1、帶通信號的采樣與重建一、帶通采樣定理的理論基礎 基帶采樣定理只討論了其頻譜分布在（0，）的基帶信號的采樣問題。作為接收機的模數轉換來說：接收信號大多為已調制的射頻信號。射頻信號相應的頻率上限遠高于基帶信號的頻率上限。這時如果想采用基帶采樣就需要非常高的采樣速率！這是現實中的A/D難以實現的。這時，低通采樣定理已經不能滿足實際中的使用要求。帶通采樣定理是適用于這樣的帶通信號的采樣理論基礎，下面給出定理。帶通采樣定理：設一個頻率帶限信號其頻帶限制在內，如果其采樣速率滿足式： = （2-1）式中, 取能滿足的最大整數（0，1，2），則用進行等間隔采樣所得到的信號采樣值能準確的確定原信號。帶通采樣定理

2、使用的前提條件是：只允許在其中一個頻帶上存在信號，而不允許在不同的頻帶同時存在信號，否則將會引起信號混疊1。如圖2.3所示，為滿足這一條件的一種方案，采用跟蹤濾波器的辦法來解決，即在采樣前先進行濾波1 ，也就是當需要對位于某一個中心頻率的帶通信號進行采樣時，就先把跟蹤濾波器調到與之對應的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號，然后再進行采樣，以防止信號混疊。這樣的跟蹤濾波器稱之為抗混疊濾波器。圖2.3 帶通信號采樣式（2-1）用帶通信號的中心頻率和頻帶寬度B也可用式（2-2）表示：推薦精選 （2-2）式中，取能滿足（B為頻帶寬度）的最大正整數。當頻帶寬帶B一定時，為了能用最低采樣速率即兩倍頻帶寬度

3、的采樣速率（）,帶通信號的中心頻率必須滿足。也即信號的最高或最低頻率是信號的整數倍。帶通采樣理論的應用大大降低了所需的射頻采樣頻率，為后面的實時處理奠定了基礎。但是從軟件無線電的要求來看，帶通采樣的帶寬應是越寬越好，這樣對不同基帶帶寬的信號會有更好的適應性，在相同的工作頻率范圍內所需要的“盲區”采樣頻率數量減少，有利于簡化系統設計。另外，當對于一個頻率很高的射頻信號采樣時，如果采樣頻率設的太低，對提高采樣量化的信噪比是不利的。所以在可能的情況下，帶通采樣頻率應該盡可能選的高一些，使瞬時采樣帶寬盡可能寬。但是隨著采樣速率的提高帶來的一個問題是采樣后的數據流速率很高。因此一個實際的無線電通信帶寬一

4、般為幾千赫茲到幾百赫茲。實際對單信號采樣時采樣率是不高的。所以對這種窄帶信號的采樣數據流降速是完全可能的。多速率信號處理技術為這種降速處理實現提供了理論依據。二、帶通采樣過程待采樣信號為中頻是100MHz，帶寬為2MHz的帶通信號：fc0=100e6; /中頻頻率fc1=99e6; /信號一的頻率fc2=101e6; /信號二的頻率fs1=3e6; /欠采樣的采樣頻率fs2=4e6; /臨界采樣采樣頻率fs3=6e6; /大于2倍帶寬的采樣速率f0=250e6 /用以模擬連續信號的離散信號采樣速率（遠大于nyquist率） t=0:1/f0:1e-6; xt0=2*cos(2*pi*fc1*t

5、)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采樣信號的波形和頻譜如圖所示：推薦精選 圖1 原信號波形及頻譜按照如上的三種采樣頻率對待采樣信號進行采樣，得到的三個信號及其幅度譜如圖所示：1） 欠采樣條件下得到的采樣信號：推薦精選圖2 欠采樣信號的波形及幅度譜2) 臨界采樣：圖3 臨界采樣信號的波形及幅度譜3） 滿足采樣條件的采樣信號推薦精選 圖4 正常采樣信號的波形及幅度譜 三、信號重建1）設計通帶為99101MHz的4階巴特沃茲一型IIR濾波器來作為信號恢復的模擬濾波器，濾波器的設計過程及幅頻響應特性如圖所示：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = 0.792 0.808;b,a

