1、2.3.1直線與平面垂直的判定 生活中有很多生活中有很多直線與平面垂直的直線與平面垂直的實例，你能舉出實例，你能舉出幾個嗎？幾個嗎？旗桿與底面垂直旗桿與底面垂直思考思考. .陽光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子陽光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位置關系有何位置關系. .ab1.1.旗桿所在的直線始終與旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直影子所在的直線垂直.c1b1c 2. 2. 直線直線abab垂直于平面垂直于平面內的任意一條直線內的任意一條直線lp 如果直線如果直線 l 與平面與平面 內的內的任意一條直線任意一條直線都垂直，都垂直，我們說我們說直線直線 l 與平面與平面 互相垂直

2、互相垂直，記作記作 l平面平面 的垂線的垂線直線直線 l 的垂面的垂面垂足垂足l線面垂直線面垂直的定義常這樣使用的定義常這樣使用laa簡記：線面垂直，則簡記：線面垂直，則線線垂直線線垂直l a 如果一條直線垂直于一個如果一條直線垂直于一個平面內的平面內的一條一條直線，那么直線，那么這條這條直線是否與這個平面垂直？直線是否與這個平面垂直？不一定不一定兩條呢？兩條呢？ 無數條呢？lp 除定義外，如何除定義外，如何判斷判斷一條直線與平面垂直一條直線與平面垂直呢？呢？準備一塊三角形紙片準備一塊三角形紙片, ,過過abcabc的頂點的頂點a a翻折紙片，翻折紙片，得到得到折痕折痕adad，將翻折后的紙片

3、，將翻折后的紙片豎起豎起放置在桌上放置在桌上（bdbd、dcdc與桌面接觸與桌面接觸）. .a abcd思考思考 (1)(1)折痕折痕adad與桌面垂直嗎？與桌面垂直嗎？(2)(2)如何翻折才能保證折痕如何翻折才能保證折痕adad與桌面所在平面垂直？與桌面所在平面垂直？bdcabd,cdbd,cd都在桌面內，都在桌面內，adcd,adbdadcd,adbd, , bdcd=d，直線直線adad所在的直線與桌面垂直所在的直線與桌面垂直lmnp一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直則該直線與此平面垂直balaal bl ababal

4、作用：作用：判定直線與平面垂直判定直線與平面垂直簡記為：簡記為：線線垂直線線垂直 線面垂直線面垂直例例1 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面. 已知：已知：a/b，a 求證求證: b a ab b證明：證明：設設m m是是 內的任意一條內的任意一條直線直線m mmamambba/bm可作定理使用可作定理使用 如圖，如圖，直四棱柱直四棱柱 （側棱與底面垂直（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形 滿足什么滿足什么條件時，條件時， ？abcddcba

5、abcddbcaaabbccdd 底面四邊形底面四邊形 對角對角線相互垂直線相互垂直abcd線面垂直判定定理的應用例 1：已知：如圖 1，空間四邊形 abcd 中，abac，dbdc，取 bc 中點 e，連接 ae、de，求證：bc平面 aed.圖 1證明：abac，dbdc，e 為bc 中點，aebc，debc.又ae de =e，bc平面aed.pabco2.如圖，圓如圖，圓o所在一平面為所在一平面為 ，ab是圓是圓o 的直徑，的直徑，c 在圓周上在圓周上, 且且pa ac, pa ab,求證：（求證：（1）pa bc （2）bc 平面平面pac ,解：（1）且又abacabacapaac

6、 paabpabcpabc pacbcaacpapabcacbc，aboc面又得由為直徑上一點為圓,1)2(證明：pa o 所在平面，bco 所在平面，pa bc，ab 為o 直徑， acbc，又 pa aca， bc平面 pac，又 ae平面 pac，bcae，aepc, pcbcc，ae平面 pbc.例 3：如圖 6，已知 pa o 所在平面，ab 為 o 直徑， c 是圓周上任一點，過 a 作 aepc 于 e，求證：ae平面 pbc. 圖 6vabc.dva= vc，ab=bc,abcv求證求證: : vb ac. .中，中，在三棱錐在三棱錐1. 1. 如圖，如圖，提示：提示：找找ac

7、ac中點中點d,d,連接連接vd,bdvd,bd 2. 2. 已知：正方體中，已知：正方體中，acac是面對角線，是面對角線，bdbd是與是與ac ac 異面的體對角線異面的體對角線. .求證：求證：acbdacbdabdca b cd正方體正方體abcd-abcd abcd-abcd dddd正方形正方形abcd abcd ddac證明：連接證明：連接bdbdabdcabcdacac、bd bd 為對角線為對角線acbdacbdddddbd=dbd=d acac平面平面ddbddb 且且bdbd面面ddbddb acbdacbd opa斜線斜線斜足斜足線面所成角線面所成角（銳角（銳角paop

