1、精品word 二次函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如是常數(shù)，的函 數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：a 0 最高次數(shù)為2 代數(shù)式肯定是整式2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)例題：例1、函數(shù)y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函數(shù)，求m的值。練習(xí)、假設(shè)函數(shù)y=(m2+2m7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的取值范圍 為 。二、二次函數(shù)的根本形式1. 二次函數(shù)根本形式：的性質(zhì)：a 確實(shí)定值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，

2、隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，

3、隨的增大而增大；時(shí)，有最大值二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)、最值技法：假設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k，那么最值為k；假設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c那么最值為1拋物線y=2x2+4x+m2m經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，那么m的值為 。2拋物y=x2+bx+c線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，3，那么b ，c .3拋物線yx23x的頂點(diǎn)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4假設(shè)拋物線yax26x經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，那么拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為( ) A. B. C. D.5假設(shè)直線yaxb不經(jīng)過二、四象限，那么拋物線yax2bxc( ) A.開口向上，對稱軸是y軸 B.開口向下，對稱軸是y

4、軸 C.開口向下，對稱軸平行于y軸 D.開口向上，對稱軸平行于y軸6 二次函數(shù)y=mx2+(m1)x+m1有最小值為0，那么m 。三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的外形不變，將其頂點(diǎn)平移處處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減 方法二：沿軸平移:向上下平移個(gè)單位，變成或沿軸平移：向左右平移個(gè)單位，變成或函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)例題：1拋物線y=x2+4x+9的對稱軸是 。2拋物線y=2x212x+25的開口方向是 ，頂點(diǎn)坐

5、標(biāo)是 。3通過配方，寫出以下函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：1y=x22x+1 ； 2y=3x2+8x2； 3y=x2+x44、把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位，在向下平移2個(gè)單位，所得 圖象的解析式是y=x23x+5，試求b、c的值。5、把拋物線y=2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位， 問所得的拋物線有沒有最大值，假設(shè)有，求出該最大值；假設(shè)沒有，說明理由。四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然

6、后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，假設(shè)與軸沒有交點(diǎn)，那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn).畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，有最大值例題：函數(shù)y=a(xh)2的圖象與性質(zhì)1填表：拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2 試說明函數(shù)y=(x3)2 的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)開口、對稱軸、

7、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增 減性、最值。3 二次函數(shù)y=a(xh)2的圖象如圖：a = ，OAOC，試求該拋物線的解 析式。二次函數(shù)的增減性1. 二次函數(shù)y=3x26x+5，當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而 ；當(dāng)x<1時(shí)，y 隨x的增大而 ；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最 值是 。2. 函數(shù)y=4x2mx+5，當(dāng)x> 2時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x< 2時(shí)，y 隨x的增大而削減；那么x1時(shí),y的值為 。3. 二次函數(shù)y=x2(m+1)x+1，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是 .4.二次函數(shù)y=x2+3x+的圖象上有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x

8、1<x2<x3，那么y1,y2,y3的大小關(guān)系為 .七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：，為常數(shù)，；2. 頂點(diǎn)式：，為常數(shù)，；3. 兩根式：，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).留意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非全部的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，明顯 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)

9、起來，打算了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)打算開口方向，的大小打算開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，打算了拋物線的對稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，打算了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊那么，在軸的右側(cè)那么，概括的說就是“左同右異總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的

10、交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，打算了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的例題：函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系1.拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，那么a、b、c的符號為A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0 2.拋物線y=ax2+bx+c的圖象2如下圖，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 Aa+b+c> 0Bb> -2aCa-b+c>

11、; 0Dc< 03.拋物線y=ax2+bx+c中，b4a，它的圖象如圖3，有以下結(jié)論： c>0； a+b+c> 0a-b+c> 0b2-4ac<0abc< 0 ；其中正確的為 ABCD4.當(dāng)b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是 5.二次函數(shù)yax2bxc，假設(shè)a>b>c，且abc0，那么它的圖象可能是圖所示的( ) 6 二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖5所示，那么abc，b24ac， 2ab， abc 四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 7.在同一坐標(biāo)系中

12、，函數(shù)y= ax2+c與y= (a<c)圖象可能是圖所示的( ) A B C D8.反比例函數(shù)y= 的圖象在一、三象限，那么二次函數(shù)ykx2-k2x-1c的圖象大致為圖中的 A B C D 9.反比例函數(shù)y= 中，當(dāng)x> 0時(shí)，y隨x的增大而增大，那么二次函數(shù)ykx2+2kx的圖象大致為圖中的 A B C D 二次函數(shù)解析式確實(shí)定：依據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必需依據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種狀況：1. 拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大小值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 拋

13、物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式例題：函數(shù)解析式的求法一、拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A0，3、B1，3、C1，1三點(diǎn)，求該二 次函數(shù)的解析式。2 拋物線過A1，0和B4，0兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)且BC5，求該二 次函數(shù)的解析式。二、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k求解。3二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，6，且經(jīng)過點(diǎn)2，8，求該二 次函數(shù)的解析式。4 二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，3，且經(jīng)過點(diǎn)P2，

14、0點(diǎn)，求二 次函數(shù)的解析式。三、拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx1)(xx2)。5二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A1，0，B3，0，函數(shù)有最小值8，求該二次 函數(shù)的解析式。九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種狀況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° 關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到

15、的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對稱 關(guān)于點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 依據(jù)對稱的性質(zhì)，明顯無論作何種對稱變換，拋物線的外形肯定不會(huì)發(fā)生變化，因此永久不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或便利運(yùn)算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線或表達(dá)式的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與軸交點(diǎn)狀況：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊狀況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離.

16、 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸肯定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 依據(jù)圖象的位置推斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號推斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式

17、，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.例題：二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1. 假設(shè)二次函數(shù)yx24xc圖象與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，那么c 寫一個(gè)即可2. 二次函數(shù)yx2-2x-3圖象與x軸交點(diǎn)之間的距離為 3. 拋物線y3x22x1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) A.沒有交點(diǎn) B.只有一個(gè)

18、交點(diǎn) C.有兩個(gè)交點(diǎn) D.有三個(gè)交點(diǎn)4. 如下圖，二次函數(shù)yx24x3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)， 交y 軸于點(diǎn)C， 那么ABC的面積為( ) A.6 B.4 C.3 D.15. 拋物線y5x2(m1)xm與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸同側(cè)，它們的距離平方等于為 ，那么m的值為( ) A.2 B.12 C.24 D.486. 拋物線yx2-2x-8，1求證：該拋物線與x軸肯定有兩個(gè)交點(diǎn)；2假設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求ABP的面積。十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相

19、見,b的符號較特殊，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。假設(shè)求對稱軸位置,符號反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。例題：二次函數(shù)應(yīng)用(一經(jīng)濟(jì)策略性1.某商店購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤，商店打算提高銷售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)覺察，假設(shè)按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件假設(shè)按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件是價(jià)格