1、1函數值的近似計算函數值的近似計算積分的近似計算積分的近似計算歐拉歐拉(euler)公式公式小結小結 思考題思考題 作業作業求極限求極限第五節第五節 函數的冪級數展開式函數的冪級數展開式的應用的應用 第十一章第十一章 無窮級數無窮級數2一、求極限一、求極限 有些未定式的極限有些未定式的極限可以將極限過程中的主要、可以將極限過程中的主要、例例 求求30sinlimxxxx 00解解353030! 51! 31limsinlimxxxxxxxxxx , 0 x將將sinx展開為展開為x = 0的冪級數的冪級數.這種方法的優點是這種方法的優點是:次要成份表示得非常清楚次要成份表示得非常清楚.可以用冪

2、級數方法求出可以用冪級數方法求出.函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用 20! 51! 31limxx61! 31 3 由此例可看出由此例可看出: 這里這里, sinx與其等價無窮小與其等價無窮小x相差高階無窮小相差高階無窮小.! 51! 3153 xx這個高階無窮小不能與分子這個高階無窮小不能與分子 的的第一項第一項x 抵消抵消,它在極限中是起作用的它在極限中是起作用的.但如果將但如果將sinx用用x代換代換,則相當于將這個起作用的高階無窮則相當于將這個起作用的高階無窮小也略去了小也略去了, 這顯然是錯誤的這顯然是錯誤的.函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用在求極限時

3、在求極限時,為什么加、減項為什么加、減項的無窮小不能用其等價無窮小代換的無窮小不能用其等價無窮小代換.4函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用二、函數值的近似計算二、函數值的近似計算用函數的冪級數展開式用函數的冪級數展開式,常用方法常用方法1.若余項是交錯級數若余項是交錯級數,則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數若不是交錯級數,則放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數或其它易求和的級數為等比級數或其它易求和的級數,從而求出其和從而求出其和.可以在展開式有效可以在展開式有效的區間內計算函數的近似值的區間內計算函數的近似值, 而且可達到預先

4、指而且可達到預先指定的精度要求定的精度要求.5例例.10,5 使使其其誤誤差差不不超超過過的的近近似似值值計計算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用余和余和: :)2)(3(1211()!1(1 nnnn)!1(1 n!1nn 510! nn1111)!1(1 nn )!3(1)!2(1)!1(1nnnrn 1( 11n 2)1(1n510 )6322560!88 而而 e71828. 2 510 函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用! 81! 31! 2111 用級數作近似計算時用級數

5、作近似計算時,這樣估計誤差這樣估計誤差,常將其余和放大常將其余和放大為幾何級數為幾何級數.因此計算量要小一些因此計算量要小一些.在一般情況下在一般情況下,泰勒公式比用拉格朗日估計誤差的精度更好泰勒公式比用拉格朗日估計誤差的精度更好,7例例.,9sin! 3sin03并估計誤差并估計誤差的近似值的近似值計算計算利用利用xxx 解解20sin9sin0 3)20(6120 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 510 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 510 函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用8函數

6、的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用三、積分的近似計算三、積分的近似計算有些初等函數的原函數不能用初等函數有些初等函數的原函數不能用初等函數故其定積分就不能用牛頓故其定積分就不能用牛頓-萊布尼茨萊布尼茨但如果這些函數在積分區間上能但如果這些函數在積分區間上能表示表示,公式計算公式計算.能展開成冪級數能展開成冪級數, 性質來計算這些定積分性質來計算這些定積分. 則可利用冪級數逐項積分則可利用冪級數逐項積分9例例.10,dsin410 精確到精確到的近似值的近似值計算計算xxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311收斂的交錯級數收斂的

7、交錯級數函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用被積函數被積函數xxsin的原函數不能用初等函數表示的原函數不能用初等函數表示.由于由于x = 0是是xxsin的可去間斷點的可去間斷點,故定義故定義 0sinxxx這樣這樣被積函數在被積函數在0, 1上上連續連續. 展開展開,sinxx得得 10 xd 10 xd, 1sinlim0 xxx10第四項第四項30001!771 ,104 取前三項作為積分的近似值取前三項作為積分的近似值,得得! 551! 3311dsin10 xxx9461. 0 例例.10,dsin410 精確到精確到的近似值的近似值計算計算xxx函數的冪級數展開式的應

8、用函數的冪級數展開式的應用 ! 771! 551! 3311dsin10 xxx11復數項級數復數項級數)1()()()(2211 nnivuivuivu), 3 , 2 , 1(, nvunn其中其中函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用四、歐拉四、歐拉(euler)公式公式為實常數或實函數為實常數或實函數.若若,1 nnuu,1 nnvv則稱級數則稱級數)(1nnnivu 收斂收斂,且其和為且其和為.ivu 復數項級數絕對收斂的概念復數項級數絕對收斂的概念若若 2222222121nnvuvuvu收斂收斂,則則,1 nnu 1nnv絕對收斂絕對收斂, 稱復數項級數稱復數項級數(1

9、)絕對收斂絕對收斂.euler(1707 1783)是瑞士數學家、物理學家是瑞士數學家、物理學家12 ! 212nxxxenx )!12()1(! 5! 3sin12153nxxxxxnn )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnn函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用 nixixnixixe)(!1)(! 2112xixsincos xcosxsin三個基本展開三個基本展開式式)!2()1(! 211(22 nxxnn)!12()1(! 31(123 nxxxinn13xixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 又又

10、 揭示了三角函數和復變量指數函數之間的揭示了三角函數和復變量指數函數之間的一種關系一種關系.)sin(cosyiyeexiyx 函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用歐拉歐拉(euler)公式公式14歐拉公式的證明歐拉公式的證明求極限求極限 (求未定式的極限求未定式的極限)函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用五、小結五、小結積分的近似計算積分的近似計算函數值的近似計算函數值的近似計算15函數的冪級數展開式的應用函數的冪級數展開式的應用思考題思考題計算計算.)1(sincos1lim34222260 xxxxxx 解解因為因為 xx22sincosnnnxn20)4()!2()1(8181 )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnnnnnxn211)4()!2(8)1( ! 684! 48466442xxx 642453234xxx又又 3422)1(xx所以所以,9234142