1、 1818世紀風景秀麗的哥尼斯堡（位于立陶宛與波蘭之間，現屬俄羅世紀風景秀麗的哥尼斯堡（位于立陶宛與波蘭之間，現屬俄羅斯）中有一條河，河的中間有兩個小島，河的兩岸與兩島之間共建有斯）中有一條河，河的中間有兩個小島，河的兩岸與兩島之間共建有七座橋（如圖），城中的居民經常沿河過橋散步，不知從什么時候起，七座橋（如圖），城中的居民經常沿河過橋散步，不知從什么時候起，腳下的橋梁觸發了人們的靈感，一個有趣的問題在居民中傳開了：誰腳下的橋梁觸發了人們的靈感，一個有趣的問題在居民中傳開了：誰能夠一次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過一次？最后是否仍能夠一次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過一次？最后是否仍能

2、回到出發點？能回到出發點？ 這就是數學史上著名的七橋問題。這就是數學史上著名的七橋問題。ABCD 這個問題看起來是這樣的簡單，人人都樂意這個問題看起來是這樣的簡單，人人都樂意是嘗試，但沒有找到合適的路線。是嘗試，但沒有找到合適的路線。 問題傳開后，許多歐洲有學問的人也參與思問題傳開后，許多歐洲有學問的人也參與思考，同樣是一籌莫展，有人想到了當時正在俄國考，同樣是一籌莫展，有人想到了當時正在俄國圣彼得堡科學院任職的天才數學家圣彼得堡科學院任職的天才數學家歐拉歐拉，請他幫，請他幫助解決。助解決。 歐拉依靠他深厚的數學功底，運用嫻熟的變歐拉依靠他深厚的數學功底，運用嫻熟的變換技巧，經過一年的研究，于

3、換技巧，經過一年的研究，于17361736年遞交了一份年遞交了一份題為題為哥尼斯堡七座橋哥尼斯堡七座橋的論文，圓滿地解決了的論文，圓滿地解決了這一問題。這一問題。歐拉歐拉 （Leonhard Euler 公元1707-1783年） 歐拉出生在牧師家庭，自幼受到父親的教育。歐拉出生在牧師家庭，自幼受到父親的教育。1313歲時入讀歲時入讀巴塞爾大學，巴塞爾大學，1515歲大學畢業，歲大學畢業，1616歲獲得碩士學位。歐拉是歲獲得碩士學位。歐拉是1818世世紀數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把紀數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾乎整個物理的領域。此外，他

4、是數學史上最多產的數學推至幾乎整個物理的領域。此外，他是數學史上最多產的數學家，數學家，圣彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十圣彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。七年。 歐拉著作的驚人多產并不是偶然的，他可以在任何不良的環歐拉著作的驚人多產并不是偶然的，他可以在任何不良的環境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目邊喧嘩他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目失明以后，失明以后， 也沒有停止對數學的研究，在失明后的也沒有停止對數學的研究，在失明后的

5、1717年間，年間，他還口述了幾本書和他還口述了幾本書和400400篇左右的論文篇左右的論文1919世紀偉大數學家高世紀偉大數學家高斯（斯（GaussGauss，1777-18551777-1855年）曾說：年）曾說： 研究歐拉的著作永遠是了研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法解數學的最好方法 歐拉解決這個問題的方法非常巧妙。他認為：人們關歐拉解決這個問題的方法非常巧妙。他認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并不關心橋的長心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并不關心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，AB 而橋則可而橋則可

6、以看成是連接這些點的一條線。這樣，一個實際問題就轉以看成是連接這些點的一條線。這樣，一個實際問題就轉化為一個幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了。化為一個幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了。v所謂圖的所謂圖的一筆畫一筆畫，指的是：從圖的一點出發，筆不離紙，指的是：從圖的一點出發，筆不離紙，每條邊都只畫一次，不準重復。每條邊都只畫一次，不準重復。偶點偶點:與偶數條邊相連的點叫偶點。與偶數條邊相連的點叫偶點。奇點奇點:與奇數條邊相連的點叫奇點。與奇數條邊相連的點叫奇點。能夠一筆畫的圖形必須是連通圖形。能夠一筆畫的圖形必須是連通圖形。圖形奇點個數偶點個數 能否一筆畫04能能能能07能能不能不能

