1、 拉普拉斯拉普拉斯變換理論變換理論（又稱為運算微積分，或稱為算子微（又稱為運算微積分，或稱為算子微積分）是在積分）是在1919世紀末發展起來的首先是英國工程師亥維賽世紀末發展起來的首先是英國工程師亥維賽德德(O.Heaviside)發明了用運算法解決當時電工計算中出現的發明了用運算法解決當時電工計算中出現的一些問題，但是缺乏嚴密的數學論證后來由法國數學家拉一些問題，但是缺乏嚴密的數學論證后來由法國數學家拉普拉斯普拉斯(P.S.Laplace)給出了嚴密的數學定義，稱之為給出了嚴密的數學定義，稱之為拉普拉拉普拉斯變換方法斯變換方法 拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）變換在光學等工程技術與科學領域

2、變換在光學等工程技術與科學領域中有著廣泛的應用由于它的中有著廣泛的應用由于它的像原函數像原函數f( (x) )要求的條件比傅里要求的條件比傅里葉變換的條件要弱，葉變換的條件要弱，因此因此在某些問題上，它比傅里葉變換的在某些問題上，它比傅里葉變換的適用面要廣適用面要廣 本章首先從傅里葉變換的定義出發，導出拉普拉斯變換本章首先從傅里葉變換的定義出發，導出拉普拉斯變換的定義，并研究它的一些基本性質，然后給出其逆變換的積的定義，并研究它的一些基本性質，然后給出其逆變換的積分表達式分表達式復反演積分公式，并得出像原函數的求法，最復反演積分公式，并得出像原函數的求法，最后介紹拉普拉斯變換的應用后介紹拉普拉

3、斯變換的應用 傅里葉變換傅里葉變換在在分析信號的頻譜等方面是十分有效的分析信號的頻譜等方面是十分有效的，但但在系統分析方面有不足之處在系統分析方面有不足之處： 對時間函數限制嚴，對時間函數限制嚴， 是充分條件。是充分條件。不少函數不能直接按定義求，不少函數不能直接按定義求，如增長的指數函數如增長的指數函數 eat a0，傅里葉變換就不存在。傅里葉變換就不存在。 不能解決零輸入響應問題，只能解決不能解決零輸入響應問題，只能解決零狀態響應零狀態響應 求傅里葉反變換也比較麻煩。求傅里葉反變換也比較麻煩。|( )|f tt di(i)( )dtFf t et （一） 拉普拉斯變換的定義( ) t將函數

4、將函數 ( ) t乘以乘以單位階躍函數單位階躍函數： 00( )10tu tt 得到得到 ( )( ) ( )f tt u t，則根據傅氏變換理論有，則根據傅氏變換理論有i0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )iddttf tt u tt u t etf t et F FF F很顯然通過這樣的處理，當很顯然通過這樣的處理，當 0t 時，時， ( ) t在沒有定在沒有定 義的情況下問題得到了解決義的情況下問題得到了解決但是但是仍然不能回避仍然不能回避 ( )f t在在 0,)上絕對可積的限制上絕對可積的限制，我們考慮到當，我們考慮到當 t 時，衰減速度很快的函數，那就是時，衰減速度很快的

5、函數，那就是指數函數指數函數 ,(0)te于是有于是有 000i(i ) ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i )tttttptf t et u t ef t eetf t etf t etp F FF F上式即可簡寫為上式即可簡寫為0ptf pf t et( )( )d這是由實函數這是由實函數 ( )f t通過一種新的變換得到的復變函數，通過一種新的變換得到的復變函數，這種變換就是我們要定義的這種變換就是我們要定義的拉普拉斯變換拉普拉斯變換為為核核.pte 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系ttfis存在于整個區間傅里葉變換)(0, 0)()(ttftfis為因果信號拉普

