1、圖形的相似全章復習與鞏固-知識講解(基礎)【學習目標】1、了解比例的基本性質，線段的比、成比例線段；2、通過實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質和判定方法解決生活中的一些實際問題；3、掌握三角形中位線以及梯形中位線、三角形重心的定義、性質及應用；4、相似圖形性質和判定方法的探索和證明，進一步培養推理能力，發展邏輯思維能力和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力【知識網絡】佛形中位線【要點梳理】要點一、相似圖形及比例線段1.相

2、似圖形： 在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).要點詮釋：(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2 .相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形.要點詮釋：(1)相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質.(2)相似多邊形對應邊的比稱為相似比.abcd,對于四條線段如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，、3.比例線段：abcd,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.：=如要點詮釋：abcdad=bc；

3、 (d=也叫第四比例項):(1)若：，貝U 2bcab=bc =acba ,則的比例中項)(稱為.、) 若(2:要點二、相似三角形：1.相似三角形的判定如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩 判定方法(一)：.個三角形相似 要點詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似判定方法(二)：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三 角形相似.要點詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結

4、果可能是錯誤的判定方法(三)：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似相似三角形的性質：2. (1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；(2)相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段(3)相似三角形周長的比等于相似比；(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。3 .相似多邊形的性質：(1)相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.(2)相似多邊形的周長比等于相似比.(3)相似多邊形的面積比等于相似比的平方.要點三、中位線1 .三角形的中位線： 連接三角形兩邊中

5、點的線段叫做三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半要點詮釋：(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數量關系(2)三角形的三條中位線把原三角形分成全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為11,每個小三角形的面積為原三角形面積的原三角形周長的.42 (3)三角形的中位線不同于三角形的中線.2 .梯形的中位線： 連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線性質：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半3 .三角形的重心概念：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心.1.重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的性質：一I 3要點四、位似1 .

6、位似圖形定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.2 .位似圖形的性質：(1)位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；(2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；(3)位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行要點五、圖形與坐標根據已知條件，建立適當的平面直角坐標系，是確定點的位置的必經過程，只有建立了適當的直角坐標系，點的位置才能得以確定，才能使數與形有機地結合在一起.利用平面直角坐標系繪制區域內一些地點分布情況的過程：(1)建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定 x軸，y軸的正方向;)根據具體問

7、題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；2 (.(3)在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱.1 .點的平移：在平面直角坐標系中，將點 (x, y)向右或向左平移 a個單位長度，可以得到對應點 (x+a, y)或 (x a, y)；將點(x , y)向上或向下平移 b個單位長度，可以得到對應點(x , y + b)或(x , y b). 要點詮釋：(1)在坐標系內，左右平移的點的坐標規律：右加左減；(2)在坐標系內，上下平移的點的坐標規律：上加下減；(3)在坐標系內，平移的點的坐標規律：沿x軸平移縱坐標不變，沿y軸平移橫坐標不變.2 .圖形的平移：在平面直角坐標系內，如果把

8、一個圖形各個點的橫坐標都加上(或減去)一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加上(或減去)一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度.要點詮釋：(1)平移是圖形的整體位置的移動，圖形上各點都發生相同性質的變化，因此圖形的平移問題 可以轉化為點的平移問題來解決.(2)平移只改變圖形的位置，圖形的大小和形狀不發生變化【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段DE=21. (2016?崇明縣一模)如圖，已知AD II BE II CF,它們依次交直線1、l于點A、B、21EF 5AC=14 ; ED、F C 和點(1)求 AB

9、、BC 的長；(2)如果 AD=7 , CF=14,求 BE 的長.nAB 2而不)由平行線分線段成比例定理和比例的性質得出，即可求出AB (1的【思路點撥】 長，彳導出BC的長；(2)過點A作AG II DF交BE于點H,交CF于點G,得出AD=HE=GF=7 ,由平行線分線段成比例定理得出比例式求出 BH,即可得出結果.【答案與解析】AB_DE 2解：(1) AD / BE / CF, BC , AB 2而7AC=14 , AB=4 ,.BC=144=10;(2)過點A作AG II DF交BE于點H ,交CF于點G,如圖所示:又 AD II BE II CF, AD=7 ,AD=HE=GF

10、=7 ,. CF=14 ,2 .CG=147=7,BH 二 AB /3 . BE II CF, CG -AC 14 .BH=2 ,BE=2 +7=9 .BH【總結升華】 本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成是解熟練掌握平行線分線段成比例，比例；通過作輔助線運用平行線分線段成比例求出決問題的關鍵.舉一反三BF =【變式】如圖，已知直線 a / b / c,直線mi n與a、b、c分別交于點 A、C、E、B、D F, ().36, BD=,則 4AC=, CE=A . 7 B . 7.5 C .8 D . 8.5【答案】B.類型二、相似三角形【高清課堂：相似專題復習

