已知數列 an ， a1 =1， an 1annN ，求 an =？1an解：把原式變形得an1an 1anan兩邊同除以 anan 1 得 111anan1 1是首項為1， d=1的等差數列故11(n 1)( 1)n an1。anann例 15、（ 06 江西理22）已知數列 an 滿足 a133nan 1（ n2 nN）2，且 ann2an 11( ) 求數列 an 的通項公式。解：把原式變形成2an an1

13、(n 1)an3nan 1兩邊同除以 an an 1 得即 n1 n 12 構造新數列 n ，使其成為公比q=1 的等比數列an3 an 13an3即 n1 ( n1) 整理得：nn12滿足式使221an3 an 1an3an 1333數列 n1 是首項為111， q=1 的等比數列ana133 n11 (1) n 1(1)n ann 3n。an3333n1例 16（ 06 江西文22）已知各項均為正數的數列 an 滿足： a132an 1anan an 1，且an 12ann N 求數列 an 的通項公式。解：把原式變形為2an 1ananan 1 (2anan1 )兩邊同除以 a a1得

14、212anan 1移項得：1an12( 1an )n nanan 1an 1an所以新數列 1an 是首項為1138ana1a1q=2 的等比數列。33故1an12n2解關于an 的方程得 an1(2n 122 n 29)。an33六利用公式 anSnSn1( n 2) 求通項有 些 數 列 給 出 an 的 前 n 項 和 Sn 與 an 的 關 系 式 Sn =f (an ) ， 利 用 該 式 寫 出Sn 1f (an 1 ) ，兩式做差，再利用an1Sn1Sn 導出 an1 與 an 的遞推式，從而求出an 。例 17.(07重慶 21題) 已知各項均為正數的數列 a 的前 n項和為

15、S滿足S1且6S=nn1n(an 1)(an2)n N求 an 的通項公式。解：由 a1S1 =1 ( a1 1)(a12) 解得 a1 =1 或 a1 =2，由已知 a1S1 1，因此 a1 =2 又由6aSS = 1 ( an 1 1)(an 12)1 (an 1)(an2) 得n 1n1n66(an 1an )(an1an3)=0 an 0 an 1an 3從而 a 是首項為2，公差為3 的等差數列，故 a 的通項為 a =2+3(n-1)=3n-1.nnn例 18.(07陜西理22) 已知各項全不為 0 的數列 ak 的前 k 項和為 Sk ，且 Sk =1 ak ak1 (k 2N

16、) 其中 a1 =1，求數列 ak 的通項公式。1a1a2 及 a1 =1 得 a2 =2；當 k 2 時，解：當 k=1 時， a1 S1 =2由 ak = SkSk 1 = 1 ak ak 11 ak 1 ak 得 ak (ak 1ak 1 ) =2 ak ak 0 ak 1 ak 1 =222從而 a=1+(m-1)2=2m-1a2m=2+(m-1)2=2m (m N )故 a =k (k N ).2m 1k例 19.(07 福建文21) 數列 an 的前 n 項和為 Sn ， a1 =1， an 12Sn (n N ), 求 an 的通項公式。解：由 a1 =1， a22S1 =2，當

17、 n 2 時 an = SnSn1 =1( an 1an ) 得 an 1 =3，因此 an 是2an首項為 a2 =2，q=3 的等比數列。故an = 23n 2(n2), 而 a1 =1 不滿足該式所以 a =1(n=1)。n23n 2 ( n 2)例 20.(06 全國理 22) 該數列 an 的前 n 項和 Sn4 an12n 12(n=1 、2、3 )求333 an 的通項公式。解：由 Sn4 an1 2n 12(n=1、 2、 3 ) 得 a1S1 =4 a1142333333所以 a1 =2 再 Sn 1= 4 an 112n2（ n=2、 3）33431將和相減得：an = S

18、nSn 1=(anan 1 )(2 n 12n )33整理得 an 2n4(an 12n 1) （ n=2、3）因而數列 an2n 是首項為 a12 4,q=4的等比數列。即 an2n = 44n 1 = 4n ，因而 an4n2n 。七重新構造新方程組求通項法有時數列 an 和 bn 的通項以方程組的形式給出，要想求出an 與 bn 必須得重新構造關于 an 和 bn 的方程組，然后解新方程組求得an 和 bn 。a3 a1 b1例 21.（ 07 遼寧第 21 題）：已知數列 an ， bn 滿足 a1 =2，b1 =1 且n4n 14 n 11 a3 bb1n4n 14 n1（ n 2

19、） , 求數列 an ， bn 的通項公式。解析：兩式相加得anbnan1 bn12則 anbn 是首項為 a1 b13，d=2 的等差數列，故 anbn =3+2(n-1)=2n+1 (1)而兩式相減得 anbn=1 an 11 bn 1 =1 ( an 1bn 1 ) 則 anbn 是首項為 a1b1 =1，q=12222的等比數列，故ab = ( 1) n 1 (2)nn2anbn2n 111)n ， bn n11)n 。聯立 (1) 、 (2) 得anbn1)n 1由此得 ann(22222分析 該題條件新穎 ,給出的數據比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構造成等差或等比數列，從而再

20、通過解方程組很順利求出 a 、 b 的通項公式。若改變一下數據，又nn該怎樣解決呢？下面給出一種通法。例 22.在數列 a 、 b 中 a =2，b =1，且 an12an6bn（ n N）求數列 a 和 b nn11bn1an7bnnn的通項公式。解析：顯然再把an 1 與 bn 1 做和或做差已無規律可循。不妨構造新數列anbn 其中為0的常數。則an 1bn 1 = 2an 6bn( an7bn ) = (2) an + (76)bn = (2)( an76 bn ) 令276 得1=2或 2=3 則 anbn 為首項 a1b1， q= +2 的等比數列。2即 1 =2 時， an2bn 是首項為4， q=4 的等比數列，故an2bn =4× 4n1 =4n ；2 =3 時， an3bn 是首項為5， q=5 的等比數列，故an3bn =5× 5n1 =5n聯立二式an2bn4n解得 a3 4n25n ，b5n4n 。an3bn5nnn注：該法也可適用于例21，下