1、一、格林（一、格林（green)公式及其應用公式及其應用4. .平面上曲線積分與路徑無關的平面上曲線積分與路徑無關的 等價條件等價條件d1l2lyxo 1lqdypdx4. .平面上曲線積分與路徑無關的平面上曲線積分與路徑無關的 等價條件等價條件 2lqdypdxba如果在區域如果在區域d內內, , lqdypdx則稱曲線積分則稱曲線積分否則與路徑有關否則與路徑有關. .在在d內內與路徑無關與路徑無關, ,有有12, l l積分與路徑無關時積分與路徑無關時, , 曲線積分可記為曲線積分可記為 ddbap xq y ddabp xq y 說明說明: :定理定理2 設設d是單連通域是單連通域,(

2、, ),( , )p x yq x y在在d內具有一階連續偏導數內具有一階連續偏導數,(1)沿沿d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線c,有有dd0.cp xq y (2)對對d中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線l, 曲線積分曲線積分(3)yqxpdd ),(yxu( , ).du x ypdxqdy (4)在在d 內每一點都有內每一點都有.xqyp ddlp xq y 與路徑無關與路徑無關, 只與起止點有關只與起止點有關. 函數函數則以下四個條件則以下四個條件等價等價: :在在d內是某一函數內是某一函數的全微分的全微分, ,即存在可微函數即存在可微函數 使使 ),(yxu證明證明 dd0cp

3、 xq y (1)(2):gyxoll ba()ddllp xq y ()llc c即即ddlp xq y dd0lp xq y ,a bg故積分與路徑無關故積分與路徑無關.有有采用循環方式：采用循環方式：(1)(2)(3)(4)(1),l l 得得ddlp xq y ddlp xq y ddlp xq y (封閉曲線封閉曲線)( , ).m x y(2)(3):ddlp xq y 設設取起點為定點取起點為定點與路徑無關與路徑無關,只與起終點有關只與起終點有關. 000(,),mxy終點為動點終點為動點ddp xq y 0m m00( , )(,)ddx yxyp xq y ( , )u x

4、y 只須證只須證,.uupqxydddup xq y與路徑無關與路徑無關ddlp xq y ( , )uudu x ydxdyxy 00(, )(,)ddxx yxyp xq y 00( , )(,)ddx yxyp xq y (, )( , )u xx yu x y 0000( , )(, )( , )(,)( , )(,)ddx yxx yx yxyx yxyp xq y(, )( , )ddxx yx yp xq y (, )(, )( , )( , )ddxx yxx yx yx yp xq y0 (, )( , )u xx yu x y ( , )pyx (, )( , )( , )

5、dxx yx yp x yx 由積分中值定理由積分中值定理 ,x xx 偏增量偏增量定積分定積分(, )( , )u xx yu x y ( , )pyx (, )( , )u xx yu x yx ( , )pyxx 0limx 0limx lim( , )( , )xpyp x y ux 同理可證：同理可證：( , )uq x yy 因因 可微，可微，),(yxu的偏導數存在，的偏導數存在，( , )u x y(3)(4):( , ).pqdu x ypdxqdyyx ( , )du x ypdxqdy , .uupqxy22, .puquyx yxy x ,pqyx因因 連續，連續，偏導

6、數連續，從而相等，偏導數連續，從而相等，于是于是.xqyp 有有故故 的二階混合的二階混合( , )u x y(4)(1)dd0 .cpqp xq yyx 由格林公式，對任何閉曲線由格林公式，對任何閉曲線c，它所圍成，它所圍成的區域為的區域為d,有有dd00.cdp xq ydxdy 證畢證畢.yx0y0 x ,x y 00,x y由定理由定理2 知：知：qpxy 當當滿滿足足時時，曲線積分與路徑無關，可以取路徑為平行于曲線積分與路徑無關，可以取路徑為平行于 00( , )(,),x yxyp x y dxq x y dy 坐標軸的坐標軸的折線折線，即，即00( ,)dxxp x yx 0(

