1、第三章第三章 一階微分方程解的一階微分方程解的 存在唯一性定理存在唯一性定理existence & uniqueness theorem of first-order ode2021-11-141 1常微分方程-重慶科技學院-李可人3.3 解對初值的連續性和可解對初值的連續性和可微性微性/continuous and differentiable dependence of the solutions/ 解對初值的連續性解對初值的連續性 解對初值的可微性解對初值的可微性本節要求本節要求： 1 了解解對初值及參數的連續依賴性定理；了解解對初值及參數的連續依賴性定理； 2 了解解對初值及參

2、數的可微性定理。了解解對初值及參數的可微性定理。內容提要內容提要3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-143 3常微分方程-重慶科技學院-李可人3.3.1 解對初值的對稱性定理解對初值的對稱性定理設 f (x,y) 于域 d 內連續且關于 y 滿足利普希茨條件，),(,),(0000 yxxygyx是初值問題00)( ),(yxyyxfdxdy的唯一解，則在此表達式中， 與 可以調換其相對位置，即在解的存在范圍內成立著關系式3.3 continuity & dif

3、ferentiability continuity & differentiability),(00yx),(yx),(00yxxy2021-11-144 4常微分方程-重慶科技學院-李可人3.3.2解對初值的連續依賴性定理解對初值的連續依賴性定理假設 f (x,y) 于域 g 內連續且關于 y 滿足局部利普希茨條件，),(,),(0000 yxxygyx是初值問題00 yxyyxfdxdy)(),(的解，它于區間 有定義 ，那么，對任意給定的 ，必存在正數， 使得當bxa)(bxa00),(ba2200200)()(yyxx時，方程滿足條件 的解00yxy)(),(00yxxy在區間

4、bxa也有定義，并且bxayxxyxx 0000,),(),(3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-145 5常微分方程-重慶科技學院-李可人引理引理 如果 f(x,y) 在某域 d 內連續，且關于 y 滿足利普希茲條件（利普希茲常數為l），則方程(3.1.1)任意兩個解 在它們公共存在區間成立不等式)()(xx及000 xxlexxxx)()()()(其中 為所考慮區間內的某一值。0 x證明證明設 在區間 均有定義，令)(),(xxbxa2)()()(xxxvbxa不妨

5、設因此，有( )( )xx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-146 6常微分方程-重慶科技學院-李可人則)()()()()(xxxxxv2),(),()()(xfxfxx 2)()()()(xxxxl 2)(xlv20222lxlxexlvexv)()(于是02)(lxexvdxd因此，在區間 a,b 上 為減函數，有lxexv2)(02 ()00( )(),l x xv xv x exxb3.3 continuity & differentiability

6、continuity & differentiability2021-11-147 7常微分方程-重慶科技學院-李可人對于區間，并記令000txtxxxa,則則),(ytfdtdy并且已知它有解)(),(tyty類似以上推導過程，令2)()()(ttt)()(tt2attettttl0200,)()()(注意到)()()()(00 xvtxvtxt及0200 xxaexvxvxxl,)()()(因此0200( )(),l x xv xv x eaxb axb兩邊取平方根，得000 xxlexxxx)()()()(3.3 continuity & differentiabilit

7、y continuity & differentiability2021-11-148 8常微分方程-重慶科技學院-李可人解對初值的連續依賴性定理的證明解對初值的連續依賴性定理的證明（一）構造滿足利普希茨條件的有界閉區域（一）構造滿足利普希茨條件的有界閉區域因為，積分曲線段bxaxyxxys :00),(),(是 x y 平面上一個有界閉集，又按假定對s上每一點(x,y)必存在一個以它為中心的開圓 使在其內函數 f(x , y) 關于 y 滿足利普希茨條件。根據有限覆蓋定理，可以找到有限個具有這種性質的圓 并且它們的全體覆蓋了整個積分曲線段s。設 為圓 的半徑， 表示 f(x,y) 于

8、 內的相應的利普希茨常數。,:gcc),(nici21iricilic3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-149 9常微分方程-重慶科技學院-李可人令,inicg1 則有,ggs且 的邊界與s的距離 。對預先給定的g00若取),max(),min(nllll21 2及則以s上每一點為中心，以 為半徑的圓的全體，連同它們的圓周一起構成s的有界閉域 ，且 f (x，y)gd 在d上關于 y 滿足利普希茨條件，利普希茨常數為l。3.3 continuity & dif

9、ferentiability continuity & differentiability2021-11-141010常微分方程-重慶科技學院-李可人（二）解對初值的連續依賴性（二）解對初值的連續依賴性斷言，必存在這樣的正數),(),( ba使得只要 滿足不等式2200200)()(yyxx則解 必然在區間 00yx ,)(),(xyxxy00bxa也有定義。由于d是有界閉區域，且 f (x，y)在其內關于 y 滿足利普希茨條件，由延拓性定理知，解 必能延拓到區域d的邊界上。設它在d的邊界上的點為),(00yxxy和)(,(cc,),(,(dcdd這時必然有.,bdac3.3 cont

10、inuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141111常微分方程-重慶科技學院-李可人因為否則設 則由引理,bdacdxcexxxxxxl,)()()()(000由 的連續性，對)(x,)(able211必存在,02使得當 時有20 xx10)()(xx取),min(21則當2200200)()(yyxx022002xxlexxxx)()()()(0220000 xxlexxxx)()()()(3.3 continuity & differentiability continuity

11、 & differentiability2021-11-141212常微分方程-重慶科技學院-李可人022002xxlexxxx)()()()(0220000 xxlexxxx)()()()(02200200 2xxlexxxx)()()()(222 ()1002 l b ayye22 ()214l b aedxc,于是)()(xx對一切 成立，特別地有, dcx)()(cc)()(dd即點和)(,(cc)(,(dd均落在d的內部，而不可能位于d的邊界上。與假設矛盾，因此，解 在區間a,b上有定義。)(x3.3 continuity & differentiability co

