1、 4.2 換元積分法I 授課題目 4.2 換元積分法(第一類換元法) n 教學(xué)目的與要求：1. 理解第一類換元法的基本思想，它實(shí)際上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆過(guò)程，其關(guān)鍵是“湊微分”，d (x) (x)dx .2. 掌握幾種典型的湊微分的方法，熟練應(yīng)用第一類換元積分法求有關(guān)不定積分.川教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：第一換元法的思想，難點(diǎn)：熟練應(yīng)用第一換元法計(jì)算有關(guān)函數(shù)的不定積分IV 講授內(nèi)容：一、第一類換元積分法(x) ,(x)可微，則設(shè)f (u)具有原函數(shù)F (u) , f (u)du F(u) C .若u是中間變量，u根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有f (x)(X)。dF( (x)dF du、duf (u)

2、dxdu dxdx所以根據(jù)不定積分的定義可得：f (x) (x)dx F (x) CJFu C f (u)du以上是一個(gè)連等式可以改變順序從新寫一遍，就有f (x) (x)dxu(x) f (u)du F u C F (x) C .以上就是第一換元積分法。從以上可以看出，雖然 f (x) (x)dx是一個(gè)整體記號(hào)，但是被積表達(dá)式中的 dx可當(dāng)作變量x的微分來(lái)對(duì)待 從而上式中的(x)dx可以看成是(X)的微分，通過(guò)換元u (x)，應(yīng)用到被積表達(dá)式中就得到 (x)dx du .定理1設(shè)f (u)具有原函數(shù)F(u) , u (x)可導(dǎo)，du(x)dx，貝Uf (x) (x)dx f (u)du F(

3、u) C F (x) C (1)如何應(yīng)用公式(1)，在求不定積分積分g(x)dx時(shí)如果被積函數(shù)g(x)可以化為一個(gè)復(fù)合函數(shù)與它內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的積的形式f (x) (x)的形式那么g(x)dx f (x) (x)dx (x) u f (u)du F(u) Cu (x)F (x) C.所以第一換元積分法體現(xiàn)了 “湊”的思想.把被積函數(shù)湊出一個(gè)復(fù)合函數(shù)與其內(nèi)函數(shù)的積f (x)(X)來(lái).例 1 求 3e3xdx解3e3xdxe3x 3dx= e3x( 3x) dx，可設(shè)中間變量 u 3x ,du d (3x) 3dx 3dx du,所以有 e3xdxe3x 3dxeudu eu C e3x C.首先觀

4、察被積函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是什么樣的，然后看是否有它的內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若沒有就去湊。(x)的過(guò)程省略，從而使運(yùn)算更加簡(jiǎn)潔。例 2 cos2xdx解11cos2xdxcos2x 2dx=cos2x (2x) dx22令u 2x，顯然du2dx，則111cos2xdxcos2x 2dx cosudusin u C2221sin 2x C .2在比較熟練后，我們可以將設(shè)中間變量u33例 3(3x2)5dx解如將(3x52)展開是很費(fèi)力的，不如把3x 2作為中間變量,d(3x 2) 3dx，2)5dx=131dx3 2x.1_dx 二3 2x 2 3 2x2例 52xex dx(3xx22xe dx(3xex

5、 (x2) dxx .1 x2dxx2dx2)5 3dx = 1 (3x32)5d(3x 2)(3x182)6 C .2dx=12ex dxx2(1x21n嚴(yán) 2x)ln|3 2x |22 e C(2x) .1 x2dxx2) dxx2d(1x21(13x2)C .二、掌握幾種典型的“湊微分” 歡迎下載的方法xn * 1dxexdx d(ex)；1dx d(ax b)；a歡迎下載51-dx d(ln x);xaxdxd(ax);ln acosxdx d(sin x);sin xdx d (cos x)；2sec xdx d (tan x)；2csc xdx d(cot x)；secx tan

