1、 楊輝三角的規律以及定理 李博洋 摘要 楊輝三角中的一些規律關鍵詞 楊輝三角 冪 二項式引言 楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家。在他所著的詳解九章算法一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來對“楊輝三角” 的規律進行探討和研究。 內容1二項式定理與楊輝三角與楊輝三角聯系最緊密的是二項式乘方展開式的系數規律，即二項式定理。 楊輝三角我們首先從一個二次多項式(a+b)2的展開式來探討。由上式得出： (a+b)2a2+2ab+b2 此代數式的系數為： 1 2 1則(a+b)3的展開式是什么呢？答案為：

2、a3+3a2b+3ab2+b3 由此可發現，此代數式的系數為： 1 3 3 1 但似乎沒有什么規律，所以讓我們再來看看(a+b)4的展開式。 展開式為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 由此又可發現，代數式的系數為：1 4 6 4 1 似乎發現了一些規律，就可以發現以下呈三角形的數列： 1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二項式定理的公式為：(a+b)n=c(n,0)an*b0+c(n,1)a(n-1)*b1+.+c(n

3、,r)a(n-r)*br.+c(n,n)a0*bn 因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。用系數通項公式來計算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計算，稱作“圖算”。2楊輝三角的冪的關系首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下： 1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+2

4、0+15+6+1=64 )相加得到的數是1，2，4，8，16，32，64，剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，次冪，即楊輝三角第n行中n個數之和等于2的n-1次冪3 楊輝三角中斜行和水平行之間的關系 (1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的數字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的數字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的數字相加得1+3+6+10=20把斜行(

5、4)中第7行之前的數字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的數字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的數字相加得1將上面得到的數字與楊輝三角中的第7行中的數字對比，我們發現它們是完全相同的。 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可得：楊輝三角中n行中的第i個數是i-1中前n-1個數之和，即第n行的數分別為1、(1)中第n行之前的數字之和、(2)中第n行之前的數字之和、(3)中第n行之前的數字之和、(4)中第n行之前的數字之和、(n-3)中第n行之前的數字之和、1。總結楊輝三角對于我們好理解的規律，如下六點：1、每個數等于它上方兩數之和。 2、每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。 3、第n行的數字有n+1項。 4、第n行數字和為2(n-1)。（2的(n-1)次方） 5(a+b)n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。1 6、第n行的第m個數和第n-m個數相等，即c(n,m)=c(n,n-m)，這是組合數性質 上面的式子是什么意思？首先cin1中的n+1，i的意思是從n+1個相同物體中選出i個物體有多少種選法。 楊輝，字謙光，南宋時期杭州人。在他1261年所著的詳解九章算法一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為“開方作