1、二、基礎知識（一）方陣的特征值與特征向量 2. 求法 （1）特征多項式1. 定義0, xxAx )(212222111211 AnnnnnnfaaaaaaaaaAE 第1頁/共21頁3. 性質特征方程 其解為A的特征值。, 0)( AEfA （2）特征向量： 的非零解。 0 xAEi （1）設 是 的特征值，則 是 的特征值 ; k kAA是 的特征值.)( f)(Af（2） 是 的特征值，則n ,21nnA Aaaannnn 21221121;第2頁/共21頁（3）若A是可逆陣，則A的特征值都不為零，其（4） 與 的特征多項式相同，特征值相同。TAA（5）不同特征值對應的特征向量必線性無關。

2、1 A的特征值為 1*A的特征值為 A（二）相似矩陣、相似變換1. 定義BAPP 1 2. 性質： 若A與B相似，則有第3頁/共21頁（1）A與B有相同的特征多項式，特征值。（2）)()(;BRARBAtrBtrA （三）方陣的對角化（3）若A可逆，則B可逆，且 與 也相似。1 A1 B（4） 與 相似 ，相似變換陣仍為P。kAkB（5） 與 相似 。)(Af)(Bf1. 定義 nAPP 11第4頁/共21頁將方陣A對角化的步驟：推論： 若n階方陣 A有n個互不相同的特征值，則A一定可以對角化。 2. n階方陣 A可對角化 A有n個線性無關的特征向量。1. 求A的特征值n ,212. 求 對應

3、的特征向量。), 2 , 1(nii （四）實對稱陣AAT 第5頁/共21頁（1）實對稱陣的特征值都是實數，特征向量都是實向量。將實對稱陣A正交相似對角陣的計算步驟：（2）實對稱陣的不同特征值對應的特征向量必正交。（3）實對稱陣A可對角化，且都可正交相似于對角陣。1. 求A的特征值2. 求 對應的特征向量), 2 , 1(nii n ,213. 將 正交規范化得到n ,21nppp,21 nppp,214. 構造矩陣P= ,P正交陣，使 APPT第6頁/共21頁解：三、典型例題即11PAP 1. 設 有一個特征值對應的特征向量為 2211P求 a, b, c. acbcaA14001, 21

4、221222114001acbca第7頁/共21頁 4222442222acbca 122cba2. 已知 可對角化，求a 00000123aA解：由于A可對角化，則A有3 個線性無關的特征向量。A的特征值0, 3321 第8頁/共21頁1)( AR與 對應的特征向量中存在2個線性無關的 。032 即 的基礎解系中含有兩個解 。0)0( xAE0 a3. 設A與B相似， aA33242111 bB00020002(1)求a , b(2)求可逆陣P，使BAPP 1第9頁/共21頁 000000111333222111A-E2 解：(1)由A與B相似得A的特征值為2，2，6. 所以 bAba444

5、1 65ba(2) 時，221 , 0)2( xAE第10頁/共21頁 101,01121PP基礎解系為： 時，63 (6)0EA x 00032103101460460111115133111133222115A-E6 第11頁/共21頁 3213P基礎解系為：故 310201111,321pppP使 6000200021APP第12頁/共21頁4. 已知 是矩陣 的一個 111P 2135212baA特征向量。（1）求a, b及特征向量P所對應的特征值。（2）問A能否對角化？說明理由。解：即PAP )1( 121ba 103 ba第13頁/共21頁3)1(201335212)2( AE13

6、21 故 是A的特征值。 000110101101325213)(, 0)(AExAE與 對應的A的線性無關的特征向量只有一個，故A不能對角化。1 第14頁/共21頁解：7. 設三階矩陣 的特征值為A對應的特征向量分別為：; 1, 2, 2321 011,111,110321PPP10,求AA由于A可對角化，故存在可逆矩陣 使,321pppP 第15頁/共21頁 1000200021APP1100020002 PPA 011111110P又 1101110111P 2443543321000200021PPA所以第16頁/共21頁1101011011110100020002 PPPPPPPPPPA8. 求一個正交相似變換矩陣P，將 020212022A對角化。 第17頁/共21頁將其對應的特征向量單位化、正交化后，得 0AE 所以， 解：; 4, 1, 2321 12231,21231,22131321PPP,321pppP 第18頁/共21頁填空題例1： 的特征值為1，-1，2， 則 232AAB )( B33 A解答： 0例2： 矩陣，0322 EA