1、11/14/2021 9:07 am00lim( )()xxf xf x 微積分講義微積分講義設(shè)計制作設(shè)計制作王新心王新心11/14/2021 9:07 am2.6 兩個重要極限兩個重要極限（一）極限存在的準(zhǔn)則（一）極限存在的準(zhǔn)則（二）（二）兩個重要極限兩個重要極限11/14/2021 9:07 am（一）極限存在的準(zhǔn)則（一）極限存在的準(zhǔn)則【定理【定理 2.11】（準(zhǔn)則準(zhǔn)則又稱又稱夾逼定理夾逼定理）limlimyza證證因為limlimyza所以0 , 從某一時刻以后，,yaza恒成立，,ayaaza第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)若在某一變化過程中，yxz系，, ,x y z三個變量總有關(guān)

2、且，lim xa 則下列兩個不等式即11/14/2021 9:07 am所以,axa也就是lim xa 證畢。例例1證明0limsin0 xx 證證當(dāng)時，2x 0sin xx由0lim0 ,xx 再根據(jù)準(zhǔn)則1，得0limsin0 xx 證畢。第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù),xa 即又由,yxz得ayxza11/14/2021 9:07 am例例2證明0limcos1xx 證證201cos2sin2xx由和準(zhǔn)則1，20lim02xx 0lim(1cos )0 xx即0limcos1xx 證畢。第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)222()22xx得11/14/2021 9:07 am【定義【定

3、義】單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 設(shè)數(shù)列( )nyf n 若對如何正整數(shù)，n1( )(1)nnyf nyf n 稱數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列；ny若對如何正整數(shù)，n1( )(1)nnyf nyf n 稱數(shù)列為單調(diào)減少數(shù)列單調(diào)減少數(shù)列。ny第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)恒有恒有單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)減少數(shù)列單調(diào)減少數(shù)列單調(diào)單調(diào)數(shù)列數(shù)列11/14/2021 9:07 am【定理【定理 2.12】（準(zhǔn)則（準(zhǔn)則2）單調(diào)有界數(shù)列必）單調(diào)有界數(shù)列必【定義【定義】有界數(shù)列有界數(shù)列若存在兩個常數(shù)和，m()m mm 例例數(shù)列是單調(diào)增加的數(shù)列，11,nyn且，01ny1lim(1)1nn第二章第二章 極限與連續(xù)

4、極限與連續(xù)n意正整數(shù)，( )nyf n 為有界數(shù)列。使對任( ),nmyf nm恒有則稱數(shù)列有極限有極限。（證明略）則此數(shù)列有極限，11/14/2021 9:07 am01x 2 1 3 2 4 3幾何解釋幾何解釋11nyn說明說明在準(zhǔn)則2中第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)對單調(diào)減少數(shù)列，只要求有下界即可。對單調(diào)減少數(shù)列，只要求有下界即可。對單調(diào)增加數(shù)列，只要求有上界即可；對單調(diào)增加數(shù)列，只要求有上界即可；11/14/2021 9:07 amnx1nxm1x2xxamnx1nx1x2xxb121nnxxxxm lim()nnxamlim()nnxbm121nnxxxxm 第二章第二章 極限與

5、連續(xù)極限與連續(xù)11/14/2021 9:07 am222111lim12nnnnn例例3求解解利用夾逼準(zhǔn)則22211112nnnn2lim1,nnnn 2lim11nnn 且2nnn 21nn 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)所以222111lim112nnnnn11/14/2021 9:07 am（二）（二）兩個重要極限兩個重要極限 dcbax1o0sin(1) lim1xxx (0,)2x 證證當(dāng)圓心角時，aob 的面積的面積圓扇形圓扇形aob的面積的面積aod的面積的面積即111sintan222xxx11sincosxxx(0)2x 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/14/20

6、21 9:07 amsincos1xxx(0)2x 0limcos1 ,xx 0sinlim1xxx證畢。11sincosxxx(0)2x 得到是偶函數(shù)是偶函數(shù)sinxx例例4計算0tanlimxxx解解00tansinlimlimcosxxxxxxx 00sinlimlimcosxxxxx 1 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/14/2021 9:07 am例例5計算0sinlim(0)xkxkx 解解00sinsinlimlimxxkxkxkxkx 0sinlimttktk 例例6計算201coslimxxx 解解201coslimxxx 2022sin2lim4()2xxx 20s