7、40511 1、奇點個數為、奇點個數為0 0的連通圖是一筆畫圖形。的連通圖是一筆畫圖形。可任選一點為起點，起點和終點為可任選一點為起點，起點和終點為同一點。同一點。ABCDEABCD（）（）（）（）（）（）下面哪些圖形可以一筆畫下面哪些圖形可以一筆畫出出?（7）圖形奇點個數偶點個數能否一筆畫能能不能不能 能能能能2224325 12 2、奇點數為，偶點數為任意的連通、奇點數為，偶點數為任意的連通 圖是一筆畫圖形。圖是一筆畫圖形。可選其中一個奇點做起點，而終點一定可選其中一個奇點做起點，而終點一定是另一個奇點，即一筆畫后不可以回到是另一個奇點，即一筆畫后不可以回到出發點。出發點。現在七橋問題可以

8、解決了嗎？現在七橋問題可以解決了嗎？AB四個點都是奇點四個點都是奇點 觀察下面的圖形，說明哪些圖可以一筆畫完，哪觀察下面的圖形，說明哪些圖可以一筆畫完，哪些不能，為什么？對于可以一筆畫的圖形，指明些不能，為什么？對于可以一筆畫的圖形，指明畫法畫法.練習1練習題答案練習題答案（1 1）圖：不能一筆畫，因為此圖不是連通圖。）圖：不能一筆畫，因為此圖不是連通圖。（2 2）圖：不能一筆畫，因圖中有四個奇點：）圖：不能一筆畫，因圖中有四個奇點：A A、B B、C C、D D。（3 3）圖：可以一筆畫，因為沒有奇點；）圖：可以一筆畫，因為沒有奇點； 畫法可以是：畫法可以是：ABCDEFGHABCDEFGH

9、 BICEJFHA BICEJFHA。（4 4）圖：不能一筆畫出，因為圖中有八個奇點。）圖：不能一筆畫出，因為圖中有八個奇點。獨立完成練習獨立完成練習1、2、3、4一筆畫原理：一筆畫原理： 一個圖如果可以一筆畫成，那么這個圖一個圖如果可以一筆畫成，那么這個圖中奇數頂點的個數不是中奇數頂點的個數不是0就是就是2。 在七橋問題中，如果允許你再架一座在七橋問題中，如果允許你再架一座橋，能否不重復地一次走遍這八座橋？這橋，能否不重復地一次走遍這八座橋？這座橋應該架在哪里？請你試一試！座橋應該架在哪里？請你試一試！ACDB見見12用什么方法變用什么方法變“不能一筆畫不能一筆畫”改成改成“一筆畫一筆畫”？

10、把把“奇點奇點”改成改成“偶點偶點”，剩，剩2個奇點或個奇點或0個奇點。個奇點。甲郵局乙1.圖中有兩個奇點：圖中有兩個奇點：A和和C.2.以以A、C兩點分別作為起點和兩點分別作為起點和終點而一筆畫成終點而一筆畫成3. 甲可以從甲可以從A出發，出發，不重復地走遍所有的街道，不重復地走遍所有的街道，最后到達最后到達C生活中的生活中的“一筆畫一筆畫”問題問題 需要順便提到的是：既然可需要順便提到的是：既然可由一筆畫畫成的脈絡，其奇點個由一筆畫畫成的脈絡，其奇點個數應不多于兩個，那么，兩筆劃數應不多于兩個，那么，兩筆劃或多筆劃能夠畫成的脈絡，其奇或多筆劃能夠畫成的脈絡，其奇點個數應有怎樣的限制呢？我想

11、，點個數應有怎樣的限制呢？我想，聰明的讀者完全能自行回答這個聰明的讀者完全能自行回答這個問題。問題。生活中的生活中的“一筆畫一筆畫”問題問題生活中的生活中的“一筆畫一筆畫”問題問題v例例3v練習練習9一般地，我們有：一般地，我們有：含有含有2n(n0)個奇點的脈絡，需要個奇點的脈絡，需要n筆劃畫成。筆劃畫成。生活中的生活中的“一筆畫一筆畫”問題問題練習練習10、11v練習練習17、18橡皮膜上的幾何學橡皮膜上的幾何學 在在哥尼斯堡七橋哥尼斯堡七橋問題中，讀者問題中，讀者已經看到了一種只研究圖形各部分位置已經看到了一種只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮它們尺寸大小的的相對次序，而不考慮它們

12、尺寸大小的新幾何學。萊布尼茲新幾何學。萊布尼茲(Leibniz，16461716)和歐拉為這種和歐拉為這種“位置幾何學位置幾何學”的發的發展奠定了基礎。如今這一新的幾何學，展奠定了基礎。如今這一新的幾何學，已經發展成一門重要的數學分支已經發展成一門重要的數學分支 拓撲學拓撲學 拓撲學研究的課題是極為有趣的。拓撲學研究的課題是極為有趣的。 在拓撲學中人們感興趣的只是圖形的位置而不是它的在拓撲學中人們感興趣的只是圖形的位置而不是它的大小。有人把拓撲學說成是橡皮膜上的幾何學是很恰當的。大小。有人把拓撲學說成是橡皮膜上的幾何學是很恰當的。因為橡皮膜上的圖形，隨著橡皮膜的拉動，其長度、曲直、因為橡皮膜上

