1、2021-10-17數學因思維顯智慧數學因思維顯智慧 數學因運算而成體系數學因運算而成體系 向量因為運算而體現它向量因為運算而體現它的無窮威力！的無窮威力！ 2021-10-17知識回顧知識回顧 1. 向量與數量有何區別向量與數量有何區別? 2. 怎樣來表示向量向量怎樣來表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?1)用有向線段來表示用有向線段來表示,線段的長度表示線段的大小，箭頭所線段的長度表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向指方向表示向量的方向。AB2）用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示點字母表示.

2、如aAB,長度相等長度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因為如此正因為如此,我們研究的向量是我們研究的向量是與起點無關與起點無關的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.)4.什么叫做平行向量？平行向量與共線向量有什么什么叫做平行向量？平行向量與共線向量有什么區別？區別？ 上海上海香港香港臺北臺北引入引入1：上海上海香港香港臺北臺北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法則：向量加法的三角形法則：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、內點 ，

3、則與，記 則 這稱為 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做的的和和作作即即種種求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾連首尾連首尾相接首尾相接嘗試練習一：嘗試練習一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根據圖示填空：）根據圖示填空：_ABBCCDDE AE 2021-10-17嘗試練習一：不看圖，會求了嗎？嘗試練習一：不看圖，會求了嗎？ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）填空）填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向

4、量 。, a b abab 則則 OBab OABaba 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內任取一點：在平面內任取一點O，作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：2021-10-17思考思考1：如圖，當在數軸上兩個向量：如圖，當在數軸上兩個向量共線共線時，加法的時，加法的三角形三角形法法 則則是否還適用？如何作出兩個向量的和？是否還適用？如何作出兩個向量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab00aaa規 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，則（或）2021-10-17 當向量當向量 不共線時，和向量的長度不共線時，和向

5、量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關系如何？之間的大小關系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當向量、不共線時有綜合以上探究我們可得結論：| |abab2021-10-17 圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表示橡皮條在兩個力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸長了伸長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個力表示橡皮條在一個力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸長了相同長度方向伸長了相同長度EOEO。從力學的觀點分析，力。從力學的觀點分析，力F F與與F F1

6、1、F F2 2之間的關系如何？之間的關系如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點 為點兩個為鄰邊則為點對線與 這平行四邊則稱為 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法的的種種求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則：OABCabba 起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則： 文字表述為：以同一起點的兩個向量

7、為鄰邊作平行文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點為起點的對角線所對應向量就是四邊形，則以公共起點為起點的對角線所對應向量就是和向量。和向量。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內任取一點：在平面內任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結連結OC，則，則abba BCA平行四邊形法則平行四邊形法則嘗試練習二：嘗試練習二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法則三角形法則和和平行四邊形平行

8、四邊形法則作出法則作出a b 、ab abbba2021-10-17思考思考2:數的加法滿足交換律和結合律，即對任意數的加法滿足交換律和結合律，即對任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對任意向量那么對任意向量 的加法是否也滿足交換律和結合律？的加法是否也滿足交換律和結合律？請畫圖進行探索。請畫圖進行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a bc ab c 2021-10-17例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘

9、船從長江南岸A點出發，以點出發，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度2021-10-17例例2.長江兩岸之間

10、沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發，以點出發，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(2 3

11、)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實際航行速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC2021-10-17（1）你還能回想起實數的相反數是怎樣定義的嗎？）你還能回想起實數的相反數是怎樣定義的嗎？（2）兩個實數的減法運算可以看成加法運算嗎？）兩個實數的減法運算可以看成加法運算嗎？思考思考：如設如設,x yR xy()xy 實數實數 的相反數記作的相反數記作 。aa如何定義向量的減法運算呢？如何定義向量的減法運算呢？ 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義回顧：回顧：2021-10-17一、相反向量：

12、一、相反向量：規定：規定：設向量設向量 ，我們把與，我們把與 長度相同，方向相反長度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）設）設 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：()abab （2）()aa()aaa002021-10-17BACab設設,AB b AC a DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab你能利用我們學過的向量的加法法則作出你能

13、利用我們學過的向量的加法法則作出 嗎？嗎？ ()ab 不借助向量的加法法則你能直接作出不借助向量的加法法則你能直接作出 嗎？嗎？ a b2021-10-17三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba（1）如果從）如果從 的終點指向的終點指向 終點作向量，所得向量是什么呢？終點作向量，所得向量是什么呢？ab（2）當）當 ， 共線時，怎樣作共線時，怎樣作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起點必須相同起點必須相同。（。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。ba一般地

14、一般地abBabbAO（三角形法則）（三角形法則）a練習：練習：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 2021-10-17三、幾何意義三、幾何意義注意：注意：（1）起點必須相同。（）起點必須相同。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。一般地一般地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba練習：練習：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 2021-

15、10-17已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面內任取一點在平面內任取一點O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 則則BAab DCcd 作作注意：注意：起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。a b c d 2021-10-17練習：練習：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 2021-10-17ABCD解：由作向量和的平行解：由作向量和的平行四邊形法則，

16、得四邊形法則，得AC=a+b;由作向量差的方法，知由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.ab例例2 2： 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中，中，AB=a,AD=b,AB=a,AD=b,用用 a, ba, b表示向量表示向量AC,DBAC,DB。2021-10-17例例3 : 化簡化簡 ( (A AB B- -C CDD) )- -( (A AC C- -B BDD) )解解: ( (A AB B- -C CD D) )- -( (A AC C- -B BD D) ) = =A AB B- -C CD D- -A AC C+ +B BD D= = A AB B+ +D DC C+

17、+C CA A+ +B BD D = =( (A AB B+ +B BDD) )+ +( (DDC C+ +C CA A) ) = =A ADD+ +DDA A = = 0 02021-10-17 ,ABaADbABADABCD 解設作以和為鄰邊作平行四邊形。則ADBC,AC a bDB a b |ababA CD BAB，ADABCD，ABCD為矩形所以四邊形為平行四邊形又因為四邊形2222|6810| | 10DBDBDBaba b ba例例4已知已知|a|=6,|b|=8,且且|a+b|=| a- b|,求求|a- b|.2021-10-17AB BC AC222練習練習1正方形正方形A

18、BCD邊長為邊長為1，=a，=b， =c，則，則|a+b+c|等于（等于（ ）A0 B3 C DC練習練習2 2化簡化簡PMPNMN 結果是結果是 0 02021-10-17練習3 a，b為非零向量，且為非零向量，且|a- b|=| a|+| b|，則則 （ ）Aa與與b方向相同方向相同 Ba = b Ca =b Da與與b方向相反方向相反ab|ab練習練習4 4向量向量 , , 的模分別是的模分別是3，4，求，求的取值范圍。的取值范圍。 D D1,71,72021-10-17ABCD練習練習5:5:如圖：平行四邊形如圖：平行四邊形ABCD, ABCD, 用用 表示向量表示向量 , aAB , bAD ba,.,DBACba變式五變式五: :若若|AB|