7、, )dyyq x y y 00(, )dyyq x yy 或或0( , )dxxp x yx 000,x yx yx y 0,x yyxo注注1： 0,xyxyo)1 , 1(bxxyxyyp2)2(2 xyxxxq2)(42 解解 pqyx原積分與路徑無關原積分與路徑無關224 (2)()(0,0)(1,1)lxxy dxxydylob 計計算算，其其中中 為為由由點點到到點點的的曲曲線線弧弧例例6 6sin.2xy .1523 224(2)()lxxy dxxy dy 101042)1(dyydxx (1,1)224(0,0)(2)()boxxy dxxy dy xyo)1 , 1(b1

8、1 00( , )(,),x yxyp x y dxq x y dy 00( ,)dxxp x yx 0( , )dyyq x y y 由定理由定理2知：知： ,qpu x yxy 當當滿滿足足時時, ,存存在在00( , )(,)( , )x yxyu x ypdxqdy 且且 ,dup x y dxq x y dy使使 由于積分與路徑無關，可以取路徑為平由于積分與路徑無關，可以取路徑為平行于坐標軸的折線行于坐標軸的折線,這樣就可求出這樣就可求出u(x,y). ,.u x ypdxqdy 稱稱的的原原函函數數為為 ,0.u x ycpdxqdy是是微微分分方方程程的的通通解解稱全微分方程稱全

9、微分方程全微分全微分注注2：例例7 7 驗證驗證yyxxyxdd22 是某個函數的是某個函數的全微分全微分, 并求出這個函數并求出這個函數. 證證 設設22,px yqx y 2pqxyyx則則由定理由定理2可知可知,存在函數存在函數 u (x , y) 使使22ddduxyxx y y( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx y y 。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx 20dyx yy 20dyx yy 2212x y 22ddduxyxx y y2212x yc 是全微分方程是全微分方程22dd0 xyxx y y 的通解的通解. .注注2(1,1)

10、2(0,0) ( )(0)0 ( ).lxy dxyx dyxy dxyx dy 設設曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關關，其其中中 具具有有連連續續的的導導數數，且且，計計算算例例8 8解解,2)(2xyxyyyp ( )( ),qyxyxxx ,),(2xyyxp ( ,)( ),q x yyx 因積分與路徑無關因積分與路徑無關xqyp 2( )lxy dxyx dy ( )2yxxy 故故 10100ydydx.21 0)0( 0 c2)(xx 又又，知，知故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy ( )2yxxy 2( )xxc 由由 小 結四個等價命題四個等價命題 設設d

11、是平面是平面單連通區域單連通區域,( , ),( , )p x yq x y在在d內具有內具有一階連續偏導數一階連續偏導數,則以下四個命題等價：則以下四個命題等價：在在d內與路徑無關內與路徑無關.qpxy 1.對對d內任意閉曲線內任意閉曲線l有有dd0lpxqy 4.在在d內有內有3.在在d內有內有dupdxqd y2.ddlpxqy 若在某若在某單連域單連域內內, ,函數函數p,q偏導連續偏導連續, ,pqyx 則則且且等價命題的應用等價命題的應用(1)利用等價命題簡化第二類曲線積分的計算利用等價命題簡化第二類曲線積分的計算可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑( (2) ) 可用積分法求

12、可用積分法求dupdxqd y00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yp x yxq x yy 在在d內的原函數內的原函數: : 因積分與路徑無關，故可選擇方便的因積分與路徑無關，故可選擇方便的積分路徑積分路徑. .比如，平行于坐標軸的折線比如，平行于坐標軸的折線.00( ,)dxxp x yx 0( , )dyyq x y y 00(, )dyyq x yy 或或00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yp x yxq x yy 0( , )dxxp x yx yx0y0 x ,x y 00,x y 0,x yyxo 0,xy 設設, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求思考題d ( ,