1、3.4線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的根本概念 二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件三、勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)1877、1895四、勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況五、勞思穩(wěn)定判據(jù)的運(yùn)用1穩(wěn)定是控制系統(tǒng)可以正常運(yùn)轉(zhuǎn)的首要條件。 一、穩(wěn)定性的根本概念 2自動(dòng)控制實(shí)際的根本義務(wù)(之一) 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展各類質(zhì)量目的的分析必需在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)展。例例穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺(a)(a)穩(wěn)定穩(wěn)定(b)(b)臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定(c)(c)不穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義控制系統(tǒng)在外部擾動(dòng)消逝后，由初始偏向形狀恢復(fù)到原平衡形狀的性能。留意：控制系統(tǒng)本身的固有特性，取決于留意：控制系

2、統(tǒng)本身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的構(gòu)造和參數(shù)，與輸入無關(guān)。系統(tǒng)本身的構(gòu)造和參數(shù)，與輸入無關(guān)。不論擾動(dòng)引起的初始偏向有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都可以恢復(fù)到原有的平衡形狀。(a)大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定: :(b)小范圍穩(wěn)定否那么系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。留意：對(duì)于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定留意：對(duì)于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。大范圍穩(wěn)定。(a)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：假設(shè)系統(tǒng)在擾動(dòng)消逝后，輸出與原始臨界穩(wěn)定：假設(shè)系統(tǒng)在擾動(dòng)消逝后，輸出與原始的平衡形狀間存在恒定的偏向或輸出維持等幅振的平衡形狀間存在恒定的偏向或輸出維持等幅振蕩，那么系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀。蕩，那么系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀。留意：經(jīng)典控制論中，臨

3、界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。留意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性線性系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)只需大范圍穩(wěn)定的問題對(duì)于線性系統(tǒng)只需大范圍穩(wěn)定的問題對(duì)于線性系統(tǒng)而言，平衡形狀穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性是等價(jià)的對(duì)于線性系統(tǒng)而言，平衡形狀穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性是等價(jià)的 線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零，那么稱系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。推移逐漸衰減并趨于零，那么稱系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。如動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，稱為不穩(wěn)定。如動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，稱為不穩(wěn)定。 系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入的條件下，系統(tǒng)方程的系統(tǒng)方程在不受任何外界

4、輸入的條件下，系統(tǒng)方程的解在時(shí)間趨于無窮時(shí)的漸進(jìn)展為。解在時(shí)間趨于無窮時(shí)的漸進(jìn)展為。線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定的條件：假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，遭到單位脈沖信號(hào)( t)的作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出增量偏向?yàn)閱挝幻}沖呼應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t時(shí)，假設(shè)：即輸出增量收斂于原平衡點(diǎn)，那么線性系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。lim ( )0tc t二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件理想脈沖函數(shù)作用下 R(s)=1。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng),t 時(shí),輸出量 c(t)=0。)()()()()()(.)()(11011101110jjjjKikjinnnnmmmmjsjspsasBsDsBasasasab

5、sbsbsbsRsC) tsinBtcosA(eec) t ( cjjr1jjjtk1itpiji由上式知：假設(shè)pi和i均為負(fù)值, 當(dāng)t時(shí),c(t)0。bak1ir1jjjjjjjii)j(s)j(s spsc) s (R) s (D) s (B) s (C自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。留意：穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)留意：穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)3P2P1P4P5PnPS平面jO0)()()()(110jjjjKikjijsjspsasD系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程例例結(jié)果：共軛復(fù)根，具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)果：共軛復(fù)根，具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定

6、。三、勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)1877、18951該判據(jù)出現(xiàn)的歷史條件2勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的歷史條件和現(xiàn)狀在十九世紀(jì)后葉，由于無法解析求解高階多項(xiàng)式的根在十九世紀(jì)后葉，由于無法解析求解高階多項(xiàng)式的根由于計(jì)算工具所限，數(shù)值求解也較難由于計(jì)算工具所限，數(shù)值求解也較難把把求根的詳細(xì)值求根的詳細(xì)值問題放松為問題放松為判別根能否小于零判別根能否小于零問題。問題。實(shí)際上還有一定的位置實(shí)際上還有一定的位置在研討相對(duì)穩(wěn)定性和保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍發(fā)揚(yáng)作用在研討相對(duì)穩(wěn)定性和保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍發(fā)揚(yáng)作用由于數(shù)值求根曾經(jīng)非常方便，該判據(jù)在直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性由于數(shù)值求根曾經(jīng)非常方便，該判據(jù)在直接判別系統(tǒng)穩(wěn)

7、定性上的作用幾乎衰退。上的作用幾乎衰退。赫爾維茨赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)a00a00時(shí)，時(shí)， 各各階赫爾維茨行列式階赫爾維茨行列式 1 1、 2 2、 n n均大于零。均大于零。一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)nnnnaaaaaaaaaaa213142053100000000123na00時(shí), a10(全部系數(shù)數(shù)同號(hào))a00時(shí), a10, a20(全部系數(shù)數(shù)同號(hào))0a .sasa) s (D21120011a0asa) s (D100a11a00時(shí)a00時(shí)0aaaa0a2120120asa.sasa) s (Dn1n1n1n00asa

8、.sasa) s (D322130三階系統(tǒng)a00時(shí), a10, a20, a30(全部系數(shù)同號(hào))a00時(shí) a1a2 a0 a3n2n1n31420531naa0000a0aa00aaa0aaa123n0a110aaaaaaaa3021203120aaa00aa0aa223120313四階系統(tǒng)0asasa .sasa) s (D432231400a110aaaaaaaa3021203120aaaaaaaaa0aaa0aa230214321314203130aaaa00aa00aaa00aa3442031420314a00時(shí), a10, a20, a30 , a40 (全部系數(shù)數(shù)同號(hào))421230