6、拉斯變換ttfis存在于整個區間雙邊拉普拉斯變換)(拉氏變換與傅氏變換表示信號的差別傅里葉變換傅里葉變換 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 信號表示成指數信號表示成指數 ei t 分量的連續和分量的連續和 信號表示成指數信號表示成指數 est 分量的連續和分量的連續和 基本信號為：等幅的正弦信號基本信號為：等幅的正弦信號 基本信號為：指數增長的正弦信號基本信號為：指數增長的正弦信號 振幅為振幅為 無窮小無窮小 振幅為振幅為 無窮小無窮小 頻率分布于整個區間頻率分布于整個區間 頻率分布于整個區間頻率分布于整個區間 2tF sse |( )|d2| )(|diF定義定義 設設 實函數實函數 ( )f t在

7、在0t 上有定義，且積分上有定義，且積分 0( )( )dptf pf t et（ p為為復參變量復參變量） 上某一范圍上某一范圍 對復平面對復平面p收斂，則由這個積分所確定的函數收斂，則由這個積分所確定的函數0( )( )dptf pf t et稱為函數稱為函數 ( )f t的的拉普拉斯變換拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（或稱為，簡稱拉氏變換（或稱為像函數），記為像函數），記為 ( ) ( )f pf tL綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數是一個綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數是一個實自變量為實自變量為 的復值函數，而的復值函數，而拉氏變換的像函數拉氏變換的像函數則是一個復

8、則是一個復變數變數 p的復值函數，由式（的復值函數，由式（.1）式可以看出，）式可以看出， ( ) (0)f tt 的拉氏變換實際上就是的拉氏變換實際上就是 ( ) ( ),(0)tf t u t e的傅氏變換的傅氏變換 （其中（其中 ( )u t為單位階躍函數），因此拉氏變換實質上就是為單位階躍函數），因此拉氏變換實質上就是 一種單邊的廣義傅氏變換一種單邊的廣義傅氏變換，單邊是指積分區間從，單邊是指積分區間從0 0到到 廣義是指函數廣義是指函數 ( )f t要乘上要乘上 ( ) (0)tu t e之后再之后再作傅氏作傅氏變換變換 例例1 1 求拉氏變換求拉氏變換 1LRe0p

9、 ip0解解 在在 ,(,(按照假設按照假設 ) ) 即為即為的半平面，的半平面，011d,ptetp00002021dd()11 =d11 =d,1 = (Re0) ptptptptpttettepteetppetpptppL同理有同理有例例2 2 求拉氏變換求拉氏變換 .tL解解 在在 Re0p 的半平面的半平面, , 1! = nnntpL()()00011dd 1 (ReRe )stptp s tp s tste etetep sp sepsp sL請記住這個積分以后會經常用到請記住這個積分以后會經常用到例例3 3 求拉氏變換求拉氏變換 ,stesL為常數為常數. .解解 在在 ReR

10、eps的半平面上的半平面上解 (i )(i )001sinsindd2iptptpttteteetL22111, Re02iiipppp 同理同理 22cos, Re0ptppL例例 4 4 若若 ( )sinf tt或或 cos( t 拉氏變換拉氏變換 為實數），求為實數），求 ( )f tL例例5 5 求拉氏變換求拉氏變換 ,sttesL為常數為常數. . 解解 在在 ReReps的半平面上，的半平面上， ()00()()00221dd1 d 1 =()1 (ReRe )() stptp s tp s tp s tstte ettepsteetpspstepspsL同理同理 1! ()ns

11、tnnt epsL （二）拉氏變換的存在定理（二）拉氏變換的存在定理定理定理 拉氏變換存在定理拉氏變換存在定理 若函數若函數 )(tf滿足下述條件：滿足下述條件： （1 1）當）當 0t( )0f t 0t )(tf時，時，當當時，時，在任一有限區間上分段連續；在任一有限區間上分段連續； （2 2）當）當 t時，時， )(tf的增長速度不超過某一的增長速度不超過某一指數函數，即存在常數指數函數，即存在常數M及及 00，使得，使得 tMetft0,)(0則則 ( )( )f tf pL在半平面在半平面 0Rep上存上存在且解析在且解析00000( )dd,tptMf t etMet 證明證明：證