6、xdx d (secx)；dx 2d (arcsin x);1 x2三、利用第一換元積分法法計(jì)算有關(guān)函數(shù)的不定積分 計(jì)算有關(guān)函數(shù)的不定積分時(shí)，需要先把被積函數(shù)變形轉(zhuǎn)化，再利用第一換元積分法計(jì)算 例 7 求 sin2 xdx解 sin2xdx12(1(cos2x)1cos2x)dx dx2x 12dxsin 2x241-cos2xdx2C （此題利用三角函數(shù)中的降幕擴(kuò)角公式）(a 0)dx2 2 a xdx- a2dx叩（a）21 ;a嚴(yán)arcsin C .a利用d(xn)nxn 1dx，有如下例題.1sin例9求 尹x1解d (丄)x.1sinxdxxdxAdxx(sin)( 2)dxx x(

7、sin1)(1) dxx xsin -d()x x1cos Cx例10 求 ex cosexdxsinex C.解 ex cosexdx= cosexd (ex)利用 d(ex) exdx， d(ax) ax ln adx例11求xxdx習(xí)題 4-2:2(30)歡迎下載7edx(ex)-dx1dexx 2arctanex C .(ex)2 112求dx1dx13dxdx1d(ex 衛(wèi) x ln(ex 1) C.16x6x9xdxdx6xxdx9x3 xdx3 2 x(;)21i；!21（卽2d(|)xarcta nIn3 ln2此題利用d（ax）ax 1 n adxF面幾個(gè)例題利用d(1n x

8、)dxx例14求 一x ln解理xln x】dx ln x xd(l nx) ln ln xIn xC.又如習(xí)題4-2:2(16)dxd l n x ln ln x ln xdx解 x ln x ln ln xx ln x ln ln x1 1 1 ,dxln ln x ln x x1d ln ln x ln |lnlnx| C . lnln x1例 15 求 (21n x 5)4dxx1i2第一次課可以講到這里解 (2In x 5)4dx(2ln x 5)4 dxx2x1 415(2ln x 5) d(2ln x 5) (2ln x 5) C .2 10歡迎下載8被積函數(shù)是分母是二次函數(shù) (

9、例16例22六個(gè)例題)分子是常數(shù)或一次函數(shù)的有理分式函數(shù)的不定積分的求法dx例16求 一a(a 0)分子是常數(shù)，分母是二次二項(xiàng)式，沒有一次項(xiàng)dx-2a1,11,X1丄xdxd()arcta n C.(x)2a 1 (x)2a aaa例17dx9x212x被積函數(shù)分母是一個(gè)完全平方式dx1=9x 12x 4 312(3x 2)3dx3 (3x 2)?d(3x 2)13(3x 2)歡迎下載101被積函數(shù)分母是一個(gè)完全平方式，被積函數(shù)化為1 1 .2dx二一2 d (ax b) (ax b) a (ax b)dx例 18? dx4x 4x 17解2 dx4x2 4x 17分子是常數(shù)，分母是二次三項(xiàng)式

10、，不是完全平方式dx16 (2x1 18 1 (2x 21 1 .dx16 1(2x 1)2(4x 1-arc ta) C8241)2d（專）4 ）24被積函數(shù)分母是二次三項(xiàng)式且不可以分解因式，不是完全平方式時(shí)可以把分母配方化為c的形式，然后利用 dx arcta nx C1 x(ax b)2練習(xí):求x 2x 5dx （第一換元積分法分）2x 2x 5 (x1)24，(x219求dx2x 5)2(x 1)4dx41 宀1、22dx2x x12Q7 x 12dx2 x1x 121dx(寧)2 1JarctaJ C2 2分子是常數(shù)，分母是二次三項(xiàng)式且可以分解因式(x 3)(x 4)1 17(x 4

