1、 穩定平衡O稍微偏離原平衡位置后能回到原位置 不穩定平衡稍微偏離原平衡位置后不能回到原位置 隨機平衡能在隨機位置保持平衡O第1頁/共32頁對由重力與支持力作用下的平衡 設計一個元過程，即設想對物體施一微擾，使之稍偏離原平衡位置* * 或從能量角度考察受擾動后物體重心位置的高度變化，根據重心是升高、降低還是不變來判斷物體原本是穩定平衡、不穩定平衡或是隨遇平衡； 為比較擾動前后物體的受力與態勢，要作出直觀明晰的圖示；由于對微擾元過程作的是“低細節”的描述，故常需運用合理的近似這一數學處理手段 或從受力角度考察受擾動后重力作用點的側移量，即重力對擾動后新支點的力臂，從而判斷物體原來的平衡態屬于哪一種

2、* *依問題的具體情況，擇簡而從* *第2頁/共32頁 如圖所示，一個熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為a、b且長軸的長度為l，蛋圓的一端可以在不光滑的水平面上穩定直立求蛋尖的一端可以在一個半球形的碗內穩定地直立，碗的半徑r需滿足的條件 考察質心位置的高度變化蛋圓在水平面處穩定平衡,應滿足BAbaClRRla 低細節描述 cos2C MNMCM +蛋尖在球形碗內處穩定平衡,應滿足微擾情況下、為小量， cos2RrR + 1cos2rR 22sin2R 222R bRrRb 整理得1bbR 1bbla 碗的半徑 b laabrl 續解第3頁/共32頁MNO-M CAC B蛋尖在球形碗內處穩定平衡

3、,應滿足NMNMNMrb 2 2 2NM cosCM 續解 sinC M續解第4頁/共32頁考察質心位置側移量蛋處于穩定平衡的條件是:重力對擾動后新支點N的力矩可使蛋返回原位，即滿足低細節描述 sinC MMN Rr rRrb bRrRb 1bbR 1bbla 碗的半徑 b laabrl 222201sincossinab 01sin 0 0 0 0重力對 的力矩使桿繼續順時針遠離原平衡位置!O 不穩定平衡abxx 筆不會因滾動而破壞平衡!第9頁/共32頁B1BOA Ca過筆質心的橫截面 sin60COa cos60OBa 0tancosOBCO 臨界狀態下續解重力作用線第10頁/共32頁12

4、7 飛檐問題：如圖所示，建造屋頂邊緣時，用長度為L的長方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長的1/8，如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻倒？這樣的幾層磚最多可使屋檐“飛”出多長？ GL若共堆n層、每塊伸出1/8的磚而恰未翻倒8L8L8L 18LLLn 全全C全nG728L 7n 123n最上1層磚恰不翻倒,最多伸出2L最上2層磚恰不翻倒,最多伸出2G4L3G最上3層磚恰不翻倒,最多伸出2L24LL G262GLxGGL x6L246LLL G以此類推，7層磚的最大伸出max111124614LL 第11頁/共32頁 如圖所示，一矩形導電線圈可繞其中心軸O轉動它處于與軸垂直的勻強磁

5、場中，在磁場的作用下，線框開始轉動，最后靜止的平面位置是圖中的AOBBBOCBODBO不穩定平衡穩定平衡不穩定平衡不穩定平衡第12頁/共32頁 圖中每一系統的兩個球都用一跨過滑輪的線聯結起來，問每一種情況各屬哪種平衡？ 隨機平衡穩定平衡不穩定平衡給兩小球線繩系統一擾動,從受力角度考察受擾動后,兩小球重力沿繩方向力的合力指向,從而判斷平衡種類!第13頁/共32頁llmLm 如圖所示裝置，它是由一個長L的木釘、從木釘上端向左右斜伸出兩個下垂的、長為l的細木桿，以及在木桿的末端裝有質量同為m的小重球而組成木釘及木桿的質量可忽略，木桿與木釘間夾角為，此裝置放在硬質木柱上，則l、L、間應當滿足_關系才能

6、使木釘由垂直位置稍微偏斜后，此裝置只能以O點為支點擺動而不致傾倒 為滿足題意即系統處于穩定平衡,給系統一擾動, 兩小球重力對O的力矩應能使系統回到原位!原平衡位置時coslL 2mg受一微擾后能回到原位coslL 第14頁/共32頁 如圖所示,長度為2L、粗細均勻的桿，一端靠在鉛直的墻上，而另一端靠在不動的光滑面上為了使桿即使沒有摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個表面的橫截線的函數表達式(x) （桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內） 為滿足題意即桿處于隨遇平衡,應使桿的重心始終在x軸!OyxC(0,)(x,y) 22222xyL + +表面的橫截線滿足 222212xyLL + +該表面為橢

7、球面的一部分第15頁/共32頁 如圖所示,兩個質量分別為m1和m2的小環能沿著一光滑的輕繩滑動繩的兩端固定于直桿的兩端，桿與水平線成角度在此桿上又套一輕小環，繩穿過輕環并使m1、m2在其兩邊設環與直桿的接觸是光滑的，當系統平衡時， 直桿與輕環兩邊的繩夾角為 試證： 2112tantanmmmm m2m1同一光滑繩上張力處處相同設為FT,m1gFT兩小環平衡,分析受力如圖:m2gFT 90 90 由力矢量三角形: 122cos 902cos 90Tm gm gF 12sinsinmm 21sin cossin cossin cossin cosmm 2112tantanmmmm 第16頁/共32