12、明：證明 0( )( )dptf pf t et存在由存在由所以上述積分絕對收斂，且所以上述積分絕對收斂，且 ( )f p在右半平面在右半平面 0Rep存在存在 然后證明然后證明 ( )f p解析為此，在積分號內對解析為此，在積分號內對 p并取并取 求偏求偏導數，導數，101 (為任意實常數），則有為任意實常數），則有10200010()d()ddtptptMf t etf t etM tetpp 故積分故積分 0 ( )dptf t etp在半平面在半平面 0Rep上一致收斂，上一致收斂，可交換積分與微商的次序可交換積分與微商的次序，即，即 20010ptptMf pf t etf t et

13、ppp dd( )( )d( )ddd( )f p0Rep( )f p0Rep故故的導數在的導數在且有限，可見且有限，可見在半平面在半平面內解析內解析上處處存在上處處存在為為( )f p的的拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換，簡稱簡稱拉氏逆變換拉氏逆變換（或稱為（或稱為原函數），記為原函數），記為 1( ) ( )f tf pL為了計算拉氏逆為了計算拉氏逆 變換的方便，下面給出變換的方便，下面給出拉氏逆變換的具體表達式拉氏逆變換的具體表達式實際上實際上( )f t的拉氏變換，就是的拉氏變換，就是 ( ) ( )tf t u t e(0)的傅氏變換的傅氏變換. .因此，當因此，當 ( ) ( )tf

14、t u t e滿足傅氏滿足傅氏 積分定理的條件時，根據傅里葉積分公式，積分定理的條件時，根據傅里葉積分公式， ( )f t在連續點處在連續點處（三）（三） 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換定義定義 拉氏逆變換拉氏逆變換若滿足式：若滿足式： 0( )( )dptf pf t et，我們稱，我們稱 ( )f tiii(i )0i1( ) ( )( ) ( )d d21 =( )d d21 =(i )d (0)2ttttf t u t efueeeefefet 等式兩端同乘等式兩端同乘 te，并注意到這個因子與積分變量，并注意到這個因子與積分變量 無關，無關，故故 0t 時時 (i)1( )(i )d2

15、tf tfe令令 ip，則有，則有ii1( )( )d (0)2iptf tf p ept 上式為上式為 ( )f p的的拉普拉斯逆變換式，稱為拉氏逆變換式拉普拉斯逆變換式，稱為拉氏逆變換式記為記為 1( ) ( )f tf pL并且并且 ( )f t稱為稱為 ( )f p的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函數或數或原函數）原函數） 稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數求原函數稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數求原函數的的上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式 一般公式一般公式 注意：公式注意：公式 0( )

16、( )dptf pf t et和公式和公式 ii1( )( )d , (0)2iptf tf p ept 構成一對互逆的構成一對互逆的積分變換公式，積分變換公式， 也稱也稱 和和構成一組拉氏變換對。構成一組拉氏變換對。( )f t( )f p( (四四) ) 拉氏變換的性質拉氏變換的性質取拉氏變換的函數，均滿足拉氏變換存在定理的取拉氏變換的函數，均滿足拉氏變換存在定理的條件條件 實際應用中我們總結出一些規律：即實際應用中我們總結出一些規律：即拉氏變換的拉氏變換的些基本些基本一一性質性質通過這些性質使得許多復雜計算簡單化通過這些性質使得許多復雜計算簡單化我們約定需要我們約定需要120012( )