11、1d(x 4)x 4711In | x 4 | In 77|x1 )dx x 31d(xx 31 3| C In71 11 1dxdx7x47x33)被積函數(shù)分母是二次三項(xiàng)式且可以分解因式,fl1 C.被積函數(shù)可以用裂項(xiàng)法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單分式的差(x a)(x b)c 1a bx a)1(x b)例20求-12 dx 分子是 x次多項(xiàng)式，分母是二次多項(xiàng)式解 d(x21) 2xdxx歡迎下載12篤dx1 x2単dx1 x221d(x 1)In(x2 1) C .2例21求x2xdx102解 Qd(x2x10)(2x2)dx,2x 10 dx2x 22xxx2 2x 102x 2x2x 10dx2x

12、 222 x12x 1022x2d(x 2x 10)dxx2 2x 10x2 2x 10ln (x22 2x 10)1(x 1)2 9dxhn (x2 2x 10)2被積函數(shù)分子是一次多項(xiàng)式，面幾個(gè)例題利用三角函數(shù)的微分公式:1 12dx ln (x2 2x 10) (j 123分母是二次多項(xiàng)式時(shí)，首先把分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)1 arctan33d(sin x) cosxdx ； d(cosx) sin xdx ； d(tan x)2sec xdx ； d (cotx)csc2 xdx例22求 tan xdx(化切為弦)tanxdx= sinx dx= cosxsinx ,dxcosx1d (co

13、sx) cosxIn cosx C例23求 tan3 xdxtan3 xdxtan x(sec2 x21)dx tan xsecxdxsin x dx cosx例24tan xd (tan x)1 1 d (cosx) tan2cosxcscxdxcscxdx=dx= sin x1x2sin cos 2 一tanx2, xd tan2xIn |tan-|C.因?yàn)閤tan2.xsin2x cos22si n2仝2x x2sin cos-2 2In cosx C2xcos2 xdxsec -2 xx dxtan22sin22 一21dxxCOS-22si n22sin xcosxcscx cotx

14、.sin x歡迎下載16x所以 cscxdx In | tan 一 | C In | cscx cot x I C . 2此題用三角萬(wàn)能公式代換也可以cscxdx=- dxttanx 1 t22 dt22 dt2 2t 1 t21-dt In |t| C txIn | tan | C2sin x例25求 secxdx解secxdx 一1 , 1 , dxdxsec(x T)d (xT)cosxsin(x T)In |csc(x 三)cot(x 三)| C In |secx tanx| C . secxdx In | secx tanx| C例26求 cos3x cos2xdx (利用三角函數(shù)積

15、化和差公式)和差化積公式積化和差sinsin2 si n2-cos2sincossin(2)sin()sinsin2 cos2sin2 .cossins in(2)sin()coscos;coscos1 cos(2)cos()2 cos2cos -2coscos2 sinsinsinsin1cos()cos()2 2 21 解 根據(jù)三角函數(shù)的積化和差公式：cos3x cos2x (cos5 x cosx)21cos3x cos2xdx cos5x cos xdx21111 cos5xd5x cos xdx sin5x sinx C.102 102由以上例題可以看出，第一換元積分法是一種非常靈活

16、的計(jì)算方法，始終貫穿著“湊微分”思想，因此學(xué)生應(yīng)熟悉這些基本例題。V 歸納總結(jié)1.第一換元法是把被積函數(shù)g(x)湊成f (x)(x)的形式然后應(yīng)用公式f (x) (x)dxu(x) f(u)du F u C F (x) C ;2.要熟練掌握幾種典型的“湊微分”的方法。dx d (ax b) ； xn 1dx a-d(xnnb) ； exdxd(ex) ； - dxxd (ln x ) ； axdx&d(ax)In acosxdx d (sin x) ； sin xdx2d (cos x) ； sec xdx2d (tan x) ； csc xdxd(cot x)；secxta n xdxdx1 x2d (arcsin x);dx1 x2d (arctan x).3.熟練掌握幾種典型用第一換元積分法計(jì)算的不定積分1 dx ； a x1 dx ；x a12dx ；ax bx cex f2dx ；