1、課時規(guī)范練57絕對值不等式基礎鞏固組1.(2020江西上饒三模,23)已知f(x)=|x+1|-|2x-1|,其中ar.(1)求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)log2a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|2x+a|,ar.(1)當a=1時,解不等式f(x)5;(2)若存在x0滿足f(x0)+|x0-2|x-2|的解集;(2)設函數(shù)y=f(x)+f(x-3)的最小值為m,已知a2+b2+c2=m,求ab+bc的最大值.4.(2020河北唐山一模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a|-2|x-1|-1.(1)當a=1時,求不等式f(x)0的解集;(2)是否存在實

2、數(shù)a,使得f(x)的圖象與x軸有唯一的交點?若存在,求a的值;若不存在,說明理由.5.設函數(shù)f(x)=|x+1|+3|x-a|.(1)當a=1時,解不等式f(x)2x+3;(2)若關于x的不等式f(x)2;(2)若f(x)的最小值為m,實數(shù)a,b滿足3a+4b=3m,求(a-2)2+b2的最小值.綜合提升組7.已知函數(shù)f(x)=|x-2|-m(xr),且f(x+2)0的解集為-1,1.(1)求實數(shù)m的值;(2)設a,b,cr+,且a2+b2+c2=m,求a+2b+3c的最大值.8.(2020河北石家莊二模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x-2|,g(x)=|x-1|+|x+3m|-m

3、.(1)求函數(shù)f(x)的最小值;(2)對于任意x1r,存在x2r,使得f(x1)g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.創(chuàng)新應用組9.(2020山西運城模擬,23)已知函數(shù)f(x)=|3x+6|,g(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若f(x)+3g(x)a2-2a對于任意xr恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.參考答案課時規(guī)范練57絕對值不等式1.解(1)由題意得|x+1|2x-1|,所以|x+1|2|2x-1|2,整理得x2-2x0,解得0x2.故不等式解集為x|0x2.(2)由已知可得,log2af(x)max.f(x)=|x+1|-|2x-1|=x-2,x12.可知當x

4、=12時,f(x)取得最大值32,所以log2a32,a22.所以實數(shù)a的取值范圍為22,+).2.解(1)當a=1時,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由f(x)5得|x-2|+|2x+1|5.當x2時,不等式等價于x-2+2x+15,解得x2;當-12x2時,不等式等價于2-x+2x+15,即x2,不等式無解;當x-12時,不等式等價于2-x-2x-15,解得x-43.所以原不等式的解集為-,-432,+).(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因為f(x)+|x-2|3等價于(f(x)+|x-2|)min

5、3,所以|a+4|3,所以-7a|x-2|,即|x-2|x+|x+1|.當x2時,不等式化為x-2-3,所以x2;當-1x2時,不等式化為2-x13,所以13x2;當x-1時,不等式化為2-x3,此時無解.綜上,原不等式的解集為13,+.(2)因為f(x)+f(x-3)=|x+1|+|x-2|x+1-x+2|=3,所以a2+b2+c2=3.又因為a2+b2+c2=a2+b22+b22+c22ab+2bc,則ab+bc322,當且僅當a2=c2=b22=34時,等號成立.所以ab+bc的最大值為322.4.解(1)當a=1時,f(x)0化為|x+1|-2|x-1|-10.當x-1時,不等式化為x

6、-40,無解;當-1x0,解得23x0,解得1x0的解集為x23x-1,則f(x)=x-a-3,x1.此時f(x)的最大值f(1)=a,當a=0時滿足題設.若a-1,則f(x)=x-a-3,x-a.此時f(x)的最大值f(1)=-a-2,當a=-2時滿足題設.若a=-1,則f(x)=-|x-1|-10,所以當a=-1時不滿足題設.綜上所述,存在實數(shù)a=0或a=-2滿足題設.5.解(1)f(x)=|x+1|+3|x-a|2x+3可轉化為x1,4x-22x+3或-1x1,4-2x2x+3或x-1,2-4x2x+3,解得1x52或14x1或無解.所以不等式的解集為14,52.(2)依題意,問題等價于

7、關于x的不等式|x+1|+|x-a|4有解,即(|x+1|+|x-a|)min4,又|x+1|+|x-a|x+1-x+a|=|a+1|,當(x+1)(x-a)0時取等號.所以|a+1|4,解得-5a3,所以實數(shù)a的取值范圍是(-5,3).6.解(1)f(x)=|x-2|+|3x-4|=4x-6,x2,2x-2,43x2得x2,4x-62或43x2或x43,-4x+62,不等式的解集為x|x2.(2)由(1)可知f(x)min=f43=23,3a+4b=2,(a-2)2+b2表示直線3x+4y-2=0上的點與點a(2,0)的距離的平方,其最小值為點a(2,0)到直線的距離的平方.點a(2,0)到

8、直線的距離的最小值為d=|32-2|32+42=45,(a-2)2+b2的最小值為1625.7.解(1)依題意得f(x+2)=|x|-m,f(x+2)0,即|x|m,可得m=1.(2)依題意得a2+b2+c2=1(a,b,c0),由柯西不等式得,a+2b+3c12+22+32a2+b2+c2=14,當且僅當a=b2=c3,即a=1414,b=147,c=31414時取等號.故a+2b+3c的最大值為14.8.解(1)f(x)=|x+1|+|2x-2|=-3x+1,x1,f(x)在(-,1上單調遞減,在(1,+)上單調遞增,f(x)min=f(1)=2,故當x=1時,f(x)取得最小值2.(2)由(1)得f(x)min=2,而g(x)=|x-1|+|x+3m|-m|x-1-x-3m|-m=|1+3m|-m.由題意知,對任意x1r,存在x2r使得f(x1)g(x2)成立,則f(x)ming(x)min,即2|1+3m|-m,所以2+m0,(2+m)2(1+3m)2,解得-34m12,即m的取值范圍為-34,12.9.解(1)由f(x)g(x),得|3x+6|x-3|,平方得(3x+6)2(x-3)2,得8x2+42x+270,解得x-34.故不等式f(x)g(x)的解集是-,-92-34,+.(2)f(x)