1、大冶一中大冶一中 徐建波徐建波探究：橢圓中的一組性質探究：橢圓中的一組性質大冶一中大冶一中 徐建波徐建波問題背景問題背景4, ( 3,0),(3,0),9ABCBCABACA在中直線，斜率乘積為-求頂點求軌跡方程的一般步驟？求軌跡方程的一般步驟？建系建系設點設點列式列式化簡化簡檢驗檢驗點點 的軌跡方程是：的軌跡方程是：A22194xy (3).x oxyBCA點點 的軌跡是什么的軌跡是什么?ABCBC以為長軸的橢圓（除去 、 兩點）.的軌跡方程.問題背景問題背景4, ( 3,0),(3,0),9ABCBCABACA在中直線，斜率乘積為-求頂點【問題問題1】所求得的曲線方程中所求得的曲線方程中2

2、2ba49是巧合還是必然？是巧合還是必然？點點 的軌跡方程是：的軌跡方程是：A22194xy (3).x 試探究有沒有一般性的結論？試探究有沒有一般性的結論？的軌跡方程.自主探究自主探究 22221()xyxaab 創設情境創設情境22,0),ba bAa為-（則頂點 的軌跡方程為, (,0),( ,0),ABCBaC a在中,AB AC直線斜率乘積頂點頂點 的軌跡是什么的軌跡是什么?A0,abBCBC當時 軌跡為以為長軸頂點的橢圓 除去 、 兩點；0,baBCBC當時 軌跡為以為短軸頂點的橢圓 除去 、 兩點；0,abBCBC當時 軌跡為以為直徑的圓 除去 、 兩點.自主探究自主探究 oxy

3、BCA(,0),( ,0)BaC a與兩個定點連線220)baba的斜率乘積為定值-(A的動點 的軌跡方程是22221()xyxaab 自主探究自主探究 【問題問題2】 結論結論1的反面是什么？的反面是什么？22221(0)xyabab橢圓上長軸的兩頂點斜率乘積為22.ba定值-與橢圓上的任一點（除這兩個頂點）連線oxyBCA是否成立？請進行探究是否成立？請進行探究.自主探究自主探究 oxyBCA( , )x y(,0)a( ,0)a探究流程：探究流程：設點設點目標目標已知已知推理推理結論結論(,0),( ,0), ( , )BaC aA x yABACkk222yyyxa xaxa22221

4、xyab222222221xbybxaaa 22ABACbkka 自主探究自主探究 22221(0)xyabab橢圓上長軸的兩頂點斜率乘積為22.ba定值-與橢圓上的任一點（除這兩個頂點）連線oxyBCA自主探究自主探究 22221(0)xyabab橢圓上長軸的兩頂點斜率乘積為22.ba定值-與橢圓上的任一點（除這兩個頂點）連線oxyBCA【問題問題3】 在結論在結論2中，若中，若 時，時，0ab你又能得到怎樣的結論？你又能得到怎樣的結論？oxyBCA222(0)xyaa圓的直徑的兩端點斜率乘積為 1.-與圓上的任一點（除這兩個端點）連線自主探究自主探究 【問題問題4】圓的任一條直徑所對的圓周

5、角是直角圓的任一條直徑所對的圓周角是直角.類比：類比：oxyBCA把結論2中的長軸換成經過原點的oxyBCA任意一條弦 ，結論是什么？BC自主探究自主探究 22221(0)xyabab橢圓上任一條經過原點的弦的兩個端點與橢圓上的任一點（除這兩個端點）連線斜率乘積為22.ba定值-oxyBCA是否成立？請進行探究是否成立？請進行探究.設點設點目標目標已知已知推理推理結論結論自主探究自主探究 22221(0)xyabab橢圓上任一條經過原點的弦的兩個端點與橢圓上的任一點（除這兩個端點）連線斜率乘積為22.ba定值-oxyBCA拓展應用拓展應用 22,1,42xyxoyMN如圖 在平面直角坐標系中、

6、 分別是橢圓的頂點,.CACBPAk垂足為連接并延長交橢圓于點設直線的斜率為,PAPPx過坐標原點的直線交橢圓 、 兩點 其中 在第一象限 過 作 軸的垂線,;PANMk若直線平分線段求 的值0,.kPAPB對任意的求證:=2,;kPABd當時 求點 到直線的距離的oxPCAyBNM拓展應用拓展應用 0,.kPAPB對任意的求證:oxPCAyB【問題問題5】 你能利用本節課中所你能利用本節課中所探究的結論來解決（探究的結論來解決（3）嗎？）嗎？22,1,42xyxoyMN如圖 在平面直角坐標系中、 分別是橢圓的頂點,.CACBPAk垂足為連接并延長交橢圓于點設直線的斜率為,PAPPx過坐標原點

7、的直線交橢圓 、 兩點 其中 在第一象限 過 作 軸的垂線拓展應用拓展應用 0,.kPAPB對任意的求證:oxPCAyB分分 析析1=,2ABPBkk由結論3可知：1,PAPBkk 即證：,PAPB要證：2PAABkk所以我們只要證明即可.我們“已知”了什么？拓展應用拓展應用 0,AD由題意可知：直線的斜率存在且大于111(0),:(2),ADADkk klyk x設則13(3,),xEk令得：221,3,42xyDADPDxEF若 是橢圓的右頂點 直線、交直線于 、 兩點oxPAyDEF【問題問題6】 試用所探究的結論來解題試用所探究的結論來解題.1111,:(2),22PDPDklyxkk 所以則11111110,22,22kEFkkkk因為所以解：解：122k即 =時等號成立.13,2ADPDkk 由結論 可得：113(3,),2xFk令得：111,2kk當且僅當2.EF所以的最小值為EF則的最小值為.回顧反思回顧反思 數學知識數學知識直線的斜率公式、直線的斜率公式、數學方法數學方法數學結論數學結論橢圓的標準方程及幾何性質、橢圓的標準方程及幾何性質、曲線與方程的概念曲線與方程的概念數形結合、數形結合、 歸納類比、歸納類比、 分類討論、分類討論、 設而不求設而不求的兩個端