1、1一切波動都是某種振動一切波動都是某種振動的傳播過程的傳播過程物體在某一位置附近所作物體在某一位置附近所作的來回往復的運動的來回往復的運動復雜振動復雜振動任何一個物理量隨時間的任何一個物理量隨時間的周期性變化即為振動周期性變化即為振動機械振動：機械振動：廣廣 義：義：振動是波動的基礎：振動是波動的基礎： 簡諧振動簡諧振動 = 2kl0 xmoaa 彈簧振子的振動彈簧振子的振動00fx3kxf f彈彈簧簧振振子子一、一、簡諧振動的特征方程簡諧振動的特征方程平衡位置平衡位置1 1 回復力回復力物體所受合外物體所受合外力為零的位置力為零的位置mkkmoxxmmk0 xfxxo豎豎直直)(0 xxkm

2、gf kx 斜放斜放7.1 簡諧振動的描述簡諧振動的描述4kxf 0222 xdtxd令令2 簡諧振動的微分方程簡諧振動的微分方程xmk a )(2xa 又又ma 22dtxda mk 2mfk（動力學方程）（動力學方程）0 xx5)cos( tax3 3 簡諧振動的運動方程簡諧振動的運動方程dtdx )sin( ta22dtxda )cos(2 ta加速度振 幅a a2 速 度振 幅 m ma0222 xdtxd（振動方程）（振動方程）6kxf )cos( tax三三 條條 特特 征征)0 xdtxd(222 簡諧振動簡諧振動三條判據三條判據簡諧振動的簡諧振動的定義式定義式簡諧振動的簡諧振動

3、的普遍定義式普遍定義式7二點說明坐標原點取在平衡位置坐標原點取在平衡位置（2 2）證明一種振動是簡諧振動的一般步驟）證明一種振動是簡諧振動的一般步驟 a a）確定研究對象，找平衡位置）確定研究對象，找平衡位置 b b）建立以平衡位置為原點的坐標系）建立以平衡位置為原點的坐標系 c c）進行受力分析）進行受力分析 d d）利用牛頓定律或轉動定律寫出物體在任一位置）利用牛頓定律或轉動定律寫出物體在任一位置 的動力學方程的動力學方程 e e）根據判據判斷該振動是否為簡諧振動）根據判據判斷該振動是否為簡諧振動 (1(1）特征方程成立的條件）特征方程成立的條件: :8t 22 二二 描述簡諧振動的物理量

4、描述簡諧振動的物理量2 周期周期 頻率頻率 圓頻率圓頻率:t:v: 完成一次完成一次全振動全振動所用時間所用時間回到原來的運動狀態回到原來的運動狀態a,r )tcos(a)tt (cosa )t (x)tt (x 22 tt單位時間內全振動的次數單位時間內全振動的次數 21 tv2個單位時間內全振動的次數個單位時間內全振動的次數mk,v ,t 決決定定于于系系統統本本身身1、振幅：、振幅： 表示物體離開平衡位置的表示物體離開平衡位置的最大最大距離距離a)cos( tax9(1) (1) 建立振動系統的微分方程建立振動系統的微分方程比較與與標標準準方方程程 )2( ,2,2 )3(tt求振動系統

5、的固有利用公式彈彈簧簧振振子子mk kmt 22mkt 211022 bxdtxd 動系統的固有圓頻率前的系數的開方就是振x0222 xdtxd求一個振動系統固有求一個振動系統固有、t t、 的方法的方法 103 3、位相和初相、位相和初相（1）位相：）位相：ax 2 t（相位、周相、相）（相位、周相、相）0 x(2) (2) 初相初相: :2 00 x0 ax 0不同的位不同的位相表示不相表示不同的運動同的運動狀態狀態初相不同，初相不同，物體的初始物體的初始運動狀態不運動狀態不同同)tsin(a )cos( tax0 0 ta 00 a0 t表示物體的運動狀態表示物體的運動狀態11（3）對位

6、相作四點說明）對位相作四點說明a) 用位相表征物體的振動狀態用位相表征物體的振動狀態,可以反映振動的周期性可以反映振動的周期性)(2 t b) 若已知位相差若已知位相差 ，可以求出同一簡諧振動由一個，可以求出同一簡諧振動由一個狀態變化到另一狀態所經歷的時間狀態變化到另一狀態所經歷的時間 tt tc) 利用位相差比較兩個同方向、同頻率簡諧振動的步調利用位相差比較兩個同方向、同頻率簡諧振動的步調x1=a1cos(t+ 1)x2=a2cos(t+ 2)12 當當 =2k (k=0,1,2,)兩振動步調一致，同相兩振動步調一致，同相當當 =(2k+1) (k=0,1,2,) 兩振動步調相反，反相兩振動

7、步調相反，反相d) 位相也可以用來比較不同物理量的步調位相也可以用來比較不同物理量的步調)cos( tax)(1 t12三、振幅和初相的確定三、振幅和初相的確定當當t=0時時22020 xa 確定確定 的方法：的方法：ax0cos asin0 00 xtan x0=a cos x=x0 x0=acos 或或由由 的正負，根據的正負，根據 確定確定 cos 或或sin 的正、負，的正、負，00,x 從而確定從而確定 所在的象限所在的象限)cos( tax)tsin(a 初始初始條件條件0 sina0 sina0 13)cos( tax)tsin(a )cos(2 taaxa234o,xav,ta

