1、層次分析法層次分析法引言與引例引言與引例 層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱 AHP）是美國運籌學家 T. L. Saaty 教授于上世紀 70 年代初期提出的一種簡便、靈活而又實用的多準則決策方法。 人們在進行社會的、經(jīng)濟的以及科學管理領域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關聯(lián)、相互制約的眾多因素構成的復雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。 在這樣的系統(tǒng)中，人們感興趣的問題之一是：就 n 個不同事物所共有的某一性質而言，應該怎樣對任一事物的所給性質表現(xiàn)出來的程度（排序權重）賦值，使得這些數(shù)值能客觀地反映不同事物之間在該性質上的差異？ 層次分析法為這類問題的決

2、策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。它把復雜問題分解成組成因素，并按支配關系形成層次結構，然后用兩兩比較的方法確定決策方案的相對重要性。 層次分析法在經(jīng)濟、科技、文化、軍事、環(huán)境乃至社會發(fā)展等方面的管理決策中都有廣泛的應用。 常用來解決諸如綜合評價、選擇決策方案、估計和預測、投入量的分配等問題。 引例1.1.1：綜合評價 某公司招聘工作人員，擬從能力、知識和儀態(tài)三個方面考核應聘者的綜合表現(xiàn)。為此建立了如下評價指標的層次結構：其中 x1 = 寫作水平，x2 = 外語程度， x3 = 公關能力，x4 = 國內外政治經(jīng)濟時事， x5 =計算機操作知識，x6 = 容貌與風度， x7 = 體形

3、高矮與肥瘦，x8 = 音色。如能知道底層指標 x1, , x8 對最高層的權系數(shù)w1, , w8 以及各底層指標的得分，就可以按照如下的評價公式對應聘者進行考核、排序。 81iiixwS例例 大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題 獲得大學畢業(yè)學位的畢業(yè)生，在獲得大學畢業(yè)學位的畢業(yè)生，在“雙向選擇雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標準和要求。時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標準和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，就畢業(yè)生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：例如： 能發(fā)揮自己才干作出較好能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻貢獻（即工作崗位適（即工作崗位適合發(fā)揮自己的

4、專長）；合發(fā)揮自己的專長）； 工作工作收入收入較好（待遇好）；較好（待遇好）； 生活環(huán)境生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；好（大城市、氣候等工作條件等）； 單位單位名聲名聲好（聲譽等好（聲譽等）；）； 工作環(huán)境工作環(huán)境好（人際關系和諧等）好（人際關系和諧等） 發(fā)展發(fā)展晉升機會多（如新單位或前景好）等。晉升機會多（如新單位或前景好）等。引例1.1.2：綜合決策 某地要改善一條河道的過河運輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有的輪渡。 在此問題中過河方式的確定取決于過河的效益與代價（即成本）。通常我們用費效比（即效益/代價）作為選擇方案的標準。為此分別給出了兩個層次結構（圖 1.

5、1.2 和圖 1.1.3）。它們分別考慮了影響過河的效益與代價的因素，這些因素可分為三類：經(jīng)濟的、社會的和環(huán)境的。 決策的制定將取決于根據(jù)這兩個層次結構確定的方案的效益權重與代價權重之比，即如能知道底層方案 Di（i = 1, 2, 3）對最高層 Aj（j = 1, 2）的權系數(shù) wij（i = 1, 2, 3，j = 1, 2），則可根據(jù)如下的決策公式Si = wi1/ wi2，i = 1, 2, 3對三個方案進行排序、選擇。 引例1.1.3：預測或估計 在體育比賽中預測一個代表隊的成績，有三種可能的前景： x1 = 名列第一 x2 = 名列前八名（不包括第一） x3 = 名落孫山所用的評價

6、指標有三個：競技實力、自信心、環(huán)境因素。為此構建如下的層次結構： 如能知道底層指標 x1, x2, x3 對最高層的權系數(shù) w1j, w2j, w3j（j = 1, 2, 3），將各相同前景的權系數(shù)相加，就可以按照如下的預測公式 3 , 2 , 1 ,31iwSjiji對各前景 x1, x2, x3 對進行先驗預測。引例1.1.4：投入量的分配 在這種問題中，投入量給定，要把它們分配到若干部門去。如能知道各部門對投入量的需求權重，把權系數(shù)看成分配的百分比率即可。 1.2 層次分析法的基本原理和步驟層次分析法的基本原理和步驟 運用層次分析法解決問題，大體可以分為四個步驟： 1. 建立問題的遞階層

