1、一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分第四節(jié)廣義第四節(jié)廣義 積積 分分二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分一、無窮區(qū)間的廣義積分一、無窮區(qū)間的廣義積分例例 1求由曲線求由曲線 y = e- -x， y 軸及軸及 x 軸所圍成開口軸所圍成開口曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積. 解解這是一個開口曲邊梯形，這是一個開口曲邊梯形， 為求其面積，任取為求其面積，任取 b 0, + )， 在有限區(qū)間在有限區(qū)間 0, b 上，上， 以曲線以曲線 y = e- - x為曲邊的曲邊梯形面積為為曲邊的曲邊梯形面積為.e11ede00bbxbxx by = e- -x yxo(0,1)xabaxbdelim

2、. 1e11lim bby = e- -xyxbo(0,1)即即當當 b + + 時時，陰影部分曲邊梯形面積的極限就，陰影部分曲邊梯形面積的極限就是開口曲邊梯形面積，是開口曲邊梯形面積，定義定義 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, + + ) )上連續(xù)上連續(xù)， 取實取實數(shù)數(shù) b a，如果極限如果極限 babxxfd)(lim 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間 a, + + ) ) 上的廣義積分上的廣義積分，.d)(limd)( babaxxfxxf這時也稱這時也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，,d)( axxf記作記作即即存在存在，否則稱否則稱廣義積分發(fā)散廣義

3、積分發(fā)散. .定義定義 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (-(- , b 上連續(xù)上連續(xù)， 取 實取 實數(shù)數(shù) a b， 如果極限如果極限 baaxxfd)(lim 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間(-(- , b 上的廣義積分上的廣義積分，( )lim( )bbaaf xxf xxdd這時也稱這時也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，,d)( bxxf記作記作即即存在存在，否則稱否則稱廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散. .定義定義 3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (-(- , + + ) ) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)，且且對任意實數(shù)對任意實數(shù) c， 如果廣義積分如果廣義積分xxfx

4、xfccd )(d)( 與與 則稱上面兩個廣義函數(shù)積分之和為則稱上面兩個廣義函數(shù)積分之和為 f (x) 在無在無窮區(qū)間窮區(qū)間 (- - , + + ) 內(nèi)的廣義積分內(nèi)的廣義積分，,d)(d)(d)( ccxxfxxfxxf這時也稱廣義積分收斂，這時也稱廣義積分收斂，,d)( xxf記作記作即即都收斂都收斂，否則稱廣義積分發(fā)散否則稱廣義積分發(fā)散.若若 f(x) 是是 f (x) 的一個原函數(shù)，并記的一個原函數(shù)，并記),(lim)(xffx ).(lim)(xffx 則定義則定義 1，2，3 中的廣義積分可表示為中的廣義積分可表示為 axxfd)( axf)(，)()(aff bxxfd)(bxf

5、 )(，)()( fbf xxfd)( )(xf. )()( ff例例 2求求.d1102xx 解解xxd1102 0arctan x.202 .dcos0的收斂性的收斂性xx 例例 3判斷判斷解解.sindcos00 xxx由于當由于當 x + + 時時，sin x 沒有極限，所以廣義積分沒有極限，所以廣義積分發(fā)散發(fā)散 .例例 4計算計算.de0 xxx 解解用分部積分法，得用分部積分法，得 0dexxxxxde0 00deexxxx. 1e0 xxxxxxx elimelim其其中中, 0e1lim xx. 0e0 xx即即例例 5判斷判斷.lnde 的收斂性的收斂性xxx解解 elnln

6、dxx elndxxx elnlnx故該積分發(fā)散故該積分發(fā)散.例例 6證明廣義積分證明廣義積分 1,d1xxp 當當 p 1 時，時，收斂；當收斂；當 p 1 時，發(fā)散時，發(fā)散 .證證 p = 1 時，則時，則 11lndxxx所以該廣義積分發(fā)散所以該廣義積分發(fā)散. 11111dppxpxx . 1, 1,11ppp當當當當當當 p 1 時，時，綜合上述，綜合上述，該廣義積分收斂該廣義積分收斂. 當當 p 1 時，時，該廣義積分發(fā)散該廣義積分發(fā)散. p 1 時，則時，則二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分定義定義 4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 ( (a, b 上連續(xù)上連續(xù)，

7、取取 e e 0 ， 如果極限如果極限xxfbad )(lim0 e ee e 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 ( (a, b 上上的廣義積分，的廣義積分，.d )(limd )(0 xxfxxfbaba e ee e這時也稱這時也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，否則稱否則稱廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散. .,)(lim xfax且且,d )(xxfba 記作記作即即存在存在，定義定義 5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b) 上連續(xù)上連續(xù)，取取 e e 0 ， 如果極限如果極限.d)(lim0 xxfba e ee e 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù)

8、 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b) 上上的廣義積分的廣義積分.xxfxxfbabad)(limd)(0 e ee e這時也稱這時也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，否則稱否則稱廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散. .,)(lim xfbx且且，xxfbad )( 記作記作即即存在存在，定義定義 6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, b 上除點上除點 c (a, b) 外連續(xù)外連續(xù)，,)(lim xfcx且且如果下面兩個廣義積分如果下面兩個廣義積分xxfxxfbccad)(d)( 與與 則稱這兩個廣義積分之和為函數(shù)則稱這兩個廣義積分之和為函數(shù) f (x) 在區(qū)在區(qū)間間 a, b 上的廣義積分上的廣義積分，

9、.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba 這時也稱這時也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，否則，稱否則，稱廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散. .,d )(xxfba 記作記作即即都收斂都收斂，若若 f(x) 是是 f (x) 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，并并記記)(lim)(xfafax ).(lim)(xfbfbx )(lim)(xfcfcx ).(lim)(xfcfcx 或或則定義則定義 4，5，6 中的廣義積分可表示為中的廣義積分可表示為xxfbad)( ).()()(afbfxfba xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)( bccaxfxf )()().()()()( cfbfafcfxxfbad)( )()()( afbfxfba例例 7判斷判斷.1d10 收斂性收斂性xx解解故積分收斂故積分收斂. 101dxx. 21210 x 例例 8討論廣義積分討論廣義積分.d10 的的收收斂斂性性pxx解解當當