1、一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第1頁/共43頁從上面幾個例子可以看出，要使從上面幾個例子可以看出，要使)(xfy 的圖形在的圖形在0 xx 處不斷開，必須：處不斷開，必須： ;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁/共43頁:表述表述 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)1.1.連續(xù)的定義連續(xù)的定義機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第3

2、頁/共43頁2.2.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.),(,),()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)()()(0的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第4頁/共43頁注意：注意： 在連續(xù)性的定義中，在連續(xù)性的定義中，)(xf在在 0 x點必須點必須有定義， 這是與極限定義不同的地方。有定義， 這是與極限定義不同的地方。 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

3、 結(jié)束結(jié)束 第5頁/共43頁性質(zhì)：性質(zhì)：若若)(xf在在0 x點連續(xù)，則點連續(xù)，則 | )(|xf 在在 0 x點也連點也連續(xù)。反之不成立。續(xù)。反之不成立。 3.3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(, )()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)(, )()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

4、結(jié)束結(jié)束 證明，舉反例。證明，舉反例。第6頁/共43頁例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第7頁/共43頁例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但

5、不左連續(xù) , ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第8頁/共43頁4.4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。.,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間稱函數(shù)稱函數(shù)則則處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)點點并且在左端并且在左端內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形

6、是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .性質(zhì)：性質(zhì)：基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第9頁/共43頁例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當(dāng)當(dāng)對任意的對任意的 |,|sin| 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

7、結(jié)束結(jié)束 第10頁/共43頁二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點 xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)()(,)()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第11頁/共43頁1.1.可去間斷點可去間斷點.)()(, )()(

8、lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在其間斷點在其間斷點如果函數(shù)如果函數(shù)xfxxxfxfAxfxxfxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)()(00的第一類間斷點的第一類間斷點為為，則稱，則稱都存在都存在處的左、右極限處的左、右極限在其間斷點在其間斷點若函數(shù)若函數(shù)xfxxxf第一類間斷點：第一類間斷點：第12頁/共43頁例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 機動機動 目錄目錄 上

9、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為可去間斷點為可去間斷點 x注意：注意：對可去間斷點，只要改變或者補充函數(shù)在對可去間斷點，只要改變或者補充函數(shù)在間斷處的定義間斷處的定義, , 就可使其變?yōu)檫B續(xù)點就可使其變?yōu)檫B續(xù)點. .如上例中如上例中, , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf 第13頁/共43頁2.2.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但都存在都存在處的左、右極限處的左、右極限在

10、其間斷點在其間斷點如果函數(shù)如果函數(shù)xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第14頁/共43頁第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00類間斷點類間斷點的第二的第二為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點至少有一個不存在至少有一個不存在處的左、右極限處的左、右極限在其間斷點在其間斷點如果函數(shù)如果函數(shù)xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討

11、論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第15頁/共43頁例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處處沒沒有有定定義義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第16頁/共43頁.sin)(的間斷點的類型的

12、間斷點的類型討論函數(shù)討論函數(shù)xxxf 例例8 8注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第17頁/共43頁例例9 9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

13、 結(jié)束結(jié)束 第18頁/共43頁 , 0, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, ,且都是第二類間且都是第二類間斷點斷點. . ,)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在 x=0 處連續(xù)處連續(xù), , 其余各點處處間斷其余各點處處間斷. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第19頁/共43頁o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域 R R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處

14、都間斷, , 但其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù). .判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型: :機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第20頁/共43頁三、四則運算的連續(xù)性三、四則運算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第21頁/共43頁)(),

15、(min)(xgxfx |)()(|)()(21xgxfxgxf 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 連續(xù)。連續(xù)。在在知，知，由定理由定理0)(),(1xxx 第22頁/共43頁四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcy

16、xy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .第23頁/共43頁定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)若若證證,)(連續(xù)連續(xù)在點在點auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng)對對于于 xx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)(成立成立恒有恒有 auax第24頁/共43頁將上兩步合起來將上兩步合起來: :,0, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfa

17、fuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 意義意義1.1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換; ;.)(. 2的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu 第25頁/共43頁.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4 4是定理是定理3 3的特殊情況的特殊情況. .例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連

18、續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第26頁/共43頁 1,41,)(xxxxx 例例11.11.設(shè)設(shè),1,21,)(2 xxxxxf解解: :討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xf 的連續(xù)性的連續(xù)性 . . )(xf 1,2 xx1,2 xx故此時連續(xù)故此時連續(xù); ; 而而)(lim1xfx 21lim xx 1 )(lim1xfx )2(lim1xx 3 故故 )(xf x = 1為第一類間斷點為第一類間斷點 . .1),( xxf1,)4( xxf,)(1為初等函數(shù)為初等函數(shù)時時xfx 在點在點 x =

19、 1 不連續(xù)不連續(xù) , , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁/共43頁五、初等函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的. .)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第28頁/共43頁定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(

20、內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,的不同值的不同值討論討論 ( (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) ) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連 續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第29頁/共43頁1.1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), , 在其在其 定義域內(nèi)不一定連續(xù)定義域內(nèi)不一定連續(xù); ;例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義. .,)1(32 xxy,

21、1, 0: xxD及及在在0 0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義. .), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意2. 2. 初等函數(shù)求極限的方法：初等函數(shù)求極限的方法：代入法代入法. .)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第30頁/共43頁例例1212. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例1313.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回

22、返回 結(jié)束結(jié)束 第31頁/共43頁)(lim0 xfx xxx11lim0 )11(lim0 xxxx)0(21f 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(lim0 xfx xxe10lim 第32頁/共43頁解解 : 令令tx 1tx 1xxx2tan)1(lim1 則則)1(2tanlim0ttt ttt2cotlim0 )22tan2(lim0 ttt 2 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第33頁/共43頁六、六、小結(jié)小結(jié)1.1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件; ;3.3.間斷點的分類與判別間斷點的分類

23、與判別; ;2.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù); ;第一類間斷點第一類間斷點: :可去型可去型, ,跳躍型跳躍型. .第二類間斷點第二類間斷點: :無窮型無窮型, ,振蕩型振蕩型. .間斷點間斷點( (見下圖見下圖) )連續(xù)性連續(xù)性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第34頁/共43頁可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型oyx0 xoyx0 xoyx0 x第二類間斷點第二類間斷點機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第35頁/共43頁連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性. .復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性. .初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性