1、分式方程的增根與無解增根是解分式方程時，把分式方程轉化為整式方程這一變形中，由于去分母擴大了未知數的取值范圍而產生的未知數的值，比如解方程、：。為了去分母，方程兩邊乘以，得由解得。甲：原方程的解是。乙：可是當時，原方程兩邊的值相等嗎？甲：這我可沒注意，檢驗一下不就知道了。喲！當時，原方程有的項的分母為0，沒有意義，是不是方程變形過程中搞錯啦？乙：求解過程完全正確，沒有任何的差錯。甲：那為什么會出現這種情況呢？乙：因為原來方程中未知數x的取值范圍是且，而去分母化為整式方程后，未知數x的取值范圍擴大為全體實數。這樣，從方程解出的未知數的值就有可能不是方程的解。甲：如此說來，從方程變形為方程，這種變

2、形并不能保證兩個方程的解相同，那么，如何知道從整式方程解出的未知數的值是或不是原方程的解呢？乙：很簡單，兩個字：檢驗。可以把方程解出的未知數的值一一代入去分母時方程兩邊所乘的那個公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母為0，則說明這個值是增根，否則就是原方程的解。甲：那么，這個題中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無解。甲：?。浚槭裁磿o解呢？乙：無解時，方程本身就是個矛盾等式，不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等，如上題中，不論x取何值，都不能使方程兩邊的值相等，因此原方程無解，又如對于方程，不論x取何值也不能使它成立，因此，這個方程也無解。甲：是不是有增根的分式方程就是

3、無解的，而無解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根，你看，方程，去分母后化為，解得或，此時，是增根，但原方程并不是無解，而是有一個解，而方程，去分母后化為，原方程雖然無解，但原方程也沒有增根。甲：看起來增根并不是什么“好東西”，有沒有辦法可以避免增根？乙：有是有，不過解起來比較費勁，有時劃不來，還不如解后再檢驗。比如解方程，可先把右邊化為0，得。左邊通分計算，得，即，分子分解因式，再約分，得，由分子，得你看，原來那個增根就沒有出現。增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，如上面方程的增根，它雖然不是方程的解，但卻是去分母

4、后所得整式方程的解，利用這種關系可以解決分式方程的有關問題，你看：已知關于x的方程有增根，求k的值。首先把原方程去分母，化為。因為原方程的最簡公分母是 ，所以方程的增根可能是或若增根為，代入方程，得，；若增根為，代入方程，得，。故當或時，原方程會有增根。甲：雖然無解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定無解，但我還覺得無解與增根之間似乎有種微妙的關系，這是怎么一回事？乙：你說的沒錯，增根與無解都是分式方程的“?？汀?，它們雖然還沒有達到形影不離的程度，但兩者還是常常相伴而行的，在有些分式方程問題中，討論無解的情形時應考慮增根，例如：已知關于x的方程無解，求m的值。先把原方程化為。（1）若方程無解，則原方程也無解，方程化為，當，而時，方程無解，此時。（2）若方程有解，而這個解