1、分類號 編 號 畢業(yè)論文題 目極限思想在中學數(shù) 學中的應用 學 院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 姓 名 xxx 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 學 號 xxxxx 研究類型 指導教師 xxx 提交日期 2013-5-10 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導教師的指導下獨立進行研究所取得的成果。學位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點等均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內容外，不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。本聲明的法律責任由本人承擔。論文作者簽名： 年 月 日 論文指導教師簽名：極限思想在中學數(shù)學中的應用 xx（天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅，天水，741

2、000，）摘要：眾所周知，高中數(shù)學中的極限由于自身的抽象性給教與學造成很大麻煩，而中學數(shù)學和大學數(shù)學在極限方面有較為密切的聯(lián)系，研究大學數(shù)學，并探討其與中學數(shù)學的聯(lián)系將能對中學數(shù)學的教與學產生很大的幫助，本文將對上述問題別進行闡述。關鍵字：極限 聯(lián)系 教學limit thinking in the number of secondary schoolsence escienceggxxx(school of mathematics and statistics，tianshui normal university，tianshui 741000，china)abstract: as we al

3、l know, the limit in the high school mathematics teaching and learning due to their own abstraction cause great trouble, and secondary school mathematics and university mathematics limit more closely linked, research university mathematics and explore its links with the secondary school mathematicst

4、he teaching and learning of mathematics in secondary schools will be able to generate a lot of help. this article will not elaborate.keywords: limit； contact； teaching目 錄1引言12、極限思想的發(fā)展2 2.1最早的極限思想23、極限思想在中學數(shù)學中的應用2 3.1 在運動變化過程中把握極限位置3 3.2利用函數(shù)圖像把握極限位置4 3.3極限思想在函數(shù)中的滲透5總結8參考文獻91引言 極限思想是近代數(shù)學中一個重要的概念。在數(shù)學中，

5、如果某個變化的量無限地逼近于一個確定的數(shù)值，那么這個定值就叫做變量的極限。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。而高等數(shù)學中的極限思想與我們高中所學到的極限知識有什么聯(lián)系呢？找到其中的聯(lián)系能讓我們更快地接受和研究極限思想。極限理論是微積分理論的核心內容，是數(shù)學分析的理論基礎，在現(xiàn)代數(shù)學中著廣泛的應用。極限包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。當把數(shù)列看作一自然數(shù)為自變量的函數(shù)是，數(shù)列極限也被看作函數(shù)極限。現(xiàn)代數(shù)學對極限是這樣定義的： 對任意的0，總存在n（自然數(shù)），使得n時，恒成立，稱數(shù)列的極限是啊，記作.總存在m>0,使得當

6、恒成立，則稱當x趨于無窮，函數(shù)以a為極限.總存在m>0,使得當時，則稱當x趨于函數(shù)f(x)以a為極限. 記作總存在，使得當時，有恒成立，則稱當時，函數(shù)以a為極限，記作.微積分的創(chuàng)立是世界數(shù)學史上最大的事件之一，通常認為是牛頓和布萊尼次創(chuàng)立了微積分，但作為微積分基礎的極限論起源可追至我國春秋時期，它的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程，直到十九世紀才的以完善.2、極限思想的發(fā)展2.1最早的極限思想 極限思想在我國很早就產生.早在先秦時期，許多思想家就開始探討無窮大、無窮小以及無窮分割等問題，戰(zhàn)國后期，諸子更是就這些問題展開爭鳴. <<秋水>>一文有云：“何以只毫末之足以定細之倪？

7、”<<天下篇>>記載：“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一.”著實際上就是數(shù)學史上無窮大和無窮小的概念雛形.對于無窮分割有無可能的思考，<<莊子>>提出了一個著名命題：一尺之槌，日取其半，萬世不竭.”這個作為無窮分割的經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學中還經(jīng)常使用，今天可抽象成一個無窮數(shù)列；1，1/2，1/4由此可見，這個表達不僅反映了我們祖先的極限思想，還給我們提供了一個無窮小量的實例.2.2 極限思想的早期應用在我國，將無窮思想創(chuàng)造性的應用到數(shù)學中，當屬魏晉時期的劉輝.他在注解<<九章算術>>是創(chuàng)立了“割圓術”，即用圓的