13、的圖形，隨著橡皮膜的拉動，其長度、曲直、面積等等都將發生變化。此時談論面積等等都將發生變化。此時談論“有多長？有多長？”、“有多有多大？大？”之類的問題，是毫無意義的之類的問題，是毫無意義的! 不過，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質保持不不過，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質保持不變。例如點變化后仍然是點；線變化后依舊為線；相交的變。例如點變化后仍然是點；線變化后依舊為線；相交的圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交! 拓撲學正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上拓撲學正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變性質的幾何學保持不變性質的幾何學請大家思考：“串”

14、、“田”兩字，在橡皮膜上可變為什么圖形 拓撲學是在拓撲學是在19世紀末興起并在世紀末興起并在20世紀世紀蓬勃發展的數學分支，與近世代數、近代蓬勃發展的數學分支，與近世代數、近代分析共同成為數學的三大支柱。分析共同成為數學的三大支柱。 拓撲學已在物理、化學、生物一些工拓撲學已在物理、化學、生物一些工程技術中得到越來越廣泛的應用。拓撲學程技術中得到越來越廣泛的應用。拓撲學主要研究幾何圖形在一對一的雙方連續變主要研究幾何圖形在一對一的雙方連續變換下不同的性質，這種性質稱為換下不同的性質，這種性質稱為“拓撲性拓撲性質質”。 以下我們將復雜的拓撲學知識應用到以下我們將復雜的拓撲學知識應用到簡單的游戲中，

15、使觀眾在游戲中了解拓撲簡單的游戲中，使觀眾在游戲中了解拓撲學的特性，并學習到相關知識。學的特性，并學習到相關知識。 “內部”與“外部” 一條頭尾相連且自身一條頭尾相連且自身不相交的封閉曲線，把橡皮不相交的封閉曲線，把橡皮膜分成兩個部分。如果我們膜分成兩個部分。如果我們把其中有限的部分稱為閉曲把其中有限的部分稱為閉曲線的線的“內部內部”，那么另一部，那么另一部分便是閉曲線的分便是閉曲線的“外部外部”。從閉曲線的內部走到閉曲線從閉曲線的內部走到閉曲線的外部，不可能不通過該閉的外部，不可能不通過該閉曲線。因此，無論你怎樣拉曲線。因此，無論你怎樣拉扯橡皮膜，只要不切割、不扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、

16、不折疊、不穿孔，那撕裂、不折疊、不穿孔，那么閉曲線的內部和外部總是么閉曲線的內部和外部總是保持不變的保持不變的! “內部內部”與與“外部外部”是拓撲是拓撲學中很重要的一組概念學中很重要的一組概念 以下有趣的故事，將增加你以下有趣的故事，將增加你對這兩個概念的理解：對這兩個概念的理解： 傳說古波斯穆罕默德的繼承人傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈里發，有一位才貌雙全的女兒。哈里發，有一位才貌雙全的女兒。姑娘的智慧和美貌，使許多聰明英姑娘的智慧和美貌，使許多聰明英俊的小伙子為之傾倒，致使求婚者俊的小伙子為之傾倒，致使求婚者的車馬絡繹不絕。哈里發決定從中的車馬絡繹不絕。哈里發決定從中挑選一位才智超群的青年

17、為婿。于挑選一位才智超群的青年為婿。于是便出了一道題目，聲明說：誰能是便出了一道題目，聲明說：誰能解出這道題，便將女兒嫁給誰！解出這道題，便將女兒嫁給誰！v 哈里發的題目是這樣的：請用線把哈里發的題目是這樣的：請用線把下圖中寫有相同數字的小圓圈連接起下圖中寫有相同數字的小圓圈連接起來，但所連的線不許相交，也不許與來，但所連的線不許相交，也不許與圖中的線相交圖中的線相交 上述問題的解決，似乎不費吹灰上述問題的解決，似乎不費吹灰之力。但實際上求婚者們全都乘興之力。但實際上求婚者們全都乘興而來，敗興而去！而來，敗興而去！ 據說后來哈里發終于醒悟，發現據說后來哈里發終于醒悟，發現自己所提的問題是不可能