7、次結構； 2. 構造兩兩比較判斷矩陣； 3. 由判斷矩陣計算被比較元素相對權重； 4. 計算各層次元素的組合權重。 1.2.1 建立遞階層次結構 建立遞階層次結構是層次分析法中的第一步。 首先，將復雜問題分解為稱之為元素的各組成部分，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為準則，對下一層次的某些元素起支配作用，同時它又受上一層次元素的支配。這種從上至下的支配關系形成了一個遞階層次。處于最上面的的層次通常只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結果。中間層次一般是準則、子準則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不

8、支配下一層次的所有元素。 一個典型的層次可以用下圖表示出來： 其次，層次數(shù)與問題的復雜程度和所需要分析的詳盡程度有關。每一層次中的元素一般不超過 9 個，因一層中包含數(shù)目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。 第三，一個好的層次結構對于解決問題是極為重要的。層次結構建立在決策者對所面臨的問題具有全面深入的認識基礎上，如果在層次的劃分和確定層次之間的支配關系上舉棋不定，最好重新分析問題，弄清問題各部分相互之間的關系，以確保建立一個合理的層次結構。 一個遞階層次結構應具有以下特點： (1) 從上到下順序地存在支配關系，并用直線段表示。除第一層外，每個元素至少受上一層一個元素支配，除最后一層外，每個元

9、素至少支配下一層次一個元素。上下層元素的聯(lián)系比同一層次中元素的聯(lián)系要強得多，故認為同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關系。 (2) 整個結構中層次數(shù)不受限制。 (3) 最高層只有一個元素，每個元素所支配的元素一般不超過 9 個，元素多時可進一步分組。 (4) 對某些具有子層次的結構可引入虛元素，使之成為遞階層次結構。 1.2.2 構造兩兩比較判斷矩陣 在建立遞階層次結構以后，上下層次之間元素的隸屬關系就被確定了。假定上一層次的元素Ck 作為準則，對下一層次的元素 A1, , An 有支配關系，我們的目的是在準則 Ck 之下按它們相對重要性賦予 A1, , An 相應的權重。 對于大多數(shù)社會經(jīng)濟

10、問題，特別是對于人的判斷起重要作用的問題，直接得到這些元素的權重并不容易，往往需要通過適當?shù)姆椒▉韺С鏊鼈兊臋嘀亍?層次分析法所用的是兩兩比較的方法。 第一，在兩兩比較的過程中，決策者要反復回答問題：針對準則 Ck，兩個元素 Ai 和 Aj 哪一個更重要一些，重要多少。需要對重要多少賦予一定的數(shù)值。這里使用 19 的比例標度，它們的意義見表 1.3.1。 表1.3.1 標度的意義1表示兩個元素相比，具有同樣的重要性3表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素稍微重要5表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素明顯重要7表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素強烈重要9表示兩個元素相比，一個元素比另一個元

11、素極端重要2，4，6，8為上述相鄰判斷的中值 例如，準則是社會經(jīng)濟效益，子準則可分為經(jīng)濟、社會和環(huán)境效益。如果認為經(jīng)濟效益比社會效益明顯重要，它們的比例標度取 5，而社會效益對于經(jīng)濟效益的比例標度則取 1/5。 19 的標度方法是將思維判斷數(shù)量化的一種好方法。首先，在區(qū)分事物的差別時，人們總是用相同、較強、強、很強、極端強的語言。再進一步細分，可以在相鄰的兩級中插入折衷的提法，因此對于大多數(shù)決策判斷來說，19 級的標度是適用的。其次，心理學的實驗表明，大多數(shù)人對不同事物在相同程度屬性上差別的分辨能力在 59 級之間，采用 19 的標度反映多數(shù)人的判斷能力。再次，當被比較的元素其屬性處于不同的數(shù)

12、量級時，一般需要將較高數(shù)量級的元素進一步分解，這可保證被比較元素在所考慮的屬性上有同一個數(shù)量級或比較接近，從而適用于 19 的標度。 第二，對于 n 個元素 A1, , An 來說，通過兩兩比較，得到兩兩比較判斷矩陣 A：A = (aij)nn 其中判斷矩陣具有如下性質： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我們稱 A 為正的互反矩陣。 根據(jù)性質（2）和（3），事實上，對于 n 階判斷矩陣僅需對其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 個給出判斷即可。1.2.3 和法計算權重和法計算權重 步驟如下a) 將A的每一列向量歸一化得b) 對c) 歸一化niiji

13、jijaaw1/ijw按行求和得njijiww1Tnwww),(21wniiiiwww1/Tnwww),(21wd) 計算Aw1.2.3 方根法計算權重 方根法是一種更簡化的近似求解矩陣特征向量和最大特征根的方法，其特征向量Wi按下式計算。式中式中而最大特征根則按下式計算： =式中 (AW) =aWTi=1nAWiW（i）no試用方根法求例所示判斷矩陣的特征向量及特征根。設一判斷矩陣如下所示。 1 1/7 1/9 a= 7 1 1/2 9 2 1 o由此便可求出該判斷矩陣各目標的相應權重系數(shù)分別為：W=0.17491.05861.780611/71/9711/29210.059400.3450