8、內切正多邊形的面積去無限逼近圓面積的方法.最后的到割之彌細，失之彌少的結論,有了割圓術這樣的方法，在利用勾股定理進行嚴密推算，就得到了圓周率的估計值.在古希臘，“窮竭法”是古希臘人研究數(shù)學的一種方法.公元三世紀，安提芬在研究“化圓為方”問題時，提出了使用邊數(shù)不斷增加的圓內切正多邊形面積“竭窮”圓面積的思想.后來歐多克斯用竭窮的思想證明了球的體積與直徑成正比的結論.之后，竭窮思想一路發(fā)展，它所包含的無窮小量的概念被牛頓所引用，成了微積分的基礎.3、極限思想在中學數(shù)學中的應用極限思想是研究變量在無限變化中的趨勢的思想，使用無限逼近的方式，從有限認識無限，用不變認識變，用近似認識精確的辯證思想.極限

9、思想是高考的核心，對于某些問題，如能靈活應用極限思想，不僅能降低問題難度，優(yōu)化解題過程，而且對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維有極大幫助.極限思想作為一種重要的解題思想，在解題中經(jīng)常遇到，下面我們結合實例談談利用極限思想解題的幾種方法.3.1 在運動變化過程中把握極限位置例1 以知三棱錐的的底面是邊長為1的正三角形，兩條側面棱為，試求第三條側棱的取值范圍. 分析：固定底面正三角形，讓兩腰的長均為的側面等腰三角形繞著其底邊旋轉，當該等腰三角形與底面共面時有兩種情況，這就是第三條側棱的兩個極限位置.底面正三角形和側面等腰三角形的高分別為，則第三條棱的最小趨于-=，最大趨于+=3故此題的答案為（，3）.例2 銳

10、角三角形abc的邊長bc=1，ac=2，求ab的取值范圍分析：本題如果考慮使用正弦定理勢必將比較繁瑣，但如果依據(jù)已知條件構造銳角三角形，讓ac固定，bc=1，b點在以c為圓心、半徑為1的圓周上運動，于是得到如圖所示的兩個極限位置.經(jīng)計算知ab分別為、，故所求為（， ）.例3 已知，則有（ ）（a） （b） （c） （d） 分析：當時，由題意，此時，log故可排除（a）、（b），當，由題意，此時，又，則，故排除（c），選（d）.點撥：以上兩例都是適當借助極限思想，用運動的觀點對問題進行的定性分析，這肯定比定量運算尋找答案要簡單的多.3.2利用函數(shù)圖像把握極限位置 函數(shù)圖像式函數(shù)性質的一種直觀反映

11、，有些問題涉及到時對應的函數(shù)值，可以通過圖像的變化趨勢進行合理推算得到答案.例3已知函數(shù),若 ， ，則a,b各為多少. 分析:函數(shù)的自變量在無限變化過程中，其函數(shù)值無限趨近一個常數(shù)而這個無限的趨勢就通過一個有限來刻畫.反過來，當y變化時，其自變量就趨近某個常數(shù)，以上這些性質都可以在函數(shù)圖像上反映出來，如圖，函數(shù)的圖像是兩條雙曲線，漸進線為，由圖易知a=2,b=-1.例4 給出下列圖像，其中可能為函數(shù)t圖像的是（ ）分析：按常規(guī)的解題方法，我們會想到求函數(shù)倒數(shù)，但接下來仍需不知如何處理，其實，這道題若從極限的角度考慮，問題會很簡單.當時，所以，當時圖像時上升的，排除第四個答案，在令不是恒成立的排