9、321aaaaaaaa00時(shí)n2n1n31420531naa0000a0aa00aaa0aaa123n一階系統(tǒng)a10(全部系數(shù)數(shù)同號(hào))a10, a20(全部系數(shù)數(shù)同號(hào))0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0a10, a20, a30(全部系數(shù)數(shù)同號(hào))a1a2 a0 a3a10, a20, a30 , a40(全部系數(shù)數(shù)同號(hào))421230321aaaaaaa歸納：a00時(shí)二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)四階系統(tǒng)例例a10, a20, a30 , a40421230321aaaaaaaK)2s)(1ss ( sK) s (R) s (C20Ks2s3s3s) s (D2340K 22213K3320K91

10、4K值的穩(wěn)定范圍各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)a00時(shí),單位反響系統(tǒng),知系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)如下：判別上述系統(tǒng)開環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并闡明開環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù)目對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。) 1sT)(1sT)(1sT(K) s (G321) 1sT)(1sT( sK) s (G21) 1sT(sK) s (G12系統(tǒng)1的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)3的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)2的閉環(huán)特征方程為：K的穩(wěn)定域?yàn)椋篕的穩(wěn)定域?yàn)椋?K1s )TTT(s )TTTTTT(sTTT) s (D321232312133212TTTTTTTTTK03122311320Kss )TT(sTT) s (D2213212112TTTTK00KssT) s (

11、D231結(jié)論：添加系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。由于特征方程缺項(xiàng)，不存在K的穩(wěn)定域。勞斯陣列勞斯陣列性質(zhì)：第一列符號(hào)改動(dòng)次數(shù)= 系統(tǒng)特征方程含有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bbaa|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n3212n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas特征方程：勞斯陣列：勞斯勞斯(routh)判據(jù)判據(jù)假設(shè)符號(hào)一樣假設(shè)符號(hào)一樣 系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)

12、數(shù)等于系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零零系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定；假設(shè)符號(hào)不同假設(shè)符號(hào)不同 符號(hào)改動(dòng)的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正符號(hào)改動(dòng)的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改動(dòng)符號(hào)。勞思陣列第一列元素不改動(dòng)符號(hào)。“第一列中各數(shù)第一列中各數(shù)注：通常注：通常a0 0a0 0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡(jiǎn)述為，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡(jiǎn)述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。l特殊情況特殊情況1：某行的第一列出現(xiàn)：某行的第一列出現(xiàn)0l特殊情況特殊情況2：某一行元素均為：

13、某一行元素均為0四、勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況l特殊情況特殊情況1：某行的第一列出現(xiàn)：某行的第一列出現(xiàn)0特殊情況：第一列出現(xiàn)特殊情況：第一列出現(xiàn)0 0。3( )320D sss3211302sss處理方法：用因子處理方法：用因子(s(sa)a)乘以乘以原特征方程。原特征方程。432101363702 / 36020006sssss3432( )(3) (32)33760D ssssssss系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部根。系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部根。l特殊情況特殊情況2：某一行元素均為：某一行元素均為0特殊情況：某一行元素均為特殊情況：某一行元素均為0 006655)(2345ssssssD6s5/

14、2s62/5s010040s651s651s012345處理方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)得:06s5s24010413ss2js2, 13js4, 31s5例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為 0161620128223456SSSSSS列勞斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS2,2jj顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定形狀。 ssssF16122)(24ssdssdF248)(30)4)(2(2)86(216122)(222424ssssssssF勞斯陣列出現(xiàn)全零行:大小相等符號(hào)相反

15、的實(shí)根大小相等符號(hào)相反的實(shí)根共軛虛根共軛虛根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根系統(tǒng)在系統(tǒng)在 平面有對(duì)稱分布的根平面有對(duì)稱分布的根五、勞思穩(wěn)定判據(jù)的運(yùn)用2、實(shí)踐系統(tǒng)希望S左半平面上的根間隔虛軸有一定的間隔。此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最接近右側(cè)的根間隔虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度。1sa01、穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的詳細(xì)數(shù)據(jù)。處理的方法為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中能否有根位于垂線 右側(cè)。1(ssa a稱為給定穩(wěn)定度）代入原方程式中，得到以 1sas設(shè)用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)以下特征方程041310223SSS能否有根在S

16、的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線1S的右方。 例3-81sa0解：列勞斯表 42 .121081304101320123SSSS第一列全為正，一切的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令1 ZS代入特征方程：04) 1(3) 1(10) 1(223ZZZ014223ZZZ式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在1S的右方。列勞斯表12114120123SSSS第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線1S的右方。041310223SSS)(sR)(sCsKt）（10) 5(20sss)(sGc圖3-21單位反響控制系統(tǒng)方塊圖ssKsGpc) 1()(時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？ 知一單位反響控制系統(tǒng)如圖3-21所示，試回答 例3-91)(sGc時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)能否穩(wěn)定？ 0205015020)10)(5(23SSSSSS排勞斯表 20152075020155010123SSSS 第一列均為正值，S全部位于左半平面，故 解： 系統(tǒng)穩(wěn)定特征方程為1)(sGc時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的ssKsGpc) 1()(開環(huán)傳送函數(shù) )10)(5() 1(20)()(2SSSSKsGsGpc閉環(huán)