14、0.5956=0.1749,1.0586,1.7806A30.05940+30.345030.05956=0.9814+1.0228+0.9965=3.0007T最大特征根為：最大特征根為： 1.2.4 計算單一準則下元素的相對權重 這一步是要解決在準則 Ck 下，n 個元素A1, , An 排序權重的計算問題。 對于 n 個元素 A1, , An，通過兩兩比較得到判斷矩陣 A，解特征根問題Aw = maxw所得到的 w 經(jīng)歸一化后作為元素 A1, , An 在準則 Ck 下的排序權重，這種方法稱為計算排序向量的特征根法。 特征根方法的理論依據(jù)是如下的正矩陣的Perron 定理，它保證了所得到

15、的排序向量的正值性和唯一性： 定理定理 設 n 階方陣 A 0，max 為 A 的模最大的特征根，則有 (1) max 必為正特征根，而且它所對應的特征向量為正向量； (2) A 的任何其它特征根 恒有 | max； (3) max 為 A 的單特征根，因而它所對應的特征向量除差一個常數(shù)因子外是唯一的。 特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量w，可用 Matlab 軟件直接計算。 例如：計算矩陣的最大特征值及相應的特征向量。1332223/1133/1113/13/115/14/14/12/13512/112/1142112/114111相應的 Matlab 程序如下：A = 1,1,1

16、,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1;x, y = eig(A);eigenvalue = diag(y);lamda = eigenvalue(1)y_lamda = x(:, 1)y 是特征值，且從大到小排列；是特征值，且從大到小排列；x 是特征向量矩陣，每一列為是特征向量矩陣，每一列為 相應特征值的一個特征向量。相應特征值的一個特征向量。輸出結果：lamda = 6.3516y_lamda = -0.3520 -0.4184 -0.4223

17、-0.1099 -0.2730 -0.6604 1.2.4 判斷矩陣的一致性檢驗 在特殊情況下，判斷矩陣 A 的元素具有傳遞性，即滿足等式aij ajk = aik例如當 Ai 和 Aj 相比的重要性比例標度為 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例標度為 2，一個傳遞性的判斷應有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例標度為 6。當上式對矩陣 A 的所有元素均成立時，判斷矩陣A 稱為一致性矩陣一致性矩陣。 一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性所決定的。但在構造兩兩判斷矩陣時，要求判斷大體上的一致是應該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙

18、又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的。一個混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導致決策的失誤，而且當判斷矩陣過于偏離一致性時，用上述各種方法計算的排序權重作為決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗。 判斷矩陣一致性檢驗的步驟如下： (1) 計算一致性指標 C.I.： 1C.I.maxnn其中 n 為判斷矩陣的階數(shù)； (2) 查找平均隨機一致性指標 R.I.： 平均隨機一致性指標是多次（500次以上）重復進行隨機判斷矩陣特征根計算之后取算術平均得到的。龔木森、許樹柏1986年得出的115階判斷矩陣重復計算1000次的平均隨機一致性指標如下：階數(shù)12345678R.I.0

19、00.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59(3) 計算一致性比例 C.R.： 當 C.R. 0.1 時，一般認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應對判斷矩陣作適當?shù)男拚?R.I.C.I.C.R. 1.2.5 計算各層元素的組合權重 為了得到遞階層次結構中每一層次中所有元素相對于總目標的相對權重，需要把1.2.3 中的計算結果進行適當?shù)慕M合，并進行總的一致性檢驗。這一步是由上而下逐層進行的。最終計算結果得出最低層次元素，即決策方案的優(yōu)先順序的相對權重和整個遞階層次模型的判斷一致性檢驗。 假定

20、遞階層次結構共有 m 層，第 k 層有 nk（k = 1, 2, , m）個元素，如圖 1.2.2。 已經(jīng)計算出第 k1 層 nk1個元素 A1, A2, , 相對于總目標的組合排序權重向量w(k1) = (w1(k1), w2(k1), , wnk1(k1) )T，以及第 k 層 nk 個元素 B1, B2, , 相對于第 k 1層每個元素 Aj（j = 1, 2, , nk1）的單排序權重向量pi(k) = (p1j(k1), p2j(k1), , pnk j(k1)T，i = 1, 2, , nk 其中不受 Aj 支配的元素權重取為 0。作 nk nk 1 階矩陣P(k) = (p1(k