17、d( )d( )( )ptptf t etf t etf tf tLL證明證明12120( )( )( )( )dptf tf tf tf t etL性質性質1 1 線性定理線性定理若若, 為任意常數，且為任意常數，且 1122( )( ),( )( )fpf tfpf tLL則則1212( )( ) ( )( )f tf tf tf t LLL例例6 6 求求 sh,atLchatL解解22111sh 22atateeaatp apapaLL22111ch 22atateepatpapapaLL若設若設為非負實數，為非負實數， ( )( )f tf pL，又當，又當 0t 時，時， ( )0

18、f t ，則，則 ()( ) ( )ppf tef pef t LL或或 1( )()pef pf tL證明證明 由定義出發，隨后令由定義出發，隨后令 tu，可得，可得 ()0 ()()d( )dptp uf tf tetf u euL性質性質2 2 延遲定理延遲定理0u )(uf利用利用時，時，=0=0，積分下限可改為零，故得，積分下限可改為零，故得0 ()( )d ( )ppupf tef u euef tLL例例7 7 已知已知 000, (0)( ), (0)0, ()tf tctttt ，求，求 ( )L f t解解 用階躍函數表示用階躍函數表示 )(tf)()()(0ttcHtcH

19、tf再利用線性定理及延遲定理，有再利用線性定理及延遲定理，有000 ()()()1ptptf tcH tcH t tccceepppLLL性質性質3 位移定理位移定理 若若 ( )( )f tf pL，則有，則有 0( )(), (Re()atef tf papapL0p( )f t其中其中是是的增長指數的增長指數證明證明 根據定義根據定義00()( )( )d ( )()atatptp a tef tef t etf t edtf paL例例8 8 求求 tteL解解 令令 )(tft( ) ( ) f pf ttLL= =，則由，則由 得得 21 tpL= =( )f p 利用位移定理利用

20、位移定理 ( )()ate f tf paL，即有，即有 21()()ttef ppL性質性質4 4 相似定理相似定理 設設 ( )( )f tf pL，則對于大于零，則對于大于零的常數的常數 c，有，有 1 ()()pf ctfccL證明證明由定義出發，隨后作變量代換由定義出發，隨后作變量代換 ctu ，則，則00 ( )( )d( )dupptcuf ctf ct etf u ecL011( )()pucpf u edufccc性質性質5 5 微分定理微分定理 設設 ( )( )f tf pL( )( ) (1,2,)nftn 存在且分段連續，則存在且分段連續，則(22( )12(1) (

21、 ) ( )(0)( ) ( )(0)(0)( ) ( )(0)(0)()00)nnnnnnpff tpf tff tpf tpffftpf tpfpffLLLLLL證明證明 由定義出發，隨后用分部積分，可得由定義出發，隨后用分部積分，可得 000( )( )d( )( )dptptptf tf t etf t epf t etL(0)()( )(0) fpfppf tfL)(tf )(tf同理，用同理，用取代上述的取代上述的，可得，可得( )( )(0)ftpf tfLL2 ( )(0)(0) ( )(0)(0)p pf tffpf tpffLL繼續作下去，即得所證繼續作下去，即得所證特別地

22、，當特別地，當 ()(0)0 (0,1,2,1)kfkn則則 ( ) ( )nnftpf tLL性質性質6 6 像函數的微分定理像函數的微分定理( )()( )ddnnnf ptf tpL證明證明 在拉氏變換定義式兩邊對在拉氏變換定義式兩邊對 p求導求導00dd( )( )d ( )dddptptf pf t etf t etppp0() ( )d() ( )ptt f t ett f tL2200dd( )() ( )d() ( )dddptptf pt f t ett f t etppp220()( )d()( )pttf t ettf tL繼續作下去，即得所證繼續作下去，即得所證 性質性

23、質7 7 積分定理積分定理 設設 ( )( )f tf pL，則，則 011( ) ( )( )tfdf tf pppLL證明證明 設設 0( )( )dtg tf，則，則 0)0(),()(gtftg由微分定理，有由微分定理，有 ( ) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLLL即即 1 ( )( )g tg tpLL由由)()(tftg可得可得0111( ) ( )( ) ( )( )tfdg tg tf tf ppppLLLL一般地對應一般地對應n n重積分，我們有重積分，我們有0001( )( )tttndtdtfdf ppLd( )()pf tf ppt L 證明證明 由拉氏

