1、洛必達法則洛必達法則本次大課主要內容本次大課主要內容1、理解洛必達法則、理解洛必達法則2、會求下列未定式的極限、會求下列未定式的極限,00 00,1 ,0 ,0 復習：復習： 35lim120 xxx）（ 221lim)2(244xxxx 1lim)3(221xxxx xxx)11(lim)4( xxx5sinlim)5(02ln3limxxx00型及型未定型定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個個函函數數時時或或如如果果當當 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx

2、0lnsinlim,lnsin2xxx)00()( 一一 一般說來，極限運算法則不能應用的函數極限類一般說來，極限運算法則不能應用的函數極限類型稱為未定式，其它類型未定式：型稱為未定式，其它類型未定式：xxxlnlim0 型型0 )tanseclim2xxx （ 型型 xxxsin0lim型型00型型0 xxx1)(lnlimxxx)11(lim 型型1 0( )lim( )xxfxAgx （2）存在（或為無窮大）存在（或為無窮大）又滿足條件：又滿足條件：( )0,gx 00lim ( )lim ( )0 xxxxf xg x （1）00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxA

3、g xgx 則則的左右近旁可導，且的左右近旁可導，且 定理定理 設設0 x在點在點)(xf)(xg二、二、 型洛必達法則（型洛必達法則（ L.Hospital法則）法則）00 這種通過分子與分母分別求導來確定未定式的這種通過分子與分母分別求導來確定未定式的00,xxxxxxx 結論仍然成立結論仍然成立值的方法稱作值的方法稱作洛必達法則洛必達法則需要指需要指如果把極限過程換成如果把極限過程換成出出解解 這是這是型未定式型未定式由洛必達法則，得由洛必達法則，得00311lnlimxxxxee 例例1 求求311lnlimxxxxee 31(1ln )lim()xxxxee 2113limxxxxe

4、4e例例2 2)00(解解3321(32)lim(1)xxxxxx原式)00(266lim1 xxx.23 .123lim2331 xxxxxx求求22133lim321xxxx221(33)lim(321)xxxx例例3：求：求02limsinxxxeexxx)00(xeexxxcos12lim0 )00(xeexxxsinlim0 )00(xeexxxcoslim0 2 注注在反復使用法則時，要時刻注意檢查是否為在反復使用法則時，要時刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則。未定式，若不是未定式，不可使用法則。解：解：原式原式0(2 )lim(sin )xxxeexxx 注意注意

5、 ： 如果應用洛必達法則后所得到的極限，如果應用洛必達法則后所得到的極限，仍仍然是未定式然是未定式，且滿足洛必達法則的條件，且滿足洛必達法則的條件，則則可繼續使用可繼續使用洛必達法則，洛必達法則，直至求出極限直至求出極限為為止止 特別注意的是特別注意的是，在每次使用洛必達，在每次使用洛必達法則前法則前,都要驗證極限是否為未定式都要驗證極限是否為未定式練 習求下列函數的極限（運用洛比達法則）求下列函數的極限（運用洛比達法則）30sin1.limxxxx 23232(5)lim8xxxxsinsin(3)limxaxaxa0ln(1)(2)lim1xxxe01(4)limxxex0sin(6)li

6、msinxxxxx33143(7)limxxxxx21 sin(8)limcosxxx定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)()(),()2()(lim)(lim)1()(),(000000 或或則則或或可可導導，且且的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，且且在在設設AxgxfxgxfAxgxfxgxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxxxx xxxxxxxxx,000換換成成將將結論仍成立結論仍成立三、三、 型洛必達法則（型洛必達法則（ L.Hospital法則）法則）2(ln )lim()xxx 1=2 limxx例例5 求求2lnlimxxx 解解 這是這是型

7、未定式，型未定式，2lnlimxxx由洛必達法則，得由洛必達法則，得 0 例例6 6解解44lim.xxx 求4(4 )lim()xxx原式34 ln4lim4xxx224 ln 4lim4 3xxx34 ln 4lim4 3 2xxx 44 ln 4lim4 3 2 1xx 練 習求下列函數的極限（運用洛比達法則）求下列函數的極限（運用洛比達法則）3ln(1) limxxx0lnsin(2)limlnsin2xxx0lnsin(3)limlnxxx2232(4)lim35xxxx3(5)lim3xxx2ln(6) limxxx0lntan(7)limlnsinxxx2(8)limxxex例例