12、ntinuity & differentiability2021-11-141313常微分方程-重慶科技學院-李可人)()(xxdxc,在不等式中，將區間c，d換為a，b ，可知 ，當2200200)()(yyxx時，有bxayxxyxx 0000,),(),(定理得證。3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141414常微分方程-重慶科技學院-李可人的解 作為 的函數在它的存在范圍內是連續的。解對初值的連續性定理解對初值的連續性定理假設 f (x,y) 于域 g

13、 內連續且關于 y 滿足局部利普希茨條件，則方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141515常微分方程-重慶科技學院-李可人1.1. 含參數的一階方程表示含參數的一階方程表示)(),(eyxfdxdy ,),(:gyxg2. 2. 一致利普希茲條件一致利普希茲條件 設函數),(yxf一致地一致地關于 y 滿足局部利普希茲局部利普希茲 (lipschitz)(lipschitz)條件條件，為中心的球 ，使得對任何2

14、121yylyxfyxf),(),(其中l 是與 無關的正數。在 內連續，且在 內gg即對 內的每一點 都存在以成立不等式g),(yx),(yxgc ),(1yx),(2yx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141616常微分方程-重慶科技學院-李可人由解的存在唯一性定理，對每一方程 的解唯一確定。記為e),(000yxxy ),(03.3 continuity & differentiability continuity & differentiab

15、ility2021-11-141717常微分方程-重慶科技學院-李可人解對初值和參數的連續依賴性定理解對初值和參數的連續依賴性定理假設 于域 內連續，且在 內關于 y 一致地滿足局部利普希茨條件，),(,),(000000 yxxygyx是方程 通過點 的解，在區間 那么，對任意給定的 ，必存在正數bxa,bxa00),(ba220200200)()()(yyxx時，方程滿足條件 的解00yxy)(),(00yxxy 在區間bxa也有定義，并且bxayxxyxx 00000,),(),(),(yxfgge),(00yx有定義其中使得當3.3 continuity & different

16、iability continuity & differentiability2021-11-141818常微分方程-重慶科技學院-李可人的解 作為 的函數在它的存在范圍內是連續的。解對初值和參數的連續性定理解對初值和參數的連續性定理),(00 yxxy ),(yxfdxdy,00yxx假設 于域 內連續，且在 內關于 y 一致地滿足局部利普希茨條件，則方程),(yxfgg3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-141919常微分方程-重慶科技學院-李可人3.3.3

17、解對初值的可微性定理解對初值的可微性定理的解 作為 的函數在它的存在范圍內是連續可微的。若函數 f (x,y) 以及 都在區域 g 內連續，則方程),(00 yxxy ),(yxfdxdy00yxx,yf3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142020常微分方程-重慶科技學院-李可人解分別是下列初值問題的00yx,000( , ) ()(,)dzf xzdxyz xf xy 0( , ) ()1dzf xzdxyz xxxdxyxfyxfx0000),(exp),(xx

18、dxyxfy00),(exp),(,(00yxxxfx3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142121常微分方程-重慶科技學院-李可人證明證明yf由在區域 g 內連續，推知 f (x,y)在g 內關于 y 滿足局部利普希茨條件。因此，解對初值的連續性定理成立，即),(00 yxxy下面進一步證明對于函數 的存在范圍內任一點的偏導數),(00 yxxy00yxx,在它的存在范圍內關于 是連續的。存在且連續。00 yxx,3.3 continuity & diffe

19、rentiability continuity & differentiability2021-11-142222常微分方程-重慶科技學院-李可人設由初值),(),(00000 yxxxyyxxy 和為足夠小的正數）所確定的方程的解分別為,)(,(),(000000 xyxxyx 和即 )( 00dxx,fyxx )( 000dxx,fyxxx 于是 )()( 000dxx,fdxx,fxxxxx )()(0000dxyx,fdxx,fxxxxx)()( 其中.10先證0 x存在且連續。3.3 continuity & differentiability continuity

20、& differentiability2021-11-142323常微分方程-重慶科技學院-李可人注意到 及的連續性，有yf,1)()(ryx,fyx,f)(其中 具有性質1r。時，且當時當0 00 01010rxrx 類似地2000)( )(1000r,yxfdxx,fxxxx 其中 與 具有相同的性質，因此對2r1r 00時，有x 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142424常微分方程-重慶科技學院-李可人 )()( 0120000dxxryx,fr,y

21、xfxxx 0 x 即是初值問題00001)(zryxfxzzryx,fdxdz),()(的解，在這里 被視為參數。 00 x 顯然，當 時上述初值問題仍然有解。00 x 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142525常微分方程-重慶科技學院-李可人0 x 根據解對初值和參數的連續性定理，知是000 xzxx ,的連續函數。從而存在0000 xxx lim而是初值問題),()(000)(yxfxzzyx,fdxdz的解。0 x0000( , )(,)expxxf xf

22、 x ydxxy 且 ，顯然00yxx,的連續函數。它是3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142626常微分方程-重慶科技學院-李可人再證存在且連續。0y為初值),(000 yyxxy ),(000yyx 設)(0y 所確定的方程的解。類似地可推證0y 是初值問題1)(03)(xzzryx,fdxdz的解。因而xxdxryxfx030),(exp 3.3 continuity & differentiability continuity & differentiability2021-11-142727常微分方程-重慶科技學院-李可人其中 具有性質3r。時，且當時當0 00 03030ryry xxydxyxfyy00000),(explim 故有至于 的存