1、課時分層作業二十五幾類不同增長的函數模型(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1.某林區的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數y=f(x)的圖象大致是()【解析】選d.設該林區的森林原有蓄積量為a，由題意，ax=a(1+0.104)y，故y=log1.104x(x1)，所以y=f(x)的圖象大致為d中圖象.2.如圖給出了某種豆類生長枝數y(枝)與時間t(月)的圖象，那么此種豆類生長枝數與時間的關系用下列函數模型近似刻畫最好的是()a.y=2t2b.y=log2tc.y=t3 d.y=2t【解析】選b.因為由圖象知模型越來越平滑，所以只有

2、b符合條件.3. 某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時間x(小時)變化的規律近似滿足表達式f(x)=5x-2,0x13513x,x1.酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫升.此駕駛員至少要過_小時后才能開車(精確到1小時).()a.1b.2c.3d.4【解析】選d.當x=1小時時，f(x)=51-2=0.20.02，當x1時，由3513x0.02，得13x130，設函數g(x)=13x，則g(x)是減函數，g(3)=127130，g(4)=181130，所以至少需要4小時后才能開車.4.在某種新型材料的研制中，實驗人

3、員獲得了下面一組實驗數據(見下表).現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01a.y=2x-2b.y=12 (x2-1)c.y=log2xd.y=12x【解析】選b.由題意得，表中數據y隨x的變化趨勢，函數在(0，+)上是增函數，且y的變化隨x的增大越來越快；因為a中函數是線性增加的函數，c中函數是比線性增加還緩慢的函數，d中函數是減函數；所以排除a，c，d選項；所以b中函數y=12 (x2-1)符合題意.5.下面對函數f(x)=log12x、g(x)=12x與h(x)=x-12在區間(0，+)上

4、的衰減情況說法正確的是()a.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越慢b.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越快c.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越慢d.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越快【解析】選c.函數f(x)=log12x、g(x)=12x與h(x)=x-12在區間(0，+)上的大致圖象如圖所示：函數f(x)的圖象在區間(0，1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢，在區間(1，+)上，遞減較慢，且越來越慢；同樣，函數g(x)的圖象在區間

5、(0，+)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢；函數h(x)的圖象在區間(0，1)上遞減較快，但遞減速度變慢，在區間(1，+)上，遞減較慢，且越來越慢.6. 一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y=ae-bt (cm3)，經過8 min后發現容器內還有一半的沙子，若再經過t0 min，容器中的沙子只有開始時的18.則t0的值為()a.8b.16c.24d.32【解析】選b.由已知得ae-8b=a2，所以e-8b=12，所以e-b=1218，又因為再經過t0 min，容器中的沙子只有開始時的18，所以ae-(8+t0)b=a8，所以e-(

6、8+t0)b=18，12188+t0=123，所以8+t08=3，所以t0=16.二、填空題(每小題5分，共10分)7.現有某種細胞100個，每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，且每次只有占總數12的細胞分裂，按這種規律發展下去，細胞總數超過1010個時用的時間為_小時.(參考數據：lg 30.477，lg 20.301)【解析】現有細胞100個，先考慮經過1，2，3，4個小時后的細胞總數：1小時后，細胞總數為12100+121002=32100(個)；2小時后，細胞總數為1232100+12321002=94100(個)；3小時后，細胞總數為1294100+12941002=2781

7、00(個)；4小時后，細胞總數為12278100+122781002=8116100(個).可歸納出，細胞總數y(個)與時間x(小時)之間的函數關系為y=10032x，xn*.由10032x1010，得32x108，兩邊同時取以10為底的對數，得xlg 328，所以x8lg3-lg2.因為8lg3-lg280.477-0.30145.45，所以x45.45.故經過46小時，細胞總數超過1010個.答案：468.甲用1 000元買入一種股票，后將其轉賣給乙，獲利10%，而后乙又將這些股票賣給甲，乙損失了10%，最后甲按乙賣給甲的價格的九折將股票出售給丙，甲在上述交易中盈利_元.【解析】由題意，甲

8、賣給乙獲利：1 00010%=100(元)，乙賣給甲：1 000(1+10%)(1-10%)=990(元)，甲賣給丙：1 000(1+10%)(1-10%)90%=1 0001.10.90.9=891(元)，甲賠了：990-891=99(元)，甲的盈虧情況為盈利：100-99=1(元).答案：1三、解答題9.(10分)有甲乙兩種商品，經銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元，它們與投入資金m(萬元)的關系式為p=15m，q=35m.今有3萬元資金投入這兩種商品.若設甲商品投資x萬元，投資兩種商品所獲得的總利潤為y萬元.(1)寫出y關于x的函數表達式.(2)如何分配資金可使獲得的總利潤最

9、大？并求最大利潤的值.【解析】(1)由題意知，對甲種商品投資x萬元，獲總利潤為y萬元，則對乙種商品的投資為(3-x)萬元，所以y=15x+353-x(0x3).(2)令t=3-x(0t3)，則x=3-t2，所以y=15(3-t2)+35t=-15t-322+2120，所以當t=32時，ymax=2120=1.05(萬元).由t=3-x=32可求得x=0.75(萬元)，3-x=2.25(萬元)，所以為了獲得最大利潤，對甲乙兩種商品的資金投入應分別為0.75萬元和2.25萬元，此時獲得最大利潤為1.05萬元.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1.某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發