8、ao）射影射影關鍵：關鍵：過斜線上一點作平面的過斜線上一點作平面的垂線垂線線面所成的角線面所成的角1 1、直線和平面垂直直線和平面垂直 直線和平面所成的角是直線和平面所成的角是直角直角 直線和平面平行或在平面內直線和平面平行或在平面內 直線和平面所直線和平面所成的角是成的角是0 02 2、直線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范圍是：的取值范圍是：_ _ 201.如圖：正方體如圖：正方體abcd-a1b1c1d1中，中，求求:a1c1與面與面bb1d1d所成的角所成的角。a1d1c1b1adcb45o2、在正方體、在正方體abcd-a1b1c1d1中，求直線中，求直線a1b和平面和平面a

9、1b1cd所成的角所成的角o111111111111111111111111111111111111,.,.22 ,21,30 .2bcbcoaoabbcabb babbcc babbcbcbcbcabcdaoababcdbaoababcdart aboaba boaboabbaoabab解：連接交于點連接，平面又平面為斜線在平面內的射影，為與平面所成的角.設正方體的棱長為在中，直線和平面130 .cd所成的角為求直線和平面所成的角，求直線和平面所成的角，當直線和平面斜交時，當直線和平面斜交時，常有以下步驟：常有以下步驟：作作作出或找到斜線與射影所成的角；作出或找到斜線與射影所成的角；證證論證

10、所作或找到的角為所求的角；論證所作或找到的角為所求的角；算算常用解三角常用解三角形的方法求角；形的方法求角；結論結論說明斜線和平面所成的角值說明斜線和平面所成的角值圖圖 51.如圖如圖 5，在長方體，在長方體 abcda1b1c1d1 中，中， abbc2，aa11，則，則 ac1 與平面與平面 a1b1c1d1 所成角的正弦值為所成角的正弦值為( )a2.若斜線段若斜線段 ab 是它在平面是它在平面內的射影長的內的射影長的 2 倍，則倍，則 ab與與所成的角為所成的角為()a60 b45 c30 d120 答案：答案：d解析：解析：如圖如圖22 ，連接，連接 a1c1 ，則，則ac1a1 為

11、為 ac1 與平面與平面a1b1c1d1 所成角所成角圖圖 22 (1) (1)若兩直線若兩直線a a與與b b異面，則過異面，則過a a且與且與b b垂直的平垂直的平面（面（ ）a a有且只有一個有且只有一個 b b可能存在也可能不存在可能存在也可能不存在 c c有無數多個有無數多個 d d定不存在定不存在 (2)(2)正方形正方形abcdabcd，p p是正方形平面外的一點，且是正方形平面外的一點，且papa平面平面abcdabcd，則在，則在pabpab、 pbcpbc、pcdpcd、padpad、 pacpac及及pbdpbd中，中， 為直角三角形有為直角三角形有_個個b 5 1 1直

12、線與平面垂直的概念直線與平面垂直的概念（1 1）利用定義；）利用定義；（2 2）利用判定定理）利用判定定理3 3數學思想方法：轉化的思想數學思想方法：轉化的思想空間問題空間問題平面問題平面問題2 2直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直垂直與平面內任意一條直線垂直與平面內任意一條直線（3 3）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面同一個平面4 4直線與平面所成的角直線與平面所成的角. .90,0范圍：p 為abc 所在平面外一點，o 為 p 在平面 abc 上的射影(2)若

13、 pa pbpc，則 o 是abc 的_；(3)若 pa bc，pbac，則 o 是abc 的_；(4)若 p 到abc 三邊的距離相等，且 o 在abc 內部，則o 是abc 的_；(5)若 pa 、pb、pc 兩兩互相垂直，則 o 是abc 的_外心垂心內心垂心0(1).,90 ,_.papbpccoab若則 是邊的點中中解析：(2)如圖 23，po平面 abc，pa 、pb、pc 在平面 abc 上的射影分別是 oa、ob、oc.又pa pbpc，oaoboc. o 是 abc 的外心圖 23圖 24(3)如圖 24，po平面 abc，pa 在平面 abc 上的射影是 oa.bcpa ，bcoa. 同理可證 acob，o是 abc 的垂心(4)如圖 25，圖 25p到 abc 三邊的距離分別是 pd、pe、pf，則 pdpepf.po平面 abc，pd、pe、pf 在平面 abc 上的射影分別是 od、oe、of.odoeof，且 odab，oebc，ofac.o是 abc 的內心po平面 abc，oa 是 pa 在平面 abc 上的射影又pa pb，pa pc，pa 平面 pbc.又bc平面 pbc，pa bc.oabc.同理可證 obac.o是 abc 的垂心(5)如圖 26，圖 26例 1：如圖 ，在四面體 pabc 中，若 pa bc，pbac， 求證：p