21、), p2(k), , pnk 1(k)那么第 k 層 nk 個元素 B1, B2, , 相對于總目標的組合排序權重向量為w(k) = (w1(k), w2(k), , wnk(k)T = P(k)w(k1)，并且一般公式為w(k) = P(k)P(k1)P(3)w(k1)。 對于遞階層次模型的判斷一致性檢驗，需要類似地逐層計算。 若分別得到了第 k1 層次的計算結果 C.I.k1、R.I.k1 和 C.R.k1，則第 k 層次的相應指標為 1.3 范例范例工作選擇工作選擇：經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結構模型，如下圖所示： 經(jīng)過仔細斟酌，該生對

22、準則層和方案層分別進行了兩兩比較，所做的兩兩比較判斷矩陣為： 對矩陣 A 和 Bj（j = 1, , 6）分別進行求最大特征值、一致性判斷、求權值等運算，再經(jīng)過組合權重的計算和組合一致性的判斷，最終結果是：該生最滿意的工作為工作 1。中間的具體計算結果如表 1.3.1 和表 1.3.2 所示。(歸一化） 表1.3.1 各層及組合權值準則研究 發(fā)展 待遇 同事 地理 單位課題 前途 情況 位置 名氣總排序權 值準則層權值0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.2879方案層單排序權 值工作10.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0

23、.79860.3952工作20.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.2996工作30.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.09650.3052表1.3.2 各層及組合一致性比例準則研究 發(fā)展 待遇 同事 地理 單位課題 前途 情況 位置 名氣 組合一致比例準則層一致比例0.0981方案層一致比例0.0176 0.0236 0.0068 0.0624 0.0000 0.00680.1111注意注意：事實上，在準則層的最終組合一致性比例為0.1111，大于0.1。但由于各個單層的一致性都是可以接受的，組合一致性比例比0

24、.1大的很少，考慮到調整兩兩比較判斷矩陣非常麻煩，故在此問題中，我們認可這樣的一致性比例。 六、層次分析法應用實例六、層次分析法應用實例某單位擬從某單位擬從3名干部中選拔一名領導，選拔的標準名干部中選拔一名領導，選拔的標準有政策水平、工作作風、業(yè)務知識、口才、寫作能力有政策水平、工作作風、業(yè)務知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用和健康狀況。下面用AHP方法對方法對3人綜合評估、量化人綜合評估、量化排序。排序。目標層目標層選一領導干部選一領導干部 準則層準則層 1P2P3P 方案層方案層 健康狀況健康狀況業(yè)務知識業(yè)務知識口才口才寫作能力寫作能力工作作風工作作風政策水平政策水平建立層次結構模型建

25、立層次結構模型1132221133/1113/13/115/14/14/12/13512/112/1142112/114111A健康情況健康情況業(yè)務知識業(yè)務知識寫作能力寫作能力口才口才政策水平政策水平工作作風工作作風健康情況健康情況業(yè)務知識業(yè)務知識寫作能力寫作能力口才口才政策水平政策水平工作作風工作作風A的最大特征值的最大特征值,35. 6max相應的特征向量為：相應的特征向量為：TW)30. 0 ,12. 0 ,05. 0 ,19. 0 ,19. 0 ,16. 0()2(構造成對比較矩陣及構造成對比較矩陣及層次單排序層次單排序07.016635.6CI一致性指標一致性指標隨機一致性指標隨機一

26、致性指標 RI=1.24 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1通過一致性檢驗通過一致性檢驗假設假設3人關于人關于6個標準的判斷矩陣為：個標準的判斷矩陣為：13/123142/14/11)3(1B健康情況健康情況1252/1144/14/11)3(2B業(yè)務知識業(yè)務知識113113/13/131)3(3B寫作能力寫作能力17/15/171353/11)3(4B口才口才17/17/1711711)3(5B政策水平政策水平15/19/1517/1971)3(6B工作作風工作作風由此可求得各屬性的最大特征值和相應的特征向量。由此可求得各屬性的最大特征值和相應的特征

27、向量。特征值特征值健康情況健康情況 業(yè)務知識業(yè)務知識 寫作能力寫作能力 口才口才 政策水平政策水平 工作作風工作作風 3.02 3.02 3.05 3.05 3.00 3.02max各屬性的最大特征值各屬性的最大特征值05. 007. 007. 046. 057. 024. 017. 047. 065. 022. 033. 063. 077. 047. 028. 032. 010. 014. 0)3(W均通過一致性檢驗均通過一致性檢驗從而有從而有30. 012. 005. 019. 019. 016. 005. 007. 007. 046. 057. 024. 017. 047. 065. 022. 033. 063. 077. 047. 028. 032. 010. 014. 0)2()3(WWW26. 034. 040. 0W即在即在3人中應選擇人中應選擇A擔任領導職務。擔任領導職務。層次總排序及一致性檢驗層次總排序及一致性檢驗Z1A2A3A4A5A1B2B3B54321,AAA