6、=butter(N,Wn,'bandpass');h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');圖1 濾波器的幅度響應2）將三種采樣信號的到的數據流通過信號恢復濾波器，即上述的巴特沃茲一型濾波器，得到的結果如下：推薦精選圖2欠采樣恢復圖3 臨界采樣恢復推薦精選圖3 正常采樣恢復四、結果分析從結果可見：欠采樣信號進行恢復時，從信號完整角度進行觀察便

7、可以發現信號的不同，缺少了原信號的部分信息。而臨界采樣信號的恢復，在信號周期上有一定的變化，比原信號的信息有所丟失。正常采樣下的信號可以恢復出原信號一個完整周期的頻譜。但由于所選取信號長度的問題，沒能恢復全部信號，但這已經能夠證明帶通采樣定理的正確性，即采樣后的信號沒有丟失原信號的信息。推薦精選附:%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíµÄÑéÖ¤%´øͨÖÐ

8、8;ÄƵÂÊΪfc=100MHz,ÐźÅƵÂÊΪf1=99MHzºÍf2=101MHz%²ÉÑùËÙÂÊ·Ö±ðΪ3MHz¡¢4MHz¡¢6MHz% % B=2MHz,ÀíÂÛ&

9、#201;ϵ±²ÉÑùƵÂÊ´ïµ½¶þ±¶´ø¿íʱ£ºÐźŵÄƵÆײ»»á»ìµþ¡£%clear all; c

10、lc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6; %ÐźÅ1µÄƵÂÊfc2=101e6; %ÐźÅ2µÄƵÂÊfs1=3e6; %µÍÓÚ¶þ±¶´ø¿íµÄ²ÉÑùƵ&

11、#194;Êfs2=4e6; %ÁÙ½ç²ÉÑùƵÂÊfs3=6e6; %´óÓÚ¶þ±¶´û¿îµÄ²ÉÑùƵÂÊ f0=250e6;%±íʾԭÐź

12、ŵIJÉÑùƵÂÊ£¬±ÈÆä²ÉÑùƵÂʸßÒ»¸öÊýÁ¿¼¶ %µÍͨ²ÉÑù¶¨Àí

13、1;IJÉÑù×÷ΪԭģÄâÐźÅ%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt0);title('´ý²ÉÑùÐźŲ¨

14、;ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjw0=fft(xt0,N);absy0=abs(yjw0);f=(0:N-1)*f0/N; subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title('´ý²ÉÑùÐźÅƵÆ×')xlabel('Êý×ÖƵÂÊ&

15、#39;);ylabel('·ù¶ÈÆ×')% %´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíϵÄÇ·²ÉÑù²¨Ðμ°ÆµÆ×%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;xts1=2*cos(2*pi*fc

16、1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,xts1);title('Ç·²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws1=fft(xts1,N);推薦精選absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys1);xlabel(&#

17、39;Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('Ç·²ÉÑùÐźÅƵÆ×')% %´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíÏÂ

18、ÁÙ½ç²ÉÑùµÄ²¨Ðμ°ÆµÆ×%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐÅ

19、86;Ų¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('

20、3;Ù½ç²ÉÑùÐźÅƵÆ×');% %´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùƵÂʵĴøͨ²ÉÑùµÄ²¨Ðμ

21、°ÆµÆ×% t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,xts3);title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabe

22、l('xt');yjws3=fft(xts3,N);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys3);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑ

23、49;ÐźÅƵÆ×');推薦精選%fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = 0.792 0.808;b,a=butter(N,Wn,'bandpass');h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude'); %Ç·²ÉÑùÐźŵĻָ´%figur