8、aa2 四、簡諧振動的描述方法四、簡諧振動的描述方法 2.圖線法圖線法(振動曲線振動曲線)1. 解析法解析法14)cos(tax 旋轉旋轉矢量矢量 的的端點在端點在 軸上的投軸上的投影點的運影點的運動為簡諧動為簡諧運動運動. .xa旋轉矢量法演示旋轉矢量法演示15 3. 3. 旋轉矢量法旋轉矢量法 tt=0 x.o txa 振幅矢量振幅矢量)cos( tax(2) 圓周運動的半徑圓周運動的半徑 參參考考圓圓繞繞o點以角速度點以角速度 逆時針旋逆時針旋轉的矢量轉的矢量 a，在，在x 軸上的投軸上的投影正好描述了一個簡諧振動影正好描述了一個簡諧振動等于振動的園頻率等于振動的園頻率(1) 圓周運動的

9、角速度圓周運動的角速度 (3) 圓周的矢徑與圓周的矢徑與x軸夾角軸夾角 等于振動的振幅等于振動的振幅初始時刻初始時刻等于振動的初相等于振動的初相 (4) 已知質點的運動狀態已知質點的運動狀態, （或振動曲線（或振動曲線）能畫出振）能畫出振幅矢量的位置幅矢量的位置,從而確定該從而確定該時刻位相時刻位相 任意時刻等于任意時刻等于振動的位相振動的位相 注意幾個問題：注意幾個問題：16.2a 1 23 32 x1t.o a2t2 0,2/ax:t111 時時刻刻0,0 x:t222 時時刻刻方法：方法：（a） 取取ox軸（沿振動方向）軸（沿振動方向）（b b）作參考圓：以）作參考圓：以o o為圓心，振

10、幅為圓心，振幅a a為半徑作一圓周為半徑作一圓周(c) 在在x軸（振動軸）上軸（振動軸）上 找出與質點運動狀態的對應點找出與質點運動狀態的對應點（d） 作振幅矢量：作振幅矢量：過與質點運動狀態對應點作過與質點運動狀態對應點作x軸的軸的垂線，與參考圓相交兩點，從原點垂線，與參考圓相交兩點，從原點o向這兩點作向量，向這兩點作向量，根據速度方向確定振幅矢量的位置根據速度方向確定振幅矢量的位置（e e）該振幅矢量與）該振幅矢量與x x軸正向夾角就是該時刻的位相軸正向夾角就是該時刻的位相例例1：17一質點沿一質點沿x 軸作簡諧運動軸作簡諧運動，a = 0.12 m ，t=2s ，當，當t = 0時質點對

11、平衡位置的位移時質點對平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向向x 軸正向運動。軸正向運動。求：（求：（1）簡諧運動表達式；）簡諧運動表達式； (2) t=t/4時，質點的位置、速度、加速度時，質點的位置、速度、加速度; (3) 第一次通過平衡位置的時刻。第一次通過平衡位置的時刻。解：解： （1）)tcos(ax t2)tcos(.x 120 a/2 t xx3 ?例題例題23 18（2）t =t/4 時，質點的位置、速度、加速度；時，質點的位置、速度、加速度；)3cos(12. 0 tx)3tsin(12.0 )3cos(12.02 ta214 ttm04.1)32cos(12.0 xm/

12、s189.0)6sin(12.0 22m/s03.1)6cos(12.0 a19 （3）第一次通過平衡）第一次通過平衡位置的時刻位置的時刻)(a 0)t (a t(s) 83.065 tx 還可以求還可以求“第二次第二次”旋轉角度旋轉角度11 /6平衡平衡位置位置)3cos(12.0 tx 65 20 例：單擺例：單擺1、細線質量不計、細線質量不計3、阻力不計、阻力不計lg sin052、lm約約定定)tcos(00 解：解：gmt f 受力：受力：gmt取逆時針為正取逆時針為正力矩：力矩：gmlm sin lmgm mgsinmgf tddlla22 222dtd,mlj,jm 0lgdtd

13、22 sinlmgm 21已知簡諧振動表達式已知簡諧振動表達式xa32)32tcos(ax 試畫出振動曲線試畫出振動曲線0 tx例題例題322小小 結結 kxf 一、一、簡諧振動的特征方程簡諧振動的特征方程1 1。回復力回復力0222 xdtxd2。簡諧振動的微分方程。簡諧振動的微分方程)(2xa （動力學方程）（動力學方程）)cos( tax)tsin(a )cos(2 taa3 3。簡諧振動的運動方程。簡諧振動的運動方程（振動方程）（振動方程）am aam2 掌握證明一種振動是簡諧振動的一般步驟掌握證明一種振動是簡諧振動的一般步驟23二、描述簡諧振動的物理量二、描述簡諧振動的物理量1、振幅：、振幅：2 2、周期、周期（t t）：）： 21t 2 2t)cos( tax（a） 頻率頻率（)、圓頻率圓頻率（） 彈彈簧簧振振子子mk kmt 22mkt 2112020)(xa 求振幅有求振幅有三種方法三種方法22)(xa kea/2 （1）已知初始位速）已知初始位速（3）已知總機械能）已知總機械能（2）已知任意位速）已知任意位速24求求圓圓頻頻率率的的方方法法(1) (1) 建立振動系統的微分方程建立振動系統的微分方程t 22022 bxdtxd 動系統的固有圓頻率前的系數的開方就是振x（2 2）利用公式