8、7 7.3tantanlim2xxx 求求)( 解解直接應用法則比較麻煩，先變形，再用法則直接應用法則比較麻煩，先變形，再用法則xxxxxxxxcos3cos3sinsinlim3tantanlim22 )00(xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxcos3coslim2 xxxsin3sin3lim2 3 例例8 8.tantanlim20 xxxxx 求求解解30tanlimxxxx 原式原式22031seclimxxx xxxx6tansec2lim20 xxxtanlim310 .31 注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達法則是求未定式的一種

9、有效方法，但與其它求極限方法但與其它求極限方法尤其是等價無窮小的代尤其是等價無窮小的代換換結合使用，可以簡化運算過程，效果會更結合使用，可以簡化運算過程，效果會更好，使用起來也更有效。好，使用起來也更有效。未定式的其它類型未定式的其它類型：變形，轉化為變形，轉化為所有這些類型的未定式都可通過適當所有這些類型的未定式都可通過適當或或00求解求解（2）和差形式的未定式，簡記為和差形式的未定式，簡記為00,0 ,1（3）冪指形式的冪指形式的未定式，簡記為未定式，簡記為0（1）乘積形式的未定式，簡記為乘積形式的未定式，簡記為000,0 ,1 , 四、型未定式解法關鍵關鍵: :通過適當的恒等變形通過適當

10、的恒等變形將其它類型未定式化將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型為洛必達法則可解決的類型 00仍可使用仍可使用L.Hospital法則來求極限法則來求極限型型 0. 1步驟步驟:,10 .000100 或或即將其中之一個因子下放至分母就可轉化為即將其中之一個因子下放至分母就可轉化為型型或或 00例例10 求求xxxlnlim0 0lnlim1xxx原式2011limxxx xx 0lim0 解解型型 . 2步驟步驟:0101 .0000 例例1111111lim().1lnxxx求)( 解解1ln1lim(1)lnxxxxx原式111lim1lnxxxxx212001lim11xxxx)

11、00(12 變形通分變形通分型型00,1 ,0. 3 步驟步驟:0000 ln01ln10 ln 取對數對數求極限.0 例例1111sin0lim.xxx求)0(0解：令解：令sinxyx兩邊同時取對數兩邊同時取對數sinlnlnsinlnxyxxx兩邊同時取極限兩邊同時取極限00lim lnlim sinlnxxyxx00lnlim1sinxxx 021limcossinxxxx20sinlimcosxxxx0sinsinlimcosxxxxx0即即0lim ln0ln1xy所以所以sin0lim1xxx例例12121lim (ln) .求xxx 解：令解：令1(ln)xyx兩邊同時取對數兩

12、邊同時取對數11ln lnlnln(ln)ln lnxxyxxxx兩邊同時取極限兩邊同時取極限ln ln1lim lnlimlimlnxxxxyxxx00()即即0lim ln0ln1xy所以所以10lim(ln )1xxx練 習111(8) limxxx011(1)lim()sinxxx2112(2)lim()11xxx21(3) lim(tan)cosxxx20(4) limlnxxx0(5)limcot 2xxx10(6) limxxxe0(7) limxxx幾點說明幾點說明 L.Hospital法則只是求未定式極限的一種有效方法則只是求未定式極限的一種有效方法，是充分條件，當定理的條件

13、滿足時，所求的法，是充分條件，當定理的條件滿足時，所求的極限存在或為極限存在或為，當定理的條件不滿足時，主要是，當定理的條件不滿足時，主要是指（指（3）不成立，即導數之比的極限不易求出，或）不成立，即導數之比的極限不易求出，或不存在但不不存在但不，函數之比的極限未必不存在，此時，函數之比的極限未必不存在，此時L.Hospital法則：法則：“失效失效”xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0時時或或時時若出現若出現 不宜使用不宜使用L.Hospital法則法則L.Hospital法則只能對法則只能對 ，00這兩種基本未定式這兩種基本未定式才可直接應用，其它類型的未定式必須先轉化才可直接應用，其它類型的未定式必須先轉化L.Hospital法則與等價無窮小的代換結合使用法則與等價無窮小的代換結合使用 效果會更好