24、變換的定義式出發，隨后交換積分次序由拉氏變換的定義式出發，隨后交換積分次序00d()d( )dd( )dp tp tpppf ppf t etpepf tt00( )( )d( )dp tptppeef tf ttf tttttL上面交換積分次序的根據是上面交換積分次序的根據是 0( )p tf t edt在滿足在滿足 性質性質8 8 像函數的積分定理像函數的積分定理0Re p條件下是一致收斂的條件下是一致收斂的 性質性質9 9 拉氏變換的卷積定理拉氏變換的卷積定理(1) 定義定義 8.3.1 拉氏變換的卷積拉氏變換的卷積前一章我們學習了傅氏變換的卷積概念和性質，當前一章我們學習了傅氏變換的卷

25、積概念和性質，當12( ),( )f tft是是 (,) 上絕對可積函數時，上絕對可積函數時，它們的卷積是它們的卷積是 1212( )*( )( )()df tftfft0t 12( )( )0f tft如果當如果當時，有時，有，則上式可寫為，則上式可寫為1212001212( ) ()* ()( ) ()d( ) ()ddttff tf t f tff tff t 12120( )* ( )( ) ()d tf tf tff t 因為在拉氏變換中總認為因為在拉氏變換中總認為 0t 時，像函數時，像函數 ( )f t因此把上式定義為因此把上式定義為拉氏變換的卷積拉氏變換的卷積恒為零，恒為零，

26、（2 2）拉氏變換的卷積定理）拉氏變換的卷積定理 1212( )( )( )( )f tftf tftLLL 證明證明 首先由卷積定義及拉氏變換定義出發，隨后交換積分首先由卷積定義及拉氏變換定義出發，隨后交換積分 次序，并作變量代換：次序，并作變量代換： tu121201200 ()() ()( ) ()d)ddptptf tf tf tf tteeftft L1200()120( )d()d( )d( )dptp uff tetff u eu 0u)(uf由于當由于當時時=0 =0 ，第二個積分下限可寫成，第二個積分下限可寫成零，再將零，再將 pe提出第二個積分號外，便有提出第二個積分號外，

27、便有 121200( )( )( )d( )dppuf tf tfef u euL1212( )( )( )( )f tf tfpfpLL應用拉普拉斯變換法時經常要求應用拉普拉斯變換法時經常要求 1 ( )f pL，若，若 ( )f p能分解為能分解為 12( )( )f p fp，對上式作逆變換，即有，對上式作逆變換，即有-1-11212 ( )( )( )( )( )f pfp fpf tf tLL6.2 拉普拉斯反變換查表法部分分式展開法留數法應用拉氏變換的性質部分分式展開法 用部分分式展開法求拉普拉斯反變換，用部分分式展開法求拉普拉斯反變換， 一般為有理函數。一般為有理函數。 單極點單

28、極點：D(p)=0 0的根也稱為的極點。的根也稱為的極點。( )( )( )N pF pD p1( )niiiKf ppp)2 , 1(nipi() ( )iiispKppf pnitpiteKtfi1)()(例例 1 1已知已知 ，求，求 f ( (t) )。22216( )(56)(12)pf pppp解：解：2312216( )(2)(3)(12)2312KKKpf ppppppp212216242.4(3)(12)10ppKpp22321634(2)(12)9ppKpp2312216304152(2)(3)9045ppKpp)(451529344 . 2)(1232teeetfttt