18、實現的，自己所提的問題是不可能實現的，因而后來又改換了題目。也有的說，因而后來又改換了題目。也有的說，哈里發固執已見，美麗的公主因此哈里發固執已見，美麗的公主因此終生未嫁。事情究竟如何，現在自終生未嫁。事情究竟如何，現在自然無從查考。然無從查考。 哈里發的失算，卻是可以用拓撲學的知哈里發的失算，卻是可以用拓撲學的知識加以證明的。其所需之概念，只有識加以證明的。其所需之概念，只有“內部內部”與與“外部外部”兩個。事實上，我們很容易用線兩個。事實上，我們很容易用線把把一一、一一連起來。明眼的讀者可能連起來。明眼的讀者可能已經發現：我們得到了一條簡單的閉曲線，已經發現：我們得到了一條簡單的閉曲線，這

19、條曲線把整個平面分為內部這條曲線把整個平面分為內部(陰影部分陰影部分)和和外部兩個區域。其中一個外部兩個區域。其中一個在內部區域，而在內部區域，而另一個另一個卻在外部區域，要想從閉曲線內部卻在外部區域，要想從閉曲線內部的的，畫一條弧線與外部的，畫一條弧線與外部的相連，而與已相連，而與已畫的閉曲線不相交，這是不可能的！這正是畫的閉曲線不相交，這是不可能的！這正是哈里發悲劇之所在。哈里發悲劇之所在。 點A是在內部還是外部不分內外的不分內外的“克萊因克萊因瓶瓶”例例5、假如直線、假如直線AB是一條公路，在路兩側是一條公路，在路兩側有甲、乙兩個村子，現在要在公路上修有甲、乙兩個村子，現在要在公路上修一

20、個公共汽車站，讓這兩個村的人到車一個公共汽車站，讓這兩個村的人到車站的路線之和最短。問車站應修建在什站的路線之和最短。問車站應修建在什么地方？么地方？三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊連接兩點的所有線中，直線段最短連接兩點的所有線中，直線段最短v公理是從實踐中總結出來的任何人都承認的原始道理。當然，有同學會想：“你那個公理我不承認行不行呢?”那可不行，比如圖（1）中，有一只雞在B點覓食，你在A點處放一些米，那么雞一定會沿直線AB跑過來吃食，決沒有一只蠢雞沿BCA或沿BDA的線路跑過來。這表明：公理不但人類公認，連動物界也都遵循它。將軍飲馬問題將軍飲馬問題: 古希臘一位將軍古希

21、臘一位將軍要從要從A地出發到河邊地出發到河邊L去飲馬，然后再回去飲馬，然后再回到駐地到駐地B. 顯然有許顯然有許多走法多走法 問怎樣選問怎樣選擇飲馬地點，擇飲馬地點， 才能才能使路程最短使路程最短? L我們看看海倫是怎么我們看看海倫是怎么解決的。海倫發現這解決的。海倫發現這是一個求折線和最短是一個求折線和最短的問題。已知兩點間的問題。已知兩點間直線段最短。那么，直線段最短。那么，顯然要把折線變成直顯然要把折線變成直線再解。如果直接連線再解。如果直接連AB，與，與l不會相交。怎不會相交。怎么辦呢？么辦呢？ 將軍飲馬問題將軍飲馬問題 原來海倫解決本問題時，是利用作對稱原來海倫解決本問題時，是利用作

22、對稱點把折線問題轉化成直線問題求解的。后來點把折線問題轉化成直線問題求解的。后來這一方法已形成了思想，它在解決許多問題這一方法已形成了思想，它在解決許多問題中都在起作用。現在人們把凡是用對稱點來中都在起作用。現在人們把凡是用對稱點來實現解題的思想方法叫實現解題的思想方法叫對稱原理對稱原理。（拉直方。（拉直方法）法）獨立完成獨立完成5、6第第5題是把對稱原理連續使用了兩次題是把對稱原理連續使用了兩次 較復雜的最短路線問題獨立完成獨立完成14、13 如圖如圖, A,B兩地在一條河的兩岸兩地在一條河的兩岸, 現要在現要在河上造一座橋河上造一座橋MN, 橋造在何處才能使從橋造在何處才能使從A到到B的路

23、徑的路徑AMNB最短最短?(假定河的兩岸是假定河的兩岸是平行的直線平行的直線,橋要與河垂直橋要與河垂直)NoImage造橋選址問題造橋選址問題:平行且相等的原理平行且相等的原理 利用勾股定理利用勾股定理求解幾何體的最短路線長求解幾何體的最短路線長例例1、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于高分別等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是這個臺階的兩個是這個臺階的兩個相對的端點，相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的點去吃可口的食物食物.請你想一想，這只螞蟻從請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面點出發，沿著臺階面爬到爬到B點，最短線路是多少？點，最短線路是多少？BAABC531512一、臺階中的最值問題一、臺階中的最值問題 AB2=AC2+BC