1、實用標準文案垂徑定理教學設計單 位：登封市大金店二中授課教師：唐海廣垂徑定理教學設計一、學生起點分析學生的知識技能基礎：學生在七、八年級已經學習過軸對稱圖形的有關概念 和性質，等腰三角形的對稱性，以及本節定理的證明要用到的三角形全等的知識， 在本章前兩節課中也已經初步理解了圓的軸對稱性和圓弧的表示等知識，具備探索證明幾何定理的基本技能.學生活動經驗基礎：在平時的學習中，學生已掌握探究圖形性質的不同手段 和方法，具備幾何定理的分析、探索和證明能力.二、教學任務分析該節內容為1課時.圓是一種特殊圖形，它是軸對稱圖形，學生通過類比等 腰三角形的軸對稱性，能利用圓的軸對稱性探索、證明得出圓的垂徑定理及

2、其逆文檔定理.具體地說，本節課的教學目標是：知識與技能1. 利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理;2 .運用垂徑定理及其逆定理解決問題.過程與方法1.經歷運用圓的軸對稱性探索圓的相關性質的過程，進一步體會和理解研 究幾何圖形的各種方法.情感與態度1. 培養學生類比分析，猜想探索的能力.2. 通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領會數學的嚴謹性和探索 精神，培養學生學習實事求是的科學態度和積極參與的主動精神.教學重點：利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理.教學難點：垂徑定理及其逆定理的證明，以及應用時如何添加輔助線.三、教學設計分析本節課設計了四個教學環節：類比引入，猜想探索，知識應用，

3、歸納小結第一環節類比引入活動內容:1等腰三角形是軸對稱圖形嗎？2如果將一等腰三角形沿底邊上的高對折，可以發現什么結論?3. 如果以這個等腰三角形的頂角頂點為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢？活動目的：通過等腰三角形的軸對稱性向圓的軸對稱性過渡，引導學生思考，培養學生類比分析的能力.第二環節猜想探索 AC =BC ； ® AD = BD 證明：連接OA,OB,則OA=OB.在 RtOAM 和 RtOBM 中,OA=OB , OM =OM ,RtOAM 李tOBM .AM = BM .點A和點B關于CD對稱.vQO關于直徑CD對稱,當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合

4、,AC和BC重合，AD和Bd重合- C 一 cC 一 C-AC =BC，AD =BD .2 證明完畢后，讓學生自行用文字語言表述這一結論，最后提煉出垂徑定 理的內容一一垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.3 辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理?BD注意：定理中的兩個條件缺一不可一一直徑（半徑），垂直于弦. 通過以上辨析，讓學生對垂徑定理的兩個條件的必要性有更充分的認識.4 垂徑定理逆定理的探索點M.如圖，AB是。O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于（1 ）下圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么?（2 ）圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.條件： CD是直徑

5、； AM=BM結論（等量關系）：CD丄AB; AC =BC ； ® AD = BD .讓學生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內容平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.5 辨析：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如果該定理少了 “不是直徑”，是否也能成立?反例:BA活動目的：活動1的主要目的是通過讓學生猜想、 類比、探索和證明獲得新知，從而得 到研究數學的多種方法的體會，獲取經驗；活動2的主要目的是讓學生通過對定理表述反復的語言提煉，鍛煉學生的歸納能力和嚴謹的表述能力， 并對定理的 條件和結論有更深刻的理解和認識；活動

6、3的主要目的是通過反例使學生對定理 的嚴謹性有更深的認識；活動 4的主要目的與活動1相似，并讓學生與活動1 類比，提高探索能力；活動5的主要目的與活動3相似.實際教學效果：在活動1中的證明時，學生對如何證明平分弦，可能會有一定困難，此時應 引導學生類比等腰三角形，通過連接 0A、OB，構造等腰三角形，并利用三角 形全等的知識來證明；另外，在證明直徑平分弦所對的弧，也是一個難點，學生 會覺得比較難表述，這時應類比等腰三角形的軸對稱性， 運用圓的軸對稱性啟發 引導；在活動2中，學生的說法可能不夠準確、精煉，但教師應該鼓勵學生堅持 勇于嘗試，讓學生互相指出說法的不足和缺陷， 互相加以修正，在反復的語

7、言提 煉中對定理的條件和結論有更深刻的理解和認識，這也是一個自主構建的過程； 活動3是通過反例說明定理的條件的必要性和嚴謹性，要注意讓學生學會通過反 例找出對應缺失的條件，提高學生對定理的理解；在活動4中，學生已經有了活 動1的經驗，教師應放手讓學生去猜想、 類比、探索和證明，增加學生對數學知識的探索的領悟和經驗；活動 5與活動3相似.第三環節知識應用活動內容： 講解例題及完成隨堂練習.1 例：如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。磮D中cd點0是CD所在圓的圓心），其中CD=600m , E為處 上的一點，且0E丄CD，垂足為F, EF=90m.求這段彎路的半徑.解：連接0C，設彎路的半徑為Rm

8、,則OF=（R-90）m .OE 丄 CDCF -CD - 6003002 2根據勾股定理，得OC2= CF2 + OF2即 R2=300 2+（ R-90） 2.解這個方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.2 隨堂練習1. 1400年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為 37.4米，拱高（即弧的中點到弦的距離）為 7.2米，求橋拱所在圓的半徑.（結果精確到0.1米）.3.隨堂練習2.如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?為什么?有三種情況：(1)圓心在平行弦外;(2 )圓心在其中一條弦上;(3)圓心在平行弦內.活動目的：活動1、2

9、的主要目的是讓學生應用新知識構造直角三角形，并 通過方程的方法去解決幾何問題；活動 3的主要目的是讓學生通過作垂線段構 造符合定理使用的條件，從而運用定理解決問題，以及培養學生解題中的分類思 想.實際教學效果:在活動4中，對于例題和隨堂練習1教師要引導學生如何夠造可以應用垂 徑定理的幾何構圖，讓學生積累如何添加輔助線的經驗，以及體會到構造直角三 角形并利用勾股定理列方程在解決幾何問題中的作用， 培養數形結合的思想.對 于隨堂練習2，教師要引導學生通過自行畫圖，探索分析符合條件圖形有多少種 情況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、在平行弦內，并通過添加輔助線構造 可以應用垂徑定理的條件，以及比較三

10、種構圖的共同點，得出說理的思路都是一 樣的結論.第四環節歸納小結活動內容：學生交流總結1.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理 2 .解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑， 連接半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件.活動目的：通過回顧本節課的各個環節，鼓勵學生交流自己的收獲和感想，加深對本節 課知識和探索方法的理解和掌握，培養學生養成歸納反思的學習習慣.實際教學效果：學生在互相交流中，對于歸納出來的內容，會有各種表述，大多都是圍繞知 識本身，教師應引導學生對探索知識的方法也能歸納反思.四、教學設計反思1 .要從培養學生學習方法的角度使用教材教材為教師提供了基本的教學素材， 但如何使用這些素材，教師完全可以根 據學生的實際情況進行適當調整.學生在探索垂徑定理的時候，其中一個難點在 于如何證明垂徑定理，這時通過類比等腰三角形的軸對稱性，可以使學生對證明 的思考得到突破，從而尋找出合理的證明方向.這既使學生掌握了新知識，也培 養了學生的學習數學的類比思想和觀察、猜想的能力.2 .要鼓勵學生敢于表述和善于糾錯垂徑定理及其逆定理的文字表述是一個難點， 教師如果直接給出，則學生就 少了一個鍛煉表述能力和嚴謹地分析的機會. 因此，應該讓學生大膽表述，并對 各人的表述嚴謹分析，找出漏