1、工程力學工程力學桿件的幾何特征及變形的基本形式2內力 截面法 應力 應變1第4章軸向拉伸與壓縮拉（壓）桿橫截面上的內力及內力圖3拉（壓）桿橫截面及斜截面上的應力4材料在拉伸或壓縮時的力學性能5工程力學工程力學拉（壓）桿的變形7拉（壓）桿的強度設計6第4章軸向拉伸與壓縮拉（壓）桿超靜定問題8應力集中的概念9工程力學工程力學4.1 內力 截面法 應力 應變12內力內力 截面法截面法應力應力3應變應變工程力學工程力學工程力學中所研究的內力，是指物體在外力作用下，其內部質點相互作用力的改變量，稱為附加內力附加內力，常簡稱為內力內力，如圖4-1所示。4.1.1 內力 截面法工程力學工程力學假想地用一個截

2、面將構件一分為二，并選其一建立方程，以確定截面上內力的大小和指向的方法，稱為截面法。截面法的全部過程可歸納為以下三個步驟：截開；替代；平衡。必須注意：截開面上的內力對研究部分來說屬于外力；在用截面法求內力的過程中，靜力學中的力的可傳性原理及力偶可移性原理的應用是有限制的。4.1.1 內力 截面法工程力學工程力學4.1.2 應力應力應力是受力桿件某一截面上一點處的內力集度。如圖4-2所示，K點的總應力，即其中稱為正應力，稱為切應力。應力的單位是（Pa）帕， 。工程上常用MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其關系為工程力學工程力學4.1.3 應變設圖4-3（a）為構件上某一點處取出的一個正六面體，其沿

3、x軸方向的棱邊AB原長為 ,變形后變為 ，如圖4-3（b）所示。如AB線段內各點處的變形程度相同，則比值 稱為線段AB的線應變。工程力學工程力學如線段AB內各點處的變形程度并不相同，則此比值只是線段AB的平均線應變。而A點沿x方向的線應變則為當構件變形后，上述正六面體除棱邊的長度改變外，二垂直線段AC與AB間的夾角也會發生變化，不再保持直角（圖4-4）。角度的改變量稱為切應變。4.1.3 應變工程力學工程力學構件的幾何形狀是多種多樣的，但根據其幾何特征，可把構件分為桿件、板與殼、塊體三類。桿件有兩個主要的幾何因素：橫截面橫截面和軸線軸線。橫截面和軸線是互相垂直的（圖4-5）。材料力學中所研究的

4、直桿多數是等截面的，稱為等直桿等直桿，如圖4-5（a）。橫截面大小不同的桿稱為變截面桿變截面桿。等直桿的計算原理一般也可近似地用于曲率很小的曲桿，如圖4-5（b），和橫截面變化不大的變截面桿。4.2桿件的幾何特征及變形的基本形式工程力學工程力學四種基本變形形式：軸向拉伸或軸向壓縮（如圖4-6、圖4-7） 剪切（如圖4-8）4.2桿件的幾何特征及變形的基本形式工程力學工程力學扭轉（如圖4-9）彎曲（如圖4-10）4.2桿件的幾何特征及變形的基本形式工程力學工程力學12拉伸（壓縮）時橫截面上的內力拉伸（壓縮）時橫截面上的內力軸力圖軸力圖4.3 拉（壓）桿橫截面上的內力及內力圖工程力學工程力學在工程

5、實際中，承受拉伸或壓縮的桿件是很常見的。這類桿件從幾何上均可抽象為一等直桿。其受力特點是：作用于桿端外力的合力作用線與桿件的軸線重合。其變形特點是：沿軸線方向伸長或縮短，稱為軸向拉伸圖4-6(a)或軸向壓縮圖4-6(b)。4.3 拉（壓）桿橫截面上的內力及內力圖工程力學工程力學4.3.1 拉伸（壓縮）時橫截面上的內力為了確定拉壓桿橫截面 上的內力，可用截面法假想在 截面處將桿件截斷（圖4-11），則式中 為桿件任一橫截面 上的內力。因為外力F與桿軸線重合，所以內力 的作用線也與桿軸線重合。這種內力稱為軸力軸力，用符號 表示。工程力學工程力學4.3.2 軸力圖當桿件受到多個軸向外力作用時，在桿的

6、不同段內將有不同的軸力。為了形象地表明桿內軸力隨著橫截面位置而變化的情況“可根據求得的軸力作出軸力圖!通常是按選定的比例尺，用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上軸力的數值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關系的圖線，稱為軸力圖軸力圖。慣上將正值的軸力畫在上側，負值的畫在下側。工程力學工程力學4.4 拉（壓） 桿橫截面及斜截面上的應力12拉（壓）桿橫截面上的應力拉（壓）桿橫截面上的應力拉（壓）桿斜截面上的應力拉（壓）桿斜截面上的應力工程力學工程力學研究拉（壓）桿橫截面上的應力需綜合考慮幾何幾何、物理物理、靜靜力力學三個方面。一個重要的變形假設平面假設平面假設，認為桿

