1、曲線積分習題課曲線積分習題課主要內容主要內容典型例題典型例題一、主要內容一、主要內容1. 兩類曲線積分的概念兩類曲線積分的概念, 兩類曲線積分兩類曲線積分 的性質及兩類曲線積分的關系的性質及兩類曲線積分的關系.2. 兩類曲線積分的計算方法兩類曲線積分的計算方法.3. 格林公式格林公式, 平面曲線積分與路徑無關平面曲線積分與路徑無關 的條件的條件. 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 聯聯系系dsqpqdy

2、pdxll)coscos( 計計算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定二代一定 (與方向有關與方向有關)與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區區域域d上上),(),(yxqyxp具具有有連連續續的的一一階階偏偏導導數數, ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . lqdypdxd與路徑無關與路徑無關內內在在)1( cdcqdypdx閉曲線閉曲線, 0)2(qdypdxduyxud 使使內存在內存在在在),()3(xqypd ,)4(內內在在等等價價命命題題 .0:,)( :22222zyx

3、rzyxcdsyzic其中其中計算計算例例 ccdsyzdsi21：解解輪換對稱性輪換對稱性數數由由積積分分曲曲線線化化簡簡被被積積函函.322332rrr 二、二、典型例題典型例題 ccdszyxdszyx)(31)31222（ cdsr2310化化為為參參數數方方程程。將將解解c2 .0:2222zyxrzyxc,243)2(222ryyxz 得得消去消去 trycsin62:trtrxsin6cos2 trtrzsin6cos2 .20 t再求解。再求解。例例. 計算計算,dsxil 其中其中l為雙紐線為雙紐線)0()()(222222 ayxayx解解:故其在第一象限部分為故其在第一象

4、限部分為)40(2cos:1 arl利用利用對稱性對稱性 , 得得sxild41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arl yox在極坐標系下在極坐標系下解解 ypxq ,2),(2xyxyxp 令令,),(42yxyxq x2則則在整個在整個xoy平面上都成立平面上都成立.故此積分與路徑無關故此積分與路徑無關.于是于是,xyo11a 104102)1(dyydxx原式原式.1523 解解xyo)0 ,(aam,cos,sinmyeqmyyepxx 這里這里 yp,cosmyex xq.cos yex. 10:, 0: xyoa補上有向直線段補

5、上有向直線段.daol所圍的區域為所圍的區域為與與并設并設 amoaaoaoaolixyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am ao, 0 082 am.82am amoaaoi0)(00 medxxa思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式).1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1(,2:2 分別為分別為，為閉合回路為閉合回路，其中，其中計算計算練習練習dcbaabcdlyxdyxx

6、ydxil. 1 yxl的的方方程程為為解解： ldyxxydxi22. 0 i由由格格林林公公式式， ypxq ,2),(xyyxp 令令,),(2xyxq x2則則的路徑。的路徑。至點至點再沿直線再沿直線到點到點沿曲線沿曲線由點由點其中其中求求例例)0 , 2(0),0 , 0()1 , 1(,)(cos)12(:2byoxyaldyxeydxexyilyy yxpq ,dacb所所圍圍閉閉區區域域為為補補上上折折線線 21012yxdxdydyyey)cos2(10 12)12(dxex. 11sin e.12x acdcbxdxdyi12 lyyldyxedxeydyxydxicos1

7、2)(cos112)0 , 0()1 , 1(0120013yexdydydxdxx .1sin1)(1sin1)0,0()1 , 1(exey 例例問問 是否為某二元函數是否為某二元函數的全微分的全微分?yyxexxeyyd)2(d)( 求其一個原函數求其一個原函數.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.yp 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 222yxexy 它的一個原函數是：它的一個原函數是：全平面為單連通域，全平面為單連通域，yyxexxeyyxyd)2(d )(),()0 , 0( yyxeyyd )2(0 xxexd )(00 xyo法法一一 )0 ,(x(x,y)xq y

8、e ),(yxu這個原函數也可用下法這個原函數也可用下法“分組分組”湊出湊出: 222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)( )dd(yxexeyy )(dyxe )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二因為函數因為函數u滿足滿足pxu 故故yy2)( 從而從而所以所以,cyxxeyxuy 222),(問問 是否為某二元函數是否為某二元函數的全微分的全微分?yyxexxeyyd)2(d)( 求其一個原函數求其一個原函數.如是如是,xxeuyd )( 22xxey )(y 由此得由此得yxey2 y的待定函數的待定函數法三法三2( )2 dyy y

9、yc xey )(yxey yu 。試試求求恒恒有有無無關關，且且對對任任意意與與路路徑徑，例例設設),(),(2),(2,),(2)(),(), 1()0,0()1 ,()0,0(21yxqdyyxqxydxdyyxqxydxtdyyxqxydxrcyxqttl )(),(2ycxyxq ypxq ，令令xyyxp2),( 得得由由積積分分與與路路徑徑無無關關條條件件解：解：,2x xyo)0,(t(t,1) )1 ,()0,0(),(2tdyyxqxydx ), 1()0,0(),(2tdyyxqxydx ttdyyctdyyc002)()(1 tdyyctdyyct0102)()(由題設

10、得：由題設得：)(12tctt 求導得：求導得：兩邊對兩邊對. 12),(2 yxyxq進而，進而，. 12)( ttc 102)(dyyct 102)(dyyct),(,2),(),(2yxqyuxyyxpxuyxu 使使存在函數存在函數由積分與路徑無關，由積分與路徑無關，解法解法)(2),(2yfyxxydxyxu )(),(2yfxyxq 由已知積分等式得：由已知積分等式得：)()1(), 1()1 ,(2tftfttutu 12)()(12 ttftftt求導得：求導得：兩邊對兩邊對. 12),(2 yxyxq。功功最最大大？并并求求此此最最大大功功所所做做的的一一點點時時，使使的的第

11、第一一卦卦限限部部分分上上的的哪哪沿沿直直線線移移動動到到曲曲面面原原點點，問問將將質質點點從從已已知知力力場場例例fczbyaxokxyjzxiyzf1.222222 ),(wvua一點為一點為設曲面上設曲面上 oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 解：解： oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 10:,: twtzvtyutxoa 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtutdwtvt 1023dttuvwuvw )1(222222 cwbvauuvwf ),(333cba.33abcw )1(222222 cwbvauuvwf 1020202222222222cwbvaucwuvfbvuwfauvw