11、 關聯的位置名稱（播放點名稱）ID 號：394502:一一線三等角”問題及例5】2.【答案與解析】 是CD的中點，BP=3PCQ1CPCQABCDPBCBPPCQCQC吃AADg求證：的中點，是，=3上的點，是中，在正方形/QCP=90又ADQ=,. A AD(Q QCP.【總結升華】本題考查了相似三角形對應角相等的性質，以及相似三角形的判定A 作 AF II BC3.如圖所示，在 ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點 交ED的延長線于點 F,連接AE , CF.求證：（1）四邊形AFCE是平行四邊形； FG?BE=CE?AE.【答案與解析】(1)證明：: AF II BC

12、, ./ AFD= / DEC , ,/ FDA= / CDE , D 是 AC 的中點， A ADFA EDC ,AF=CE ,AF II BC ,.四邊形AFCE是平行四邊形；(2)證明：.四邊形 AFCE是平行四邊形, / AFC= / AEC , AF=CE ,AF II BC , ./ FAB= / ABE , . afgs bea , AE BE,AE?BE=AF ?FG：.AE.FG?BE=CE?根據已【總結升華】 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質和相似三角形的判定與性質，BEA是解決問題的關鍵.知得出證明等積式需證明AFGA 舉一反三AE .中，E為BC邊上的一點.連結【變

13、式】在平行四邊形ABCD D ; AB=AE ,求證：/ DAE=/ （1）若FA的值.F,求EF:）若點E為BC的中點，連接 BD ,交AE于（2答案與解析】，中，AD / BC證明：（1 ）在平行四邊形 ABCD ,/ AEB= / EAD，: AE=AB ,;DAE= / D . . /EFBE 二武誣是平行四邊形，2） .四邊,BC, AD=BC .AD II BEFAFD ,的中點，.BC=ADBE= , : 2. EF: FA=1 類型三、中位線與重心D為AC的4.在 ABC中,AC=BC / ACB=90 , (1)如圖1, E為線段DC上任意一點，將線段 DE繞點D逆時針旋轉9

14、0° 得到線段DF,連接CF,過點F作FH, FC,交直線AB于點H.判斷FH與FC的數量關系并加以證 明；(2)如圖2,若E為線段DC的延長線上任意一點，(1)中的其他條件不變，.明證必不，論結的你出寫接直，變改生發否是論結的出得中)1 (在你.G為定得出點三角形中位線的判于【思路點撥】(1)延長DF交AB點G,根據位線的性質及已知條件AC=BC得出AB的中點，根據中 DC=DG從而EC=FG易證/ 1 = 2 2=90° -/DFC / CEF=Z FGH=135 ,由 AAS證出 CEF FGH .CF=FH (2)通過證明 CEF FGH導出.【答案與解析】由題意，

15、知/ EDF=/ ACB=90 , DE=DF .DG/ CB, 點D為AC的中點，1AC,且 DC=為 AB 的中點，點G2 的，中位線DG 為 ABdBCDG. z. 2/AC=BC .DC=DG.DC-DE=DG-DF即 EC=FGEDF=90° , Fhl± FC,. / 1+/CFD=90° , / 2+/CFD=90° , ./ 1=/2. DEF與 ADGIB是等腰直角三角形， DGA=45° , / DEF=/.FGH=135° , ./ CEF之，.CEF FGHCF=FH等.FH與 FC仍然相（2）綜知識位線， 定

16、理等的判定和性質、三角形中等【總結升華】 考查了全三角形 較大.合性強，難度 舉一反三垂線的平分 BC上，/ ABC為26,點D, E都在邊【變式】如圖， ABC的周長ACB的平分線垂直 于AD,垂足為P,若BC=10,則直于AE,垂足為Q, / PQ的長為（）.35 B.A.C.3 D. 422【答案】C. BQ平分 / ABC, BQL AE,.BAE是等腰三角形，同理 CAD是等腰三角形， 點Q是AE中點，點 P是AD中點（三線合一）， .PQ是 ADE的中位線，BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16 .DE=BE+CD-BC=6歌1DE=3.故選C：PQ三2， 5.如圖，

17、梯形ABCD中，AD/ BG E為BC上任意一點，連接AE、 DB G G G分別為 ABE, ADE, DEC的重心，BC=2AD=12梯形的高為 6,求4 32GGG勺面【答案與解析】連接AG并延長交 BC于點F,連接DG并延長交BC于點K,連接EG并延班長交AD于點Q, 交 GG于點 P, 31 G G、G分別為 ABE, AADE ADEC的重心，32/lBE, CK=EF= G/ II A ADFKGEC22EF E 長 CFK=BE+ECECBBEBC=2AD=1FK=AAFK=AD=FK=QDK=EEEQ=E6=PE 6X 2=62 質性邊行四形的行線的性質以及平心 【總結升華】 考查了三角形重的性質、平 用想的應合，注意數形結思注題難度較大，意掌握輔助線的作法.與判定此類型四、圖形與坐標 55BC=6,知 ABC中，AB=2AC=46.已（1）如圖1,點M為AB的中點，在線段 AC上取點N,使 AMN 與 ABC相似，求線段MN的長；（2）如圖2,是由100個邊長為1的小正方形組成的 10X10的正方形網格，設頂點在這些小正 方形頂點的三角形為格點三角形.請你在所給的網格中畫出格點ABC與 ABC全等（畫出一個即可，不需證