12、除第二個答案，故選一和二. 點撥：適當?shù)慕柚瘮?shù)圖像能把抽象的數(shù)學性質直觀化，具體化.在解答過程中，涉及到考慮對應的函數(shù)值，并由此判斷函數(shù)或函數(shù)圖像的變化趨勢，此時極限對整體認識問題起著重要的作用.3.3極限思想在函數(shù)中的滲透例5 設，定義,求.分析：函數(shù)極限所具有的性質與數(shù)列極限極為相似.與數(shù)列極限一樣，可以用其精確定義證明函數(shù)極限的四則運算法則及一些常用結論. 中學的函數(shù)中有提到過無窮大量，無窮小量以及它們之間的運算關系型.即 .但是在計算的時候，中學用的方法仍然只是運用簡單的函數(shù)極限四則運算法則.其解答過程不免顯得繁瑣而又復雜.我們數(shù)學分析里引進了等價無窮小量代換及洛必達法則等重要解題方

13、法，這使某些問題的解決顯得更簡便快捷.于，故可取,于是有，因此有=.由于，,所以. 例6 計算下列極限. （1）、； （2）、分析：此題形式抽象，對于剛剛接觸極限的高中生來說難度較大，如果我們在教學中適當滲透羅洛比達有關法則，在這里將會有很大便利性.利用公式計算,因為且數(shù)列嚴格遞增無上界. 由歸結原則，=0.（2）、另一方面，當時有,取，由歸結原則，有；由迫斂性推得：=.點撥:函數(shù)極限所具有的性質與數(shù)列極限極為相似.與數(shù)列極限一樣，可以用其精確定義證明函數(shù)極限的四則運算法則及一些常用結論.運用這兩個結論，可以解決高中難以解答的問題.3.4用極限思想解決立體幾何中的有關問題在一些復雜立體幾何的問

14、題中，我們只要巧妙的利用無限逼近的思想，就可以將原本復雜難懂的問題簡單化.像這樣的問題在高中數(shù)學中很常見，比如像下面這道例題.例7 正三棱錐相鄰兩側面所成的角為，則的取值范圍是 ( ) 分析 : 如圖所示，正三棱錐中，是正三棱錐的高， 當時，無限靠近于，此時相鄰兩個側面的夾角趨近于.當時，正三棱錐無限接近一個底面為正三角形的三棱柱，這時兩側面的夾角越來越小，趨近于.所以的取值范圍為，故本題選.點撥：從這個例題可以感受到，極限思想不僅是一種解決問題的方法，同時它也是一種思維方式.我們可以從極限或極端狀態(tài)的數(shù)學問題的研究中得到啟發(fā)，從而得到數(shù)學關系的猜想，有時也會通過這種啟發(fā)找到問題的解決方法.總

15、結 本文結合具體的例題討論了極限思想在初等數(shù)學中的一些應用.當然，極限思想作為數(shù)學中的重要的思想在中學數(shù)學中的涉及范圍遠不止這幾個方面.所以我覺得，在中學教學中，若能通過一些例題，來向學生滲透極限思想，對學生數(shù)學思維能力的提高將會有很大幫助。參考文獻1 謝慧杰.極限思想的產生，發(fā)展與完善,數(shù)學學習與研究，2008，（09）13-15.2 高中數(shù)學課程標準研制組編.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）.北京：北京師范大學出版社，2003. 3 馮國平.數(shù)學教學論，甘肅：甘肅教育出版社，2010. 4 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2001. 5 陳傳璋，金福臨編，數(shù)學分析（上下冊）第二版，高等教育出版社6 蔡子華主編，2005年數(shù)學復習大全（經(jīng)濟類），現(xiàn)代出版社7 馮麗珠，變形法求極限的變法技巧 ，武漢職業(yè)技術學院學報，2003年3月，35-368 李小光，求極限的若干技巧，西安航空技術高等專科學校學報，2002年3月，20-21致謝 大學生活一晃而過,回首走過的歲月,心中倍