10、資金的投入.若該公司2016年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是_年.(參考數據：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()a.2 018b.2 020c.2 024d.2 035【解析】選b.設公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是n，則130(1+12%)n-2 016200，化為(n-2 016)lg 1.12lg 2-lg 1.3，所以n-2 016lg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.05=3.8，即n2 019.8，所以n=2 020，即

11、開始超過200萬元的年份為2020年. 2.某產品進入商場銷售，商場第一年免收管理費，因此第一年該產品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件，從第二年開始，商場對該產品征收銷售額的x%的管理費(即銷售100元要征收x元)，于是該產品定價每件比第一年增加了70x%1-x%元，預計年銷售量減少x萬件，要使第二年商場在該產品經營中收取的管理費不少于14萬元，則x的最大值是()a.2b.6c.8.5d.10【解析】選d.第二年年銷售量為(11.8-x)萬件，定價為每件70+70x%1-x%=7 000100-x ，第二年商場在該產品經營中收取的管理費11.8-x7 000100-xx%14，解得2x

12、10，則x的最大值是10.3.假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報如圖所示.橫軸為投資時間，縱軸為每天的回報，根據以上信息，若使回報最多，下列說法錯誤的是()a.投資3天以內(含3天)，采用方案一b.投資4天，不采用方案三c.投資6天，采用方案一d.投資12天，采用方案二【解析】選d.由圖可知，投資3天以內(含3天)，方案一的回報最高，a正確；投資4天，方案一的回報約為404=160(元)，方案二的回報約為10+20+30+40=100(元)，都高于方案三的回報，b正確；投資6天，方案一的回報約為406=240(元)，方案二的回報約為10+20+30+40+

13、50+60=210(元)，都高于方案三的回報，c正確；投資12天，明顯方案三的回報最高，所以此時采用方案三，d錯誤.二、填空題(每小題5分，共15分)4.如圖所示的是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的殘留量y與凈化時間t(月)的近似函數關系：y=at(t0，a0且a1)的圖象.有以下敘述：第4個月時，殘留量就會低于15；每月減少的有害物質量都相等；若殘留量為12，14，18時，所經過的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2=t3.其中所有正確敘述的序號是_.【解析】根據題意，函數的圖象經過點2,49，故函數為y=23t.易知正確.答案：5.某種病菌經30分鐘繁殖為原來的兩倍，且知病

14、菌的繁殖規律為y=ekt，其中k為常數，t表示時間(小時)，y表示病菌個數，則k=_，經過5小時，1個病菌能繁殖為_個.【解析】12,2代入y=ekt得2=e12k，所以12k=ln 2，k=2ln 2，所以函數解析式為y=e2tln 2=eln 22t=22t，令t=5，則1個病菌經5小時繁殖為y=210=1 024(個).答案：2ln 21 0246.三個同學甲、乙、丙參加從a地到b地的5 km負重徒步旅行，三個人同時出發，甲走的路程y1(km)與時間x(h)的關系式為y1=6x-1，乙走的路程y2(km)與時間x(h)的關系式為y2=4x，丙走的路程y3(km)與時間x(h)的關系式為y

15、3=log2(24x+1)，則下列描述正確的是_(填序號).第一個到達目的地的人是甲；出發10分鐘時走在最前面的是丙；出發30分鐘時三個人都走過了全程的一半；最后一個到達目的地的人是丙.【解析】畫出三個函數的大致圖象，如圖，由y1=6x-1=5解得x=1，所以甲到達目的地用的時間是1小時，由y2=4x=5，解得x=1.25，所以乙到達目的地用的時間是1小時15分鐘，由y3=log2(24x+1)=5，解得x=3124，所以丙到達目的地用的時間是1小時17分鐘30秒，所以第一個到達目的地的人是甲，最后一個到達目的地的人是丙，所以描述正確，當出發10分鐘時，即x=16，y1=616-1，y2=41

16、6=23，y3=log22416+1=log25，所以y3y1，y3y2，即走在最前面的是丙，所以描述正確，當出發30分鐘時，即x=12，y1=612-1=6-12.5，y2=412=22.5，所以只有丙走過了全程的一半，甲、乙都沒有走到一半，所以描述錯誤.答案：三、解答題(每小題10分，共20分)7.某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：一種是年利率為10%，按單利計算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率為9%，按每年復利一次計算，5年后收回本金和利息.哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結果精確到0.01萬元)【解析】本金100萬元，年利率為10%，按

17、單利計算，5年后的本息和是100(1+10%5)=150(萬元).本金100萬元，年利率為9%，按每年復利一次計算，5年后的本息和是100(1+9%)5153.86(萬元).由此可見，按年利率為9%每年復利一次計算的投資方式要比按年利率為10%單利計算的投資更有利，5年后多得利息3.86萬元.8.某地區為響應上級號召，在2017年初，新建了一批200萬平方米的廉價住房，供困難的城市居民居住.由于下半年受物價的影響，根據本地區的實際情況，估計今后住房的年平均增長率只能達到5%.(1)經過x年后，該地區的廉價住房為y萬平方米，求y=f(x)的表達式，并求此函數的定義域.(2)作出函數y=f(x)的圖象，并結合圖象，求經過多少年后，該地區的廉價住房