8、頁 一根質量為m的均勻桿，長為L，處于豎直的位置，一端可繞固定的水平軸轉動有兩根水平輕彈簧，勁度系數相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問彈簧的勁度系數k為何值時才能使桿處于穩定平衡？ 為使桿處于穩定平衡,給桿一擾動,彈簧拉力對O的力矩應大于桿重力矩!mg FT即22TLFLmg 其中 TFkL 得4mgkL FT第17頁/共32頁 如圖所示,一塊厚d的木板位于半徑為R的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方板與圓柱的一根摩擦因數為試求板可以處于穩定平衡狀態的條件 RCC 令板從原平衡位置偏轉一小角度M M板處于穩定平衡條件是重心升高!2dR 2dcosR 以圓柱軸為參照,原板重心高度coscos2d

9、R 擾動后重心高度sinR 應有cossincos22ddRRR 21 2sinsin222ddRRR 2sin2sin22dRR 考慮到 很很小小, , s s i i n n2dR 且1tan 第18頁/共32頁 如圖所示,用均勻材料制成的浮子，具有兩個半徑均為R的球冠圍成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，質量為m1沿浮子對稱軸向浮子插入一細輻條，穿過整個厚度輻條長lh，質量為m2當將浮子輻條向上地浸于水中時，浮子只有少部分沒于水中浮子的狀態是穩定的嗎？ 先由同向平行力合成求浮子重力合力作用點重心位置：Cm1gm2g2l2hx2121222mlhlhm g xm gxxmm 由由Cl21

10、222Cmhlhmml 故故浮子偏轉小角度低細節描述21222CmhLhlRmm = =當當1222mLRmRh = =當當浮子為不穩定平衡!1222mLRmRh 當當浮子為穩定平衡!至題9第19頁/共32頁CC續解ClR若若 CClR若若= =ClR若若 OCmmhR 3 2300g21 6 84g D 第21頁/共32頁 有一長為0.2 m、截面積為2 cm2的均勻細棒，密度為5102 kg/m3 在細棒下端釘上一小鐵片（不計體積），讓細棒豎立在水面，若細棒露出水面部分的長為0.02 m，則小鐵片質量為多少？ 不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長度，恰好使上端面與水面齊平？ 要使細棒

11、豎在水面是穩定平衡，下端小鐵片至少要多重?分析此時受力：CMLSg mg0.9LSg 水水0.9LSgmgLSg 水水 0.9mLS 水水 340.9 0.5100.2 2 10 kg 16g 此時態勢為：mgC11L Sg 1L Sg 水水11L SgmgL Sg 水水 1mLS 水水33416 10m=0.5 102 1016cm 4 cmL 低細節描述系統為穩定平衡條件是浮心高于合重心!22MLMmMmS 水水即即 340.020.020.10.022 102 10mm min8gmC總至題11第22頁/共32頁C總C總C總不穩定平衡隨機平衡穩定平衡續解第23頁/共32頁ab 兩個相同長

12、方體處于圖示位置問當角為多少時它們才可能平衡？長方體與水平面間摩擦因數為，長方體長b寬a長方體間無摩擦 分析受力：G0Ff G0fG F 0fG 1tanab 系統可能平衡條件是在此條件下,對右物塊由力矩平衡 sincoscos2cosbGF bG b G sin coscos sin2cos cos tan2tan 1tan2ab 在此條件下,對左物塊由力矩平衡cos2aGF b sinsin 122tanab 111tanmin tan2,2tanaaabbb sin2cosbG 第24頁/共32頁 在互相垂直的斜面上放置一勻質桿AB，設各接觸面的摩擦角均為（tg）,求平衡時桿AB與斜面A

13、O交角的范圍已知斜面BO與水平面交角為 ABO三力桿平衡時的幾何位置特點:不穩定平衡桿兩端約束力與重力三力匯交當=時GABOfA=0 fB=0續解結論:1O平衡時桿AB與斜面AO交角的范圍為 22 第25頁/共32頁當時GOABG-O 90,O AG O AG 90AO G AO G90902 O GAGO GAG= 2 2 桿平衡位置與左斜面的夾角續解第26頁/共32頁當時GOGAB 90,O AG O AG 90AO G AO G9090O 2 O GAGO GAG=O fA=f m fA=f m fA=f m fB f mfB=f m fA f m,O BG BO G O GBG 2 90 2 桿平衡位置與左斜面的夾角返回-O 第27頁/共32頁 4個半徑均為R的光滑球靜止于一個水平放置的半球形碗內該4球球心恰在同一個水平面上，現將相同的第5個球放在前述4球之上，而此系統仍能維持平衡，求碗的半徑為多少？ 幾何描述上球對下各球壓力由對稱性得 C AE4G24GN = =GNT各球三力構成閉合三角形45 sinsin 45NG = =1tan5 由力三角形與幾何三角形相似求碗半徑!碗半徑r由幾何三角形2si