29、多重極點： 若若 D(p)=(p p1)n, 令令 n=331232111( )()()KKKf ppppppp1311()( )ppKppf p1321d()( )dppKppf pp1233121 d()( )2 dppKppf pp)(2)(1113221teKetKetKtftptptp 例例 2 2已知已知 ，求，求 f (t)。解：解：321( )(1)f ppp351243321( )(1)(1)11KKKKKf ppppppppp120111pKp 222020(1)ppKp222324012(1)4 (1)212(1)ppp ppKp 43111(1)2pKpp53111(1

30、)2pKpp)(2121121)(2teettftt 復數極點： 若若 D(p)=(p -i )(p +i ) , 其根為其根為 p1,2= i 1222( )ii()KKMsNf pppp1i11(i ) ( )|ipKpf pKAB由于由于f(p)是是p的實系數有理函數，應有的實系數有理函數，應有2111|KKKAiB 原函數的形式之一原函數的形式之一11(i )(i )12ii(i )(i )11( )|ttttf tK eK eKe eKee11i()i()111|2|cos() ( )ttttKeeeKett 12( )iiKKf ppp11| KK 原函數的形式之二原函數的形式之二

31、12( )iiKKF sssiKAB(+i )(-i )12(i )(i )( )()()ttttf tK eK eAiB eAiB e iiii ()()2cossin ( )tttttteA eeiB eeeAtBtt 原函數的形式之三原函數的形式之三22( )()MpNf pp22cos( )()tpettp 22sin( )()tettp 2222()()()M pMNpp)()sincos()(tteNMtMetftt例例3 3已知已知 ，求，求 f (t)。21( )(25)f pp pp解一：解一： 解得：解得：2250pp1,21 i2 p122( )1 i21 i2 KKKf

32、 pppp12011255pKpp12121115902153.4(1 i2)(1 i2) i4204 5 piKtgp p)()4 .1532cos(10551)(ttetft解二：解二：12011255pKpp21 i211111i(1 i2)(1 i2) i48i41020 sKp p)(2sin1012cos5151)(ttetetftt留數法ii1( )( )d2 i p tf tf p epkRes() ( )kp tkp Spsf p e1k11dRes()( )(1)! dknnp tknp Spsf p ensi00ABCi00ABCt0封閉積分路線封閉積分路線0)(Res1

33、jtABepftpmj以右的極點在0)(Res1itABepftpni以左的極點在留數法的特點 在單邊拉普拉斯變換中，留數法與部分分式展開在單邊拉普拉斯變換中，留數法與部分分式展開法一致。法一致。 留數法比部分分式展開法應用廣泛一些。如無理留數法比部分分式展開法應用廣泛一些。如無理函數、雙邊拉普拉斯變換等。函數、雙邊拉普拉斯變換等。 運用留數法反求原函數時應注意到，因為沖激函運用留數法反求原函數時應注意到，因為沖激函數及其導數不符合約當引理，因此當原函數數及其導數不符合約當引理，因此當原函數 f f ( (t t) )中包含有沖激函數及其導數時，需先將中包含有沖激函數及其導數時，需先將F F(

34、 (s s) )分分解為多項式與真分式之和，由多項式決定沖激函解為多項式與真分式之和，由多項式決定沖激函數及其導數項，再對真分式求留數決定其它各項數及其導數項，再對真分式求留數決定其它各項。例4解：解：用留數法，在以左圍線包含的極點用留數法，在以左圍線包含的極點的留數為：的留數為： 已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(解：用留數法，在以右圍線包含的極點的留數為：解：用留數法，在以右圍線包含的極點的留數為：ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e解：解：用留數法，在以左和用留數法，在以左和以右圍線各包含一個極點。以右圍線各包含一個極點。原函數為：原函數為：已知已知 ，求，求 f (t)。0tet b0teta)(tf11( )Re f papbpabpia-0b或或)()()(tetetftatb拉普拉斯變換的性質序號時域 f(t)復頻域 F(s)1線性性a f1 (t)+b f2 (t)aF1 (s)+bF2 (s)2尺度性f (at) a03時移性f (t-t0)