7、in12lim22xxx 12 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)tkx 2202sin2limxxx 11/14/2021 9:07 am1(2)lim(1)xxex證證先證數(shù)列的情況，1(1)nnxn231(1) 1(1)(2) 111!2!3!nn nn nnnnn(1)(1) 1!nn nnnnn1111211(1)(1)(1)2!3!nnn 1121(1)(1)(1)!nnnnn 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)利用二項式定理11/14/2021 9:07 am111(1)1nnxn 1111211(1)(1)(1)2!13!11nnn 1121(1)(1)(1)!111nnnnn

8、 112(1)(1)(1)(1)!111nnnnn第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/14/2021 9:07 am比較可知1(1,2,)nnxxn 又1111(1)112!3!nnxnn 2111111222n 1121112n 1132n 3 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列有極限。nx第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/14/2021 9:07 am記此極限為 e ，e 為無理數(shù)，其值為2.718281828459045e 再證再證1lim(1)xxex當(dāng)時，x 1(1)1xn 1(1)xn1(1)xx 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)1lim(1)nnen即1 ,nxn設(shè)1(1)1nn

9、 11(1)nn 11/14/2021 9:07 am而1lim(1)1nnn e 11lim(1)nnn e 故1lim(1)xxex第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11(1)1lim111nnnn 11lim(1) (1)nnnn11/14/2021 9:07 am故1lim(1),xxex當(dāng)時，x (1)11lim(1)lim(1)1xtxtxt 11lim(1)ttt e 綜合兩式得1lim(1)xxex第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)(1),xt 令t 則11/14/2021 9:07 am若在極限中，1lim(1)xxex得極限的另一種形式10lim(1)ttte第二章第二章

10、極限與連續(xù)極限與連續(xù)1tx 令這種數(shù)學(xué)模型在實際中非常有用，“銀行計算復(fù)利問題”。例如設(shè)本金為，0ar利率為，期數(shù)為，t如果每期結(jié)算一次， 則本利和為a0(1)taar11/14/2021 9:07 am0(1)mtmraam例例7計算2lim(1)xxx 解解2222lim(1)lim (1)xxxxxx222222lim(1)lim(1)xxxxxx2e 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)如果每期結(jié)算次，m期本利和為mat若立即產(chǎn)生立即結(jié)算， 即。m 11/14/2021 9:07 am例例8計算22lim()1xxxx 解解22lim()1xxxx 11lim (1)1lim(1)xxx

11、xxx 11lim(1)1lim(1)xxxxxx 11ee第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)lim()lim()11xxxxxxxx 11/14/2021 9:07 am內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2.兩個重要極限（重要的是兩個重要極限（重要的是形式形式）1.極限存在的準(zhǔn)則極限存在的準(zhǔn)則 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限0sinlim1 1lim(1)e10lim(1)e中是相同的變量中是相同的變量第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)作業(yè)作業(yè)p93 22-2711/14/2021 9:07 am備用題備用題1.填空題sin1) lim_ ;xxx 12) limsin_ ;xxx

12、013) limsin_ ;xxx 14) lim(1)_ ;nnn0101e 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/14/2021 9:07 am2.填空題( 1)1lim()nnnn ( 1)1(1)lim()nnnn （2006）解解01e22limsin1xxxx 22(2)limsin1xxxx （2005）解解2 12第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)( 1)1lim(1) nnnnn 22222sin21limlim211xxxxxxxx 11/14/2021 9:07 amlim(sin1sin)xxx3.計算解解sin1sinxx112sincos22xxxx lim(1)xxx因為1lim01xxx1cos12xx 故lim(sin1sin)0 xxx第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)和差化積和差化積公式公式11/14/2021 9:07 am222111lim12nnnnnn4.證明證證利用夾逼準(zhǔn)則2221112nnnnn22lim1,nnnn 22lim1nnn 且所以222111lim12nnnnnn證畢22nnn 22nn 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)11/14/2021 9:07 am5.設(shè)11()(1,2,)