7、件變形后，其橫截面仍為平面且垂直于軸線。由于假設材料是均勻、連續性的，由此推斷：橫截面上內力均勻分布，且其方向垂直于橫截面，即橫截面上只有正應力，而且是均勻分布的圖4-13(c)。由此可知，橫截面上正應力的計算公式為4.4.1 拉（壓）桿橫截面上的應力工程力學工程力學嚴格地說，在桿端集中力作用點附近，應力并非均勻分布。所以，上式在集中力作用點的小范圍內是不適用的。圣維南原理圣維南原理指出：力作用于桿端方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內受到影響。這一原理已為試驗所證實，所以在拉（壓）桿的應力計算中，都以公式（4-3）為準.4.4.1 拉（壓）桿橫截面上的應力工程力學工程力學如

8、圖4-15所示，可知通過拉桿內任一點處不同方位斜截面上的正應力 和切應力 隨角而改變的規律通過一點的所有不同方位截面上應力的全部情況，稱為該點處的應力狀態。由式（4-4）、式（4-5）還可看出，在所研究的拉桿中，一點處的應力狀態由其橫截面上的正應力即可完全確定，這樣的應力狀態稱為單向應力狀態。4.4.2 拉（壓）桿斜截面上的應力工程力學工程力學4.5 材料在拉伸或壓縮時的力學性能12低碳鋼拉伸時的力學性能低碳鋼拉伸時的力學性能其他材料拉伸時的力學性能其他材料拉伸時的力學性能34材料壓縮時的力學性能材料壓縮時的力學性能幾種非金屬材料的力學性能幾種非金屬材料的力學性能工程力學工程力學研究桿件的強度

9、和變形時，需了解材料的力學性能，如材料的極限應力、彈性模量等，這些數據需由試驗來確定。所謂材料的力學性能材料的力學性能，是指反映材料在外力作用下所呈現的有關強度和變形方面所表現的特性。4.5 材料在拉伸或壓縮時的力學性能工程力學工程力學4.5.1 低碳鋼拉伸時的力學性能一般試驗機上備有自動繪圖裝置，能自動繪出荷載F與伸長量l間的關系曲線，稱為拉伸圖。圖4-19為低碳鋼試樣的拉伸圖。為消除試樣幾何尺寸的影響，常將拉伸圖上縱坐標F除以試樣原橫截面面積A，橫坐標l除以試樣標距的原始長度l。將F-l曲線改制成-曲線，稱為應力-應變曲線或-曲線（圖4-20）。工程力學工程力學由應力，應變曲線可見，整個拉

10、伸過程大致可分為四個階段，現分別說明如下：彈性階段（圖4-20中ab點）屈服階段（圖4-20中b點之后）強化階段局部變形階段（頸縮階段）工程上常用試樣在拉斷后殘留的塑性變形來表示材料的塑性性能。常用的塑性指標有以下兩個。4.5.1 低碳鋼拉伸時的力學性能工程力學工程力學圖4-23給出了另外幾種材料在拉伸時的 曲線。4.5.2 其他材料拉伸時的力學性能工程力學工程力學對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常規定：取對應于試樣卸載后產生0.2%塑性應變時的應力值作為材料的規定非比例延規定非比例延伸強度伸強度，以 表示。這是一個人為規定的極限應力，作為衡量材料強度的指標。確定 數值的方法如圖4-24所示

11、，圖中直線CD與彈性階段中的直線部分相平行。4.5.2 其他材料拉伸時的力學性能工程力學工程力學圖4-26中的實線為低碳鋼壓縮時的 曲線，虛線為低碳鋼拉伸時的 曲線。可以看出：當應力小于屈服極限時，兩曲線基本上是重合的，表明低碳鋼壓縮時的彈性模量E、比例極限&N#屈服極限 、都與拉伸時大致相同。超過屈服極限以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大。試樣抗壓能力不斷提高，所以得不到壓縮時的強度極限。因為可從拉伸試驗的結果了解它在壓縮時的主要力學性能，所以不一定要進行壓縮試驗。4.5.3 材料壓縮時的力學性能工程力學工程力學與塑性材料不同，脆性材料在壓縮和拉伸時表現出的力學性能有較大差別。圖4-27

12、所示為灰口鑄鐵在拉伸（虛線）和壓縮（實線）時的 曲線，壓縮試樣的高度與截面直徑之比l：d=5:14.5.3 材料壓縮時的力學性能工程力學工程力學4.5.4 幾種非金屬材料的力學性能混凝土木材玻璃鋼綜上所述，衡量材料力學性能的指標主要有比例極限 （或彈性極限 ）、屈服極限 、強度極限 、彈性模量E、延伸率和斷面收縮率等。對于塑性材料來說，抵抗拉斷的能力較好，常用的強度指標是屈服極限。而且，一般來說，在拉伸和壓縮時的屈服極限值相同。對于脆性材料來說，其抗拉強度遠低于抗壓強度，強度指標是強度極限，一般用于受壓構件。工程力學工程力學4.6 拉（壓） 桿的強度設計12許用應力與安全因數許用應力與安全因數

13、拉（壓）桿的強度條件拉（壓）桿的強度條件工程力學工程力學4.6.1 許用應力與安全因數試驗指出，當應力達到某一極限值時，材料便發生破壞。材料破壞時的應力，稱為極限應力極限應力，用 表示。一般將極限應力 除以大于1的系數n，作為設計應力的最高限度，稱為許用應力，用 表示，即式中，n稱為安全系數安全系數，其數值常由設計規范規定。工程力學工程力學確定安全系數主要考慮下列幾方面因素：材料的素質，包括材料的均勻程度、是否有缺陷、是塑性材料還是脆性材料等；荷載情況，包括對荷載的估算是否準確、是靜荷載還是動荷載及超載作用的可能性；實際構件簡化過程和計算方法的精確程度；構件的工作條件及重要程度； 對減輕構件自

14、重的要求等。4.6.1 許用應力與安全因數工程力學工程力學為了保證拉（壓）桿的正常工作，必須使桿件的最大工作應力不超過材料在拉（壓）時的許用應力，即式（4-9）稱為桿件軸向拉伸或壓縮時的強度條件.對于等截面直桿，軸向拉伸（壓縮）時的強度條件可表示為應用強度條件，可以解決工程中三類強度計算問題，即：校核強度；選擇截面；確定許用荷載。4.6.2 拉（壓）桿的強度條件工程力學工程力學試驗證明：當桿內的應力不超過材料的比例極限時，桿的伸長 與其所受外力F、桿的原長l成正比，而與其橫截面面積A成反比，即這一關系式稱為胡克定律胡克定律。由式（4-11）還可以看出，對長度相同、受力相等的桿件，EA越大，則變

15、形 越小，所以EA稱為桿件的抗拉（抗壓）剛度抗拉（抗壓）剛度。4.7 拉（壓） 桿的變形工程力學工程力學式（4-11）改寫后將具有普遍的意義，即得式（4-12）不僅適用于拉（壓)桿,而且還普遍適用于所有的單向應力狀態,所以常稱其為單向應力狀態下的胡克定律單向應力狀態下的胡克定律。試驗結果表明，當拉（壓）桿內的應力不超過材料的比例極限時，橫向線應變 與縱向線應變 之比的絕對值為一常數，即 稱為橫向變形系數橫向變形系數或泊松比泊松比，是一個量綱為一的量，其數值隨材料而異，由試驗測定。4.7 拉（壓） 桿的變形工程力學工程力學4.8 拉（壓）桿超靜定問題12超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法裝配應

16、力裝配應力3溫度應力溫度應力工程力學工程力學桿件內力或結構的約束反力都能通過靜力平衡方程來確定，這類問題稱為靜定問題靜定問題。在工程上，常遇到一些結構，它的約束反力或桿件內力等未知力的數目，超過了靜力平衡方程的數目，僅靠靜力學方法無法解決，這類問題稱為超靜定問題超靜定問題。為了求解超靜定問題，除平衡方程以外，還需通過研究結構各部分之間的變形幾何關系來建立補充方程。補充方程的建立，都基于一個普遍原理，即結構中各桿件的變形應符合結構的變形協調條件變形協調條件。4.8.1 超靜定問題及其解法工程力學工程力學求解超靜定問題必須考慮以下三方面：滿足力的平衡條件；滿足變形協調條件；符合力與變形間的物理關系

17、（如在彈性變形范圍內，符合胡克定律）。概括地說，即應綜合考慮靜力學方面、幾何方面和物理方面。工程力學的許多基本理論，也正是從這三個方面進行綜合分析后建立起來的。4.8.1 超靜定問題及其解法工程力學工程力學4.8.2 裝配應力在超靜定問題中，有時雖然沒有荷載作用，但由于制造誤差，在結構裝配后，桿件中也將產生應力，這種應力稱為裝配裝配應力應力。在超靜定問題中，構件的尺寸即使有很小的誤差，也可能會在結構中產生相當可觀的裝配應力。裝配應力既可能帶來有利的影響，也可能產生不利的后果。在工程實際中，應利用其有利的一面，而避免其不利的影響。工程力學工程力學 4.8.3 溫度應力在超靜定結構中，由于溫度變化引起的變形受到約束的限制，在構件中將產生應力，這種應力稱為溫度應力溫度應力。解決荷載作用、制造誤差、溫度變化等因素對超靜定結構內力和應力的影響的兩種方法：將所有因素同時考慮進去；先分別計算出由荷載作用、制造誤差、溫度改變等單個因素所引起的桿的內力和應力，然后求相應結果的代數和來確定最終的內力和應力值。此法即為疊加法。工程力學工程力學 4.8.3 溫度應力解決超靜定問題的具體步驟可以歸納如下：從靜力學方面，列出靜力平衡